面试算法101：分割等和子集

题目

给定一个非空的正整数数组，请判断能否将这些数字分成和相等的两部分。例如，如果输入数组为[3，4，1]，将这些数字分成[3，1]和[4]两部分，它们的和相等，因此输出true；如果输入数组为[1，2，3，5]，则不能将这些数字分成和相等的两部分，因此输出false。

分析

如果能够将数组中的数字分成和相等的两部分，那么数组中所有数字的和（记为sum）应该是一个偶数。也可以换一个角度来描述这个问题：能否从数组中选出若干数字，使它们的和等于sum/2（将sum/2记为t）。如果将数组中的每个数字看成物品的重量，也可以这样描述这个问题：能否选择若干物品，使它们刚好放满一个容量为t的背包？由于每个物品（数字）最多只能选择一次，因此这是一个0-1背包问题。（本题一共两个背包）
用函数f（i，j）表示能否从前i个物品（物品标号分别为0，1，…，i-1）中选择若干物品放满容量为j的背包。如果总共有n个物品，背包的容量为t，那么f（n，t）就是问题的解。
当判断能否从前i个物品中选择若干物品放满容量为j的背包时，对标号为i-1的物品有两个选择。一个选择是将标号为i-1的物品放入背包中，如果能从前i-1个物品（物品标号分别为0，1，…，i-2）中选择若干物品放满容量为j-nums[i-1]的背包（即f（i-1，j-nums[i-1]）为true），那么f（i，j）就为true。另一个选择是不将标号为i-1的物品放入背包中，如果从前i-1个物品中选择若干物品放满容量为j的背包（即f（i-1，j）为true），那么f（i，j）也为true。

解

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {1, 2, 3, 5};
        boolean result = canPartition(nums);
        System.out.println(result);
    }

	// 本题一共两个背包
    public static boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }

        if (sum % 2 == 1) {
            return false;
        }

        // 其中一些数字之和为sum/2，则能将所有数字分成和相等的两部分
        // 则问题转化：能否从nums中选出一些数字，使这些数字之和为sum/2
        return subsetSum(nums, sum / 2);
    }

    private static boolean subsetSum(int[] nums, int target) {
        Boolean[][] dp = new Boolean[nums.length + 1][target + 1];
        return helper(nums, dp, nums.length, target);
    }

    private static boolean helper(int[] nums, Boolean[][] dp, int i, int j) {
        if (dp[i][j] == null) {
            if (j == 0) {
                dp[i][j] = true;
            }
            else if (i == 0) {
                dp[i][j] = false;
            }
            else {
                dp[i][j] = helper(nums, dp, i - 1, j);// 不选择元素nums[i-1];
                if (!dp[i][j] && j >= nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] = helper(nums, dp, i - 1, j - nums[i - 1]);// 选择元素nums[i-1];
                }
            }
        }

        return dp[i][j];
    }
}