代码随想录算法训练营第一天|704. 二分查找、27. 移除元素

LeetCode.704 二分查找

题目链接:704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

视频链接:二分查找法

相关练习:35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

367. 有效的完全平方数 - 力扣（LeetCode）

思路: 首先看到这个题目,会重点关注的是有序整型数组和所有元素是不重复的字眼。那我们就很容易想到寻找一个数的基本二分查找,了解过的都知道逻辑很简单,就是有点细节把控不好.以至于出错。例如到底是?while(left < right)?还是?while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？上面的问题就是区间定义没有分清楚，写二分法一般就是左闭右闭[left,right]和左闭右开[left,right)两种，接下来和大家一起讨论，用这两种方法如何解题。

整数二分法

指定的数字(binary_search)

第一种:左闭右闭[left,right]

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<=right)
        {
              int mid=left+((right-left)>>1);//避免溢出
              if(nums[mid]==target) return mid;//找到target，返回mid
              else if(nums[mid]>target) right=mid-1;//往左区间[left,mid-1]查找
              else   left=mid+1; //往右区间[mid+1,right]查找

        }
        return -1;//查找失败返回-1
    }
};

时间复杂度:O(logn)

空间复杂度:O(1)

为了更好理解上面的代码,举个例子简单理解一下:

现在我们需要从序列A={1,5,6,8,9,11,15,16,20}中查找数字11的位置,其中序列是0下标是0到8(下标1到9也是没问题的大家下去可以模拟一下)

1.[left,right]=[0,8],因此下标中点是mid=(left+right)/2=4;A[mid]=A[4]=9;9<11;说明需要在 ? ?[mid+1,right]范围内继续找,因此left=mid+1=5;

2.[left,right]=[5,8],因此下标中点是mid=(left+right)/2=6;A[mid]=A[6]=15;15>11;说明需要在[left,mid-1]范围内继续查找,因此right=mid-1=5;

3.[left,right]=[5,5],因此下标中点mid=(left+right)/2=5;A[mid]=A[5]=11;11=11;说明找到了需要查找的数X，返回下标5

1.为什么while循环的条件中是<=，而不是<?

?答:因为初始化right的赋值是nums.length-1,即最后一个元素的索引,而不是nums.length.这两者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是;前者是相当于两端都闭区间[left,right],后者相当于左闭右开区间[left,right)。因为索引大小nums.length是越界的，所以我们把right这一边视为开区间。我们这个算法使用的是前者[left,right]两端都闭区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。while(left<=right)的终止条件是left=right+1;while(left<right)的终止条件是left=right;

2.为什么left=mid+1,right=mid-1?为什么有的代码写的是right=mid或left=mid?

答:刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即?[left, right]。那么当我们发现索引?mid?不是要找的?target?时，当然是去搜索区间?[left, mid-1]?或者区间?[mid+1, right]?对不对？因为?mid?已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

第二种:左闭右开[left,right)

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
     int left=0,right=nums.size();
     while(left<right)//因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
     { 
         int mid=left+((right-left)>>1);
         if(nums[mid]>target)
         {
             right=mid;//target 在左区间，在[left, middle)中
         }
         else if(nums[mid]<target)
         {
             left=mid+1;// target 在右区间，在[middle + 1, right)中
         }
         else
         {
          return mid;   // 数组中找到目标值，直接返回下标
         }
     }
     return -1;
    }
};

时间复杂度:O(logn);

空间复杂度:O(1)

当然，二分查找也可以使用递归形式:

//二分区间为左闭右闭的[left,right],传入的初值为[0,n-1]
int binarySearch(int* a, int left, int right, int key)
{
	while (left < right)
	{
		int mid = left + ((right - left) >> 1);
		int number = a[mid];
		if (number < key)
		{
			return binarySearch(a, mid + 1, right, key);
		}
		else if (number > key)
		{
			return binarySearch(a, left, mid - 1, key);
		}
		else
			return mid;
	}
}

第一个大于等于X的位置(lower_bound/upper_bound)

例如对下标0开始，有5个元素的序列为{1,3,3,3,6}来说,如果要查询3，则应当得到L=1，R=4;如果要查询5，则应当得到L=R=4;如果要查询6.应该得到L=4,R=5;而查询如果是8，则应该得到L=R=5.显然如果序列中没有X，那么L和R也可以理解为假设序列中存在X，则X应当在的位置.

