一元线性回归模型（公式推导+举例应用）

引言

一元线性回归是回归分析中简单而重要的一种模型，旨在找到一条直线，以最佳方式拟合输入变量与输出变量之间的关系。在这篇文章中，我们将深入探讨一元线性回归的原理及其应用。

模型表达式

一元线性回归模型的表达式为：$f(x_i)=k{x}_i+b$
其中，$x_i$为输入变量，$f(x_i)$为模型的输出，$k$为斜率，$b$为截距，我们的目标是通过学习$k$和$b$使得$f(x_i)$尽可能的接近真实观测值$y_i$。

均方误差和优化目标

为了衡量模型的性能，我们引入均方误差$J(k,b):$
$$J(k,b)=\sum _{i=1}^m(f(x_i)?y_i{)}^2$$
其中$m$为样本数量。我们的优化目标是最小化均方误差，即：

$$E(k^{?},b^{?})=ar{g}_{(k,b)}min\sum _{i=1}^m(y_i?k{x}_i?b{)}^2$$

最小二乘法

通过最小二乘法，我们对均方误差函数分别对$k$和$b$求偏导数，令其等于零，得到优化的解：
$$\frac{?}{?k}E(k,b)=?2\sum _{i=1}^n{x}_i\left(y_i?\left(k{x}_i+b\right)\right)=0$$
$$\frac{?}{?b}E(k,b)=?2\sum _{i=1}^n\left(y_i?\left(k{x}_i+b\right)\right)=0$$
整理并得到：
$$k=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i(x_i?\bar{x})}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2?\frac{1}{m}({\sum }_{i=1}^m{x}_i{)}^2}$$
$$b=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i?k{x}_i)$$
其中，$\bar{x}$为输入变量$x$的均值。最终得到模型表达式：
$$f(x_i)=k^T{x}_i+b$$
使得$f(x_i)$尽可能地接近$y_i$。

利用协方差和方差求解$k$和$b$

另一种求解斜率$k$和截距$b$的方法是通过协方差和方差的关系。
因为$Y=kX+b$，所以$EY=kEX+b$
又因为$XY=k{X}^2+bX$，所以$EXY=kE{X}^2+bEX$
联立两个式子可得：
$$k=\frac{EXY?EXEY}{E{X}^2?(EX{)}^2}=\frac{COV(X,Y)}{DX}$$
$$b=EY?kEX$$
我们同样可以得到一元线性回归模型$f(x_i)=k^T{x}_i+b$

结论

通过最小二乘法和协方差方差的推导，我们得到了一元线性回归的两种求解方法。这些方法为我们建立模型和预测提供了有力的工具，同时也帮助我们理解了回归分析的基本原理。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行建模和分析。

实验分析

以下是工人工作年限与对应薪水的数据集。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="deep")
# 读入数据集
data = pd.read_csv('data/Salary_dataset.csv')
# 绘制散点图
plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi'
plt.scatter(data['YearsExperience'], data['Salary'], c='blue', label='训练集')

# 添加标签和标题
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('训练集散点图')

# 添加图例
plt.legend()

# 显示图形
plt.show()

# 更新k,b(协方差)
def update_k_b(data, k, b):
    # 计算协方差和方差
    cov_xy = np.sum((data['YearsExperience'] - data['YearsExperience'].mean()) * (data['Salary'] - data['Salary'].mean()))
    var_x = np.sum((data['YearsExperience'] - data['YearsExperience'].mean())**2)
    
    # 计算k和b
    k = cov_xy / var_x
    b = data['Salary'].mean() - k * data['YearsExperience'].mean()

    return k, b
# 更新k,b（最小二乘法）
def update_k_b_2(data, k, b):
    w = np.sum(data['Salary'] * (data['YearsExperience'] - data['YearsExperience'].mean())) / (np.sum(data['Salary'] ** 2) - np.sum(data['Salary']) ** 2 / len(data))
    b = data['Salary'].mean() - k * data['YearsExperience'].mean()
    
    return k, b

计算$k$和$b$

k = b = 0
k, b = update_k_b(data, k, b)

得到$k=9449.962321455076$，$b=24848.2039665232$。
绘制最终的拟合直线：

# 绘制散点图
plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi'
plt.scatter(data['YearsExperience'], data['Salary'], c = 'blue', label = '数据点')

# 生成一些x值
x_line = np.linspace(0, 12, 100)

# 根据直线方程计算对应的y值
y_line = k * x_line + b

# 绘制直线图
plt.plot(x_line, y_line, label = f'直线方程: y = {k:.0f}x + {b:.0f}', c = 'red')

# 添加标签和标题
plt.xlabel('YearsExperience')
plt.ylabel('Salary')
plt.title('一元线性回归模型')

# 添加图例
plt.legend()

# 显示图形
plt.show()