neural network basics2-1

neural network components

key?words：simple neuron ; multilayer;feedforward;non-linear;

（artificial）neural network

inspired by the biological neural networls in brains

生物细胞处理信息后，从轴突中输出若干个信号

受神经网络和生物神经元的启发，设计出由计算机能够计算的人工神经元：接受n个数作为输入，然后产生一个数的输出，它由参数w和b以及激活函数f来构成

a neuron is a computational unit with n inputs and 1 output and?parameters w，b

n inputs（w）各权重?+bias（b）偏置权重=output

对于多个output：此时b成为一个向量，w为一个矩阵

然后依次叠加每一层，进行前向计算，最终得output

Q：一个神经元在输出结果之前，会经过一个非线形的激活函数，那么这个激活函数时干什么用的呢？

假设神经网络中它并没有激活函数，即，它每一层进行的操作只对上一层进行输出，应用一个线性变换。假设有2层，分别进行得到h1和h2:

h1=w1x+b1 ； h2=w2h1+b2 ? ---》h2 =w2w1x+w2b1+b2

此时发现，这两个神经网络层其实可以表示为一层，此时他的权重矩阵是w2乘w1，偏置是w2b1+b2。

如果神经网络只存在这样的线形变换的话，那么多层神经网络其实可以被转化成当成的神经网络，即多层神经网络和单层神经网络他的表达是一致的，因此我们需要引入非线形激活函数，防止多层坍塌成单层，并且可以增加他的表达能力，来拟合更复杂的函数。

常见非线形函数：

将一个从负无穷到正无穷之间的数，转化为0～1的数、-1～1的数

对于正数输入依然为原来的正数，对于负数输入转化为0

通过添加多个若干的隐层，我们可以提高表达能力

Q:怎样得到我们想要的输出结果呢？

我们需要添加网络的最后一层，即输出层：output layer

（1）对于回归问题：linear output线性层输出层（如：训练这个神经网络去预测一个具体的连续的一个值）

（2）解决二分类的问题：sigmoid输出层，先得到一个线性值，在此基础上，运用sigmoid激活函数，把其输出压到0～1之间（如：表示这个模型预测当前输入属于某一个类的概率y，和属于另一个类的概率1-y）

（3）解决多分类问题：softmax输出层，即，分类者的这个类别的数量大于2的情况（如：解决一个3分类问题，就让它设置3个输出）首先，我们对最后一个隐层去应用一个普通的一个线性层，得到输出z，我们就可以把最后这个隐层去通过线性变化，先变换成我们想要的一个维度，即类别数量。之后我们对z中的每一个元素去计算这个z的e的z次方，把其转化为e的多少次方，就可以把每一个维度的z的这个值，无论他是真的还是负的，都把它映射成一个正的值，再把这些正的值去除以他们的和，这样输出层每一个维度的值加起来的和就会为1（保证为正值，其加起来为1），得到的是不同类别的一个概率分布，因此我们可以从输出层去判断，我们的输出属于某一个类别的概率。

summary：

单个神经元，构成一层的神经网络

然后堆叠这些层，可以得到多层的神经网络

其中每个神经元的非线性激活函数，可以用于让神经网络来表达更复杂的内容

最终为了得到想要的输出形式，我们去应用对应的输出层

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how to train

objective; gradients; backpropogation;

想要训练一个神经网络，我们需要先去设定一个训练目标，依据目标对此进行调整

假如：

情况一：

我们有若干条训练数据，其中的某个输入为某个电脑的一些属性，比如他的一些配置之类的，然后我们希望是，模型能够预测出电脑的价格y。这个问题为回归问题，即希望我们的神经网络去根据输入数据来拟合一个具体的值。

在这个情况下，我们可以以降低所谓的均方差来作为我们的训练目标，具体为：对于每一条的训练数据我们计算真实价格的yi和模型预测的价格F（xi）之间的一个差的平方，显然，这个值越小，说明我们的神经网络学习的越准确，因此我们的目标是最小化这个值，这个均方差称为损失函数loss

我们训练神经网络的目标就是去减小所谓的损失函数的值

情况二：

文本分类任务：输入数据可能是一段文本，我们希望模型去预测一个例如：情感标签这样的东西，它可以是正面、负面或者中性，这些情感标签就可以用比如说y=123来表示，这个时候我们通常希望以最小化的交叉熵cross-entropy为我们的训练目标，此时的交叉熵cross-entropy就为我们的损失函数loss

交叉熵cross-entropy是衡量模型正确分类的负log的一个概率。如这里正确的标签是训练中提供的标签yi，那么我们拿到这个模型去预测出这条数据xi他是属于这个yi这个类别的情感的概率，然后去负log来计算出这条数据的交叉熵

