【数据结构】算法的时间复杂度和空间复杂度

发布时间:2024年01月02日

简单不先于复杂,而是在复杂之后。

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1. 算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

怎么衡量一个算法的好坏?比如对于以下斐波那契数列:

long long Fib(int N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁,但是简洁一定好吗?

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好坏,一般是从时间和空间两个维度来衡量的,即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小,所以对空间复杂度很是在乎。

但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。

所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有把程序放在机器上跑起来,才能知道。

但是我们不能保证每个算法都上机测试,很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度

即:找到某条基本语句与问题规模 N 之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。

计算时间复杂度不可以纯粹数循环,要看算法逻辑,进行计算时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次?
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1执行的基本操作次数:

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实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法:

  1. 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
  3. 如果最高阶项系数存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:

  														O(N^2)
  • N = 10 F(N) = 100
  • N = 100 F(N) = 10000
  • N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:

最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况·:任意输入规模的期望运行次数

最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如:在一个长度为 N 的数组中搜索一个数据 x

最好情况:1次找到

最坏情况:N次找到

平均情况:N/2次找到

在实际中一般关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3 常见时间复杂度计算举例

实例1:

//计算Func2的时间复杂度?

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }

    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }

    printf("%d\n", count);
}

2*N + 10

O(N)

实例2:

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }

    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }

    printf("%d\n", count);
}

O(M+N)

M远大于N O(M)

N远大于M O(N)

M 和 N 一样大 O(N) 或 O(M)

实例3:

//计算Func4的时间复杂度?

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

O(1)

并不代表是1次,代表常数次

实例4

// 计算strchr的时间复杂度?
const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr: 遍历一个字符串数组,找一个字符

时间复杂度:O(N)

最好情况:O(1)

最坏情况:O(N) 要关注最坏的运行情况,作悲观保守的预估

平均情况:O(N/2)

实例5:

//计算BubbleSort的时间复杂度?

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}

		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

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最好情况是 O(N),如果遍历一遍没有发生交换,直接跳出循环。

实例6:

使用二分查找的条件:数组的数据是有序的

// 计算BinarySearch的时间复杂度?
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间,因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

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实例7

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
	if (1 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

时间复杂度是O(N)

实例8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

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时间复杂度:O(2N)

3. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中临时(额外)占用存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间,空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似,使用大O渐进表示法。

我们不太关注空间复杂度,因为现在设备存储空间都比较大。

注意:函数运行时所需要的栈空间(存储参数,局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。

实例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度?
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

空间复杂度:O(1)

参数传过来的是作为条件已经提供的空间,只有算法思想的需要额外开辟空间才算空间复杂度。

对于循环中的 end 、exchange 和 i ,他们是在局部域里的,每一次循环结束都要销毁,在栈区中的空间可以重复利用。

实例2:

// 计算Fibonacci的空间复杂度?
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

空间复杂度: O(N)

额外动态开辟了一个数组。

实例3:

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

空间复杂度是O(N)

递归的时候每次调用函数要创建栈帧,每次调用的函数栈帧是常数个,调用N+1次函数,所以空间复杂度是O(N)。

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递归实现的斐波那契数列的空间复杂度为 O(N),这是因为在递归调用的过程中,系统会使用一个调用栈(call stack)来存储每次递归调用的信息。每次调用都会占用一些栈空间,而递归的深度就是计算斐波那契数列的参数 n 的值。

在斐波那契数列的递归实现中,对于每个 n,会有两个递归调用,即 F(n-1) 和 F(n-2)。这样的递归结构形成了一个二叉树,其中每个节点表示一个递归调用。因此,递归调用的深度就是二叉树的高度,即 N。

在计算斐波那契数列时,每一层的递归调用都会占用一些栈空间。由于递归深度为 N,所以空间复杂度是 O(N)。

4. 常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下:

5212351345O(1)常数阶
3n+4O(n)线性阶
3n2+4n+5O(n2)平方阶
3log(2)n+4O(logn)对数阶
2n+3nlog(2)n+14O(nlogn)nlogn阶
n3+2n2+4n+6O(n3)立方阶
2nO(2n)指数阶

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5. 复杂度的oj练习

消失的数字

oj链接:https://leetcode-cn.com/problems/missing-number-lcci

轮转数组

oj链接:https://leetcode-cn.com/problems/rotate-array

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//第三种思路的实现

//[begin, end]
void reverse(int* nums,int begin,int end)
{
    while(begin < end)
    {
        int tmp = nums[begin];
        nums[begin] = nums[end];
        nums[end] = tmp;
        ++begin;
        --end;
    }
}

void rotate(int* nums, int numsize, int k) 
{
    if(k >= numsize)
        k %= numsize;

    reverse(nums,0,numsize - k -1);
    reverse(nums,numsize - k, numsize - 1);
    reverse(nums,0,numsize-1);

}
文章来源:https://blog.csdn.net/Lixinze__/article/details/135348404
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