动态规划03-01背包问题

问题描述

作为动态规划中最重要的经典例题，01背包问题开启了我们学习二维dp数组的道路。
题目如下：
有一个容量为V的背包，还有n个物体。现在忽略物体实际几何形状，我们认为只要背包的剩余容量大于等于物体体积，那就可以装进背包里。每个物体都有两个属性，即体积w和价值v。
问：如何向背包装物体才能使背包中物体的总价值最大？

思路分析

首先对题目条件进行翻译，每一个物品都只有选或者不选两种可能，所以可以用0标记不选，用1标记选中

如果使用一维dp数组，假设dp[i]的含义是当遍历到第i个物品的时候最大价值是dp[i],那么这样就没有考虑物品体积的因素，不妥当
因此使用二维dp数组，dp[i][j]表示当容器体积为j的时候，从下标为1-i的物品中选取物品，使得最终的背包总价值最大。

1. 确定dp[i][j]的含义：当容器体积为j的时候，从下标为1-i的物品中选取物品，使得最终的背包总价值最大
2. 确定递推关系，对于当前物品i有两种情况，那就是放或者不放。

如果放，那么当前的dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i],也就是当背包容量减少物品i的时候的最大价值加上i的价值
如果不放，那么就延续上一个dp[i-1][j]

3. 初始化，对于dp[i][0],由于背包容量为0，不管怎么选最终价值都不会超过0，因此将dp[i][0]全部初始化为0；对于dp[0][0]，也同样是0。其他的对于dp[0][j]，价值就是value[0]。如此一来初始化完毕！
4. 遍历顺序选择按照物品的顺序进行遍历
5. 带入验证

代码展示

void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表背包空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继续使用dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}