交叉熵是如何计算的？

左侧是模型，经过softmax输出层计算出结果，得到一个概率分布，分别是3个类别的概率，我们在训练集中具有一个标签y来表示这段文本正确的类别，如果第一个类别正确，则他的损失值loss为0.74，依次计算，损失值越小，则说明我们的模型它预测的也就越准确

为了达到我们的训练目标，通常我们是希望最小化某一个损失函数

Q:我们如何去最小化一个损失函数呢？

在神经网络中我们通常会采用：梯度下降法。我们希望把整个这个优化步骤拆分成若干个步骤，然后每一步我们去缩小这个损失函数一点儿

那么，我们要怎么去调整参数，才能够在每一步去缩小这个损失函数呢？

方式：首先要求损失函数对于这个模型参数的梯度，它代表了这个参数进行单位大小的改动，损失函数它变化最快的一个方向，我们顺着这个方向向前走一步，去应用一个对模型参数的一个小的变化，我们就可以去降低一点点损失的函数，这就好比我们去爬一座山，我们去选择最陡峭的一步去迈出脚，这样可以可能让我们爬的快一点。由于我们要对损失函数去降低，因此我们爬的方向其实是这个梯度的一个反方向，因此前面添加一个负号。

我们沿着这个方向走一小步到底有多大？是有里面的阿尔法参数来决定的，可以被称作learning rate或者叫学习率。

这就是通过梯度下降进行学习的一个基本思想

为计算梯度下降，我们需要求到损失函数对于每个参数的梯度

关于梯度计算：

给出一个f，有n个输入，最后有一个标量的输出，这可以对应到我们在计算神经网络中计算损失函数的那一步，在那一步我们的输入可能是有模型的这个输出以及真实的标签，然后最后得到的是我们的损失函数，它通常是一个标量值，我们可以对写参数求梯度，最终得到一个大小为输入大小的这么一个向量，向量中的每一个维度是对于输入中对应维度的一个偏导数

另一种情况：n个输入，m个输出，m个具有n个输入单个输出的函数，即m个神经元构成的一层神经网络，我们让这个m个输出对于n个输入去求微分，得到的就是一个mxn大小的jacobian矩阵。

jacobian矩阵：第i行第j列：第i个输出对第j个输入的偏导数。它每一行对应的就是一个输出函数，它对于所有n个输入的梯度的向量，与上面单个的情况是一样的。

求微分中会用到的链式法则：

推广到多输入和多输出的情况也适用（加粗的为向量，，大写的为矩阵）

实际的深度学习场景中，我们运用的是反向传播的算法

其中介绍反向传播算法之前需要了解计算图

计算图可以让我们把神经网络的计算公式画成一个图，图的原节点代表这个网络的输入，内部节点表示计算操作，有向边祈祷一个传递计算出来的值的作用，可以把值写到有向边里，按照这个边进行计算就可以。

从前到后为前向传播

方向传播算法，计算某点的，从后向前，

依次计算：上游梯度——本地梯度—（链式法则）—》下游梯度，直到计算出最开始的那个参数的输出

eg：先对其进行前向传播，再计算本地梯度，后向传播，再用链式法则，对其求下游梯度

注意：y有两条边

前向传播得到最终的值

反向传播，运用链式法则得到结果对各参数的梯度

求出梯度之后，就可以用梯度下降法来训练我们的神经网络

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word representation: word2vec

一个神经网络的列子：word2vec词向量，它利用非常简单的神经网络进行训练可以得到词向量，即这个词的低维的一个表示

word2vec能得到什么样的效果？取得什么样的词向量？

word2vec得到的词向量可以反映语言的一些规律，（学到这些词汇比较丰富的语义内涵，从而捕捉到语言上的一些规律）：

例如：queen和woman平行

其中queen的向量减去king再加上man就等于woman，就可以认为其存在平行关系

queen--》king 与woman---〉man 这两个向量是平行的

word2vec用非常简单的神经网络就实现了这点，它有两类模型：

word2vec使用滑动窗口，来构造我们的训练数据

一个滑动窗口，是在一段文本中连续出现了几个单词，然后这些单词构成了一个窗口，在这样的一个窗口里，最中间的那个词就叫做target目标词，其他词被称作context上下文的词

模型一CBOW用context预测target。模型二skip-gram用target去预测context

滑动窗口事例如下：窗口大小设置为5，蓝色为target，白色为context

需要注意的是：但窗口滑动到这个句子的某一端时，比如第一个在句子的最左端，那么这个窗口，通常它就是不完整的，目标词在最左边，它的更左边就没有其他的context词了

一、从CBOW这个模型开始介绍word2vec的网络结构

CBOW是context去预测target，但滑动窗口为5时：对于never too late to learn

会用never too to learn去预测late这个目标词

注意：这里面有个bag-of-word的假设，即，不考虑context的词的次序，随便调用两个context词的位置，其模型在这个情况下，他要执行这个预测任务是完全相同的，对于模型的输入也是完全一样的