做法其实和前面的很类似,下面我们来分析一下,假设当前的二分区间为左闭右闭区间[left,right]，那么可以根据mid位置处的元素与欲查询元素x的大小来判断应当往哪个区间查找:

1.如果A[mid]>=x,说明第一个大于等于x的位置一定在mid处或者在mid的左侧，应该往左子区间[left,mid]继续查找,即令right=mid;

?2.如果A[mid]<x,说明第一个大于等于x的元素的位置一定在mid的右侧，应往右区间[mid+1,right]继续查找,即令left=mid+1;?

代码:

//A[]为递增，x为查询数字;
//二分上下界为左闭右闭的[left,right],传入的初值为[0,n]
int low_bound(int A[],int left,int right,int x)
{
 int mid;
  while(left<right)
 {
   mid=(left+right)/2;
   if(A[mid]>=x)  right=mid;//中间的数大于等于x，往左边区间找[left,mid]
   else           left=mid+1;//中间的数小于x，往右边区间找[mid+1,right]
 }
  return left;
}

注意:1.循环条件为什么是left<right不是left<=right？这是由问题本身决定的.在上面题目中，需要当元素不存在返回-1,这样当left>right是[left,right]就不再是闭区间，可以作为元素不存在的判定原则，因此left<=right满足时循环应当一直执行。但是如果要是区间返回第一个大于等于x的元素，就不需要判断元素本身是不是存在,因为他就算不存在返回的也是"假设他存在，他应该的位置",于是当left==right时， 刚好能夹出唯一的位置，就是需要的结果.

2.由于left==right时while停止,因此最后返回left,right都可以.

3.二分的初始区间应该能覆盖到所有可能返回的结果.下界为0肯定的，那上界为什么是n，不是n-1,考虑到欲查询元素有可能比序列中任何数字都要大，此时应该返回n（即假设它存在，它应该在的位置).故初始化区间为[0,n];当然也有的题目要求不在则返回-1,这时候就不需要取到n,具体问题具体分析.

拓展: 其实这就是C++中lower_bound()函数的用法,返回第一个大于等于x数的位置,不存在则返回最后一个数的下一个位置;对应的也有个upper_bound()函数的用法，它是返回第一个大于x数的位置;这个大家可以去实现下，其实就是A[mid]>=x换成A[mid]>x就可以了.这两个函数大家可以去了解下,具体实现上面其实已经介绍了.

不大于X的最后一个位置?

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

简述下题意就是:就是查询一个数的起始位置和终止位置，不存在这个数就返回-1，所以这里取值范围不需要向上面一样取到n(这里不需要输出最后一个数的下一个位置)；

需要写两个二分，一个需要找到>=x的第一个数，另一个需要找到<=x的最后一个数。查找不小于x的第一个位置，较为简单(上面已经讲过了):直接放代码

int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
    int mid = l + r >> 1;
    if (a[mid] < x)  l = mid + 1;
    else    r = mid;
}

查找不大于x的最后一个位置，便不容易了：

int l1 = l, r1 = n;
while (l1 + 1 < r1) {
    int mid = l1 + r1 >> 1;
    if (a[mid] <= x)  l1 = mid;
    else    r1 = mid;
}

为什么不令r = mid - 1呢？因为如果按照上一个二分的写法，循环判断条件还是l < r,当只有两个元素比如2 2时，l指向第一个元素，r指向第二个元素，mid指向第一个元素，a[mid] <= x，l = mid还是指向第一个元素，指针不移动了，陷入死循环了，此刻l + 1 == r，未能退出循环。
那么直接把循环判断条件改成l + 1 < r呢？此时一旦只有两个元素，l和r差1，循环便不再执行，查找错误。
所以这里出现了二分的典型错误，l == r作为循环终止条件，会出现死循环，l + 1 == r作为循环终止条件，会出现查找错误?

问题如何解决，一种方法就是将查找的区间设置为左闭右开，比如待查找元素在[0,n - 1]范围内，可以写成[0,n)，令r = n，这时候只有两个元素时，r是取最右边元素的后一个位置的，l和r相差2，还会执行循环。
现在再来理解上一段的r1 = mid，说明a[mid] > x时，r = mid就表示待查找元素会是在r的左边，因为r是开区间。上面这种写法修改了循环条件使得二分不会死循环，修改了区间的开闭性使得不会查找错误。另一种解决办法就是：

int l = 0, r = n - 1;
while (l < r)
 {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (a[mid] <= x) l = mid;
        else r = mid - