椭球面系列---椭球面上离直线最近的点

前面给出了射线与椭球体的交点问题的求解，本节讨论当射线与椭球面无交点时，那么在椭球面上离射线最近的点在那里？

本文给出具体的计算原理和矩阵表达的过程，便于编程计算。

有关椭圆的基础性质，请参考椭球面系列—基本性质

见下图，已知射线(点为${\text{p}}_0$，单位方向为$\text{d}$)，令射线与椭球面最近的点为$\text{p}$，对应的椭球面上的点为$\text{r}$，如何确定$\text{p}$和$\text{r}$的笛卡尔坐标？
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首先不加证明的给出几个基本性质：

1. 由点${\text{p}}_0$出发的射线和椭球体中心组成的平面与椭球体的截面为椭圆(上图即为截面内的射线和对应的椭圆，注意此椭圆的半长轴和半短轴未知，但是我们用不到）。
2. 由于椭球面为凸面体，所以椭球面上离直线最近的点必定位于此截面内。
3. 点到直线的距离最短为点到直线的垂线，因此$\text{r}?\text{p}$必定垂直于直线。
4. 过椭球面上最近点$\text{r}$的切平面必定垂直于上述的截面，也就是说切平面的法向量(椭球面法向量)垂直于直线。

综合以上性质，我们可以知道，利用射线可以求得截面内垂直于射线的向量$\text{n}$，也就是椭球面在$\text{r}$点处的法线向量（切平面法向量）。

首先，求解向量$\text{n}$，可由下式给出：
$$\begin{array}{c}\text{n}=?\text{d}\times (\text{d}\times {\text{p}}_0)\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
在椭球面系列—基本性质一文中，我们给出了椭球面的法线基本性质，可得:
$$\begin{array}{c}{k}^2={\text{n}}^T{\text{C}}^{?1}\text{n}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
那么椭球面上离直线最近的点$\text{r}$可由下式给出:
$$\begin{array}{c}\text{r}=\frac{1}{k}{\text{C}}^{?1}\text{n}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

下面我们再给出直线上距离椭球面最近的点$\text{p}$的求解。由前面给出的几条性质可知，$\text{r}?\text{p}$是垂直于直线的。因此将$\text{r}?{\text{p}}_0$投影到直线方向上可得到距离$t$：
$$\begin{array}{c}t=(\text{r}?{\text{p}}_0)?\text{d}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
那么射线上距离椭球面最近点$\text{p}$可表示为：
$$\begin{array}{c}\text{p}={\text{p}}_0+t\text{d}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

上图推导过程中虽然依赖射线，但是整个过程都是与直线相关的，也就是说，射线的方向不影响结论。见下图，射线的方向$\text{d}$相反，但是最终的结论都是求得直线上离椭球面最近点。

实际编程计算时需要考虑射线情况时，对于上图右图情形，显然射线方向离椭球体距离越来越远，最近点即为${\text{p}}_0$，用公式表达为：
$${\text{p}}_0?\text{d}>0$$

另外一种情形，在向量$\text{n}$的求解中用到向量的叉乘，如果${\text{p}}_0$和$\text{d}$在一条直线上时则叉乘结果为0，此时对应射线指向椭球圆心，即射线与椭球面相交，那么可使用"射线与椭球面的交点"计算，而不是使用本算法计算。

参考:
[1]: Point on an ellipsoid closest to line