C# 求三次和非线性方程的根MathNet.RootFinding

初步使用

RootFinding是MathNet的数值求根模块，内部封装了多种求根方法，均封装在静态类中。这些静态类一般提供三种求根方法，分别是FindRoot，FindRootExpand以及TryFindRoot，下表列出这些静态类，以及这些静态类支持哪种求根方案

类名	FindRoot	TryFindRoot	FindRootExpand
Bisection	?	?	?
Brent	?	?	?
Broyden	?	?
NewtonRaphson	?	?
RobustNewtonRaphson	?	?
Secant	?	?

下面以二分法为例，解读一下这些静态函数的用法

using MathNet.Numerics.RootFinding;

Func<double, double> f = x => 3 * Math.Pow(x, 3) + 2 * x - 6;
var r = Bisection.FindRoot(f, -100, 100);
Console.WriteLine($"f({r})={f(r)}");
//f(1.0848517200487713)=1.7763568394002505E-15

其中-100和100是求根的下限和上限。

Cubic

对于三次方程，RootFinding提供了更加便捷的函数Cubic，其调用方方法非常简单，仍以上述函数$f=3x^3+2x?6$为例，Cubic提供了求实根的函数RealRoots，其输入参数为a0,a1,a2，对应方程$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+x^3=0$，顾

Func<double, double> f = x => 3 * Math.Pow(x, 3) + 2 * x - 6;

var rs = Cubic.RealRoots(-6/3.0, 2/3.0, 0/3.0);
Console.WriteLine($"f({rs.Item1})={f(rs.Item1)}");
//f(1.0848517200487715)=5.329070518200751E-15
Console.WriteLine($"f({rs.Item2})={f(rs.Item2)}");
//f(NaN)=NaN
Console.WriteLine($"f({rs.Item3})={f(rs.Item3)}");
//f(NaN)=NaN

最后只得到一个根，说明另外两个根是复数，Cubic提供了三次复数求解器，示例如下

Func<Complex, Complex> f = x => 3 * Complex.Pow(x, 3) + 2 * x - 6;

var rs = Cubic.Roots(-6, 2, 0, 3);

Console.WriteLine($"f({rs.Item1})={f(rs.Item1)}");
Console.WriteLine($"f({rs.Item2})={f(rs.Item2)}");
Console.WriteLine($"f({rs.Item3})={f(rs.Item3)}");

结果如下

$$\begin{array}{r}f(1.084851720048777)=7.460698725481052E?14\\ f(?0.5424258600243883+?1.244726519174497i)=7.5\times 10^{?14}+2.2\times 10^{?15}\\ f(0.5424258600243883+1.244726519174497i)=7.5\times 10^{?14}+2.2\times 10^{?15}\end{array}$$