椭球面系列---椭球面上离直线最近的点

发布时间：2023年12月26日

前面给出了射线与椭球体的交点问题的求解，本节讨论当射线与椭球面无交点时，那么在椭球面上离射线最近的点在那里？

本文给出具体的计算原理和矩阵表达的过程，便于编程计算。

见下图，已知射线(点为 $\textbf{p}_0$ ，单位方向为 $\textbf{d}$ )，令射线与椭球面最近的点为 $\textbf{p}$ ，对应的椭球面上的点为 $\textbf{r}$ ，如何确定 $\textbf{p}$ 和 $\textbf{r}$ 的笛卡尔坐标？
? 直线与椭球面的最近距离

首先不加证明的给出几个基本性质：

由点 $\textbf{p}_0$ 出发的射线和椭球体中心组成的平面与椭球体的截面为椭圆(上图即为截面内的射线和对应的椭圆，注意此椭圆的半长轴和半短轴未知，但是我们用不到）。
由于椭球面为凸面体，所以椭球面上离直线最近的点必定位于此截面内。
点到直线的距离最短为点到直线的垂线，因此 $\textbf{r}-\textbf{p}$ 必定垂直于直线。
过椭球面上最近点 $\textbf{r}$ 的切平面必定垂直于上述的截面，也就是说切平面的法向量(椭球面法向量)垂直于直线。

综合以上性质，我们可以知道，利用射线可以求得截面内垂直于射线的向量 $\textbf{n}$ ，也就是椭球面在 $\textbf{r}$ 点处的法线向量（切平面法向量）。

首先，求解向量 $\textbf{n}$ ，可由下式给出：
$\begin{equation} \textbf{n}=-\textbf{d}\times(\textbf{d}\times\textbf{p}_0) \end{equation}$
在椭球面系列—基本性质一文中，我们给出了椭球面的法线基本性质，可得:
$\begin{equation} k^2=\textbf{n}^T\textbf{C}^{-1}\textbf{n} \end{equation}$
那么椭球面上离直线最近的点 $\textbf{r}$ 可由下式给出:
$\begin{equation} \textbf{r}=\frac1k\textbf{C}^{-1}\textbf{n} \end{equation}$

下面我们再给出直线上距离椭球面最近的点 $\textbf{p}$ 的求解。由前面给出的几条性质可知， $\textbf{r}-\textbf{p}$ 是垂直于直线的。因此将 $\textbf{r}-\textbf{p}_0$ 投影到直线方向上可得到距离 $t$ ：
$\begin{equation} t=(\textbf{r}-\textbf{p}_0)\cdot\textbf{d} \end{equation}$
那么射线上距离椭球面最近点 $\textbf{p}$ 可表示为：
$\begin{equation} \textbf{p}=\textbf{p}_0+t\textbf{d} \end{equation}$

上图推导过程中虽然依赖射线，但是整个过程都是与直线相关的，也就是说，射线的方向不影响结论。见下图，射线的方向 $\textbf{d}$ 相反，但是最终的结论都是求得直线上离椭球面最近点。

直线与椭球面最近距离2
实际编程计算时需要考虑射线情况时，对于上图右图情形，显然射线方向离椭球体距离越来越远，最近点即为 $\textbf{p}_0$ ，用公式表达为：
$\textbf{p}_0\cdot\textbf{d}>0$

另外一种情形，在向量 $\textbf{n}$ 的求解中用到向量的叉乘，如果 $\textbf{p}_0$ 和 $\textbf{d}$ 在一条直线上时则叉乘结果为0，此时对应射线指向椭球圆心，即射线与椭球面相交，那么可使用"射线与椭球面的交点"计算，而不是使用本算法计算。

参考:
[1]: Point on an ellipsoid closest to line

文章来源:https://blog.csdn.net/u011575168/article/details/135212894
本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系我的编程经验分享网邮箱：chenni525@qq.com进行投诉反馈，一经查实，立即删除！