输入词的多少由滑动窗口的大小来决定

never和late这两个词，分别表示为one-hot向量，这个one-hot向量就是其他元素都是0，一个元素为1，这个元素就是词表中所表示这个词的所代表的维度

我们在一个词向量矩阵中找到never和late这两个词分别对应的词向量，即这次要训练的两个词向量，我们将这两个词向量average，即把他们加起来做平均，这样可以得到一个向量，这个向量的大小仍为这个词向量的维度

为了让这个模型去预测出too这个词，我们考虑把这个问题设计成一个n分类问题（softmax），这里的n表示的是词表的大小，即我们希望对所有的词做一个分类，每一个词去代表它的一个类别，所以我们必须对我们网络的输出层进行设计，让它具备有词表大小这么多个维度，并且进行一个softmax，这样的话我们就可以得到一个概率分布。所以我们在dot product处就是要进行一个线性变换，把词向量大小维度的向量去转化为词表大小，然后在上面用一个softmax层，得到一个词表大小的概率分布的向量，它的每一个维度加起来的值是1。

在这个例子里，它得到预测too的概率是0.4

二、对于skip-gram这个结构

它与CBOW正相反，是从target词去预测context词

对于一个神经网络来说，让它预测出多个输出其实是不太容易的，所以我们把这个问题去分解，分别让它学会去输出每一个context

输入一个词target，找到它对应的词向量，转换成词表大小，然后再去softmax，让它预测context这个词

以上两个模型中，我们都默认了要对整个词表进行softmax，然后最后再使用cross entropy loss来进行训练，

这样会产生一个问题：实际上这个vocabulary词表的大小它可能会非常的大，比如说上万，这样一来，我们进行全部的softmax之后，再进行反向传播和梯度下降，那么这个计算量就会非常大，所以我们需要想一些办法来提高计算的效率

为了计算效率的提高，我们需要对计算过程去进行取舍，具体来说，我们可以用两种方法来提高计算的效率，一种方法为：负采样；另一种方法为：做分层softmax

（1）负采样：

我们不把整个文档or词表去作为一个softmax，只采样一小部分作为所谓的负例

Q：我们如何进行负例的采样？

对于word2vec，他是按照这个词的频率，来进行负例的采样，词频越高，它被采样的概率越大

可对其做调整，如下，对其做了一个3/4的次方，这里的3/4就是一个经验值，这样可以让这些低频词被采的概率稍微提高一些，防止他们总是不被采到

这里用skip-gram这个结构来说明负采例的一个情况：

在整个词表大小做一个softmax，然后最后这个概率分布里面，包含这个词表里面的每一个词

那么我们在这里面应用负采例采样的技巧，在做softmax之前，我们只采用4个不是要我们预测的context的词，即4个和never不一样的词，然后我们把它们在这一步的这个数拿出来，和所谓的正例，即never，他们5个数进行一个softmax，最后形成的概率分布也为模型在这5个词里面进行预测的一个概率分布，这相当于，其他词压根就没有参与这个计算过程，这样我们的计算量就可以降低到一个非常低的一个程度，使得word2vec这个的训练是变得可能的

比如：我们在最后一步矩阵的映射中，从词向量维度映射到词表维度，它通过一个300x10000的这么一个矩阵实现，也就是说，假设我们词量维度是100，词表维度是10000，那么我们原本要对这10000个词进行softmax，然后再反向传播的时候，我们要对一整个300x10000的这么一个矩阵去进行一个梯度的计算，其计算量非常大，进行参数更新的时候也会有很大的计算量，

那么我们使用负列采样之后，假设我们只采4个负例，俺么我们最终softmax的时候只有5个值，那么我们在最后反向传播的时候，只对300x5折么一个子矩阵去求梯度，因此计算量非常小，它自由0.05%

事实证明，这种方法可以有效地训练得到我们想要的词向量的

此外，word2vec还有一些其他的训练技巧：

1、sub-sampling：

这个方法是为了平衡常见词和罕见词，

罕见词出现的概率比较低，它可能会包含比较丰富的语义信息

常见词出现的概率比较高，它涵盖的意义可能不太丰富，比如：的，额

所以这个方法就是，在训练过程中，去去掉一些词，依照以下公式

一个词出现的频次越高，它在训练中被去掉的概率也就越大，t是一个可以调整的参数

2、soft sliding window非固定的滑动窗口

之前讲的word2vec是固定窗口，窗口内所有的context的词它都处于一个平等的地位

实际上，我们会认为，这个离target词更近的context词，它可能会比一个更远的context词更加的相关，因此我们在word2vec的实践过程中，运用的是一个不固定大小的滑动窗口

这个窗口通过采样得到：设定一个滑动窗口的最大值smax，然后在生成训练数据的时候从1到smax之间去采样一个值，让这个值作为这一次训练的滑动窗口大小，通过这个变化的大小，我们离target词更近的词，它会有更大的机率会被采样成context词来进行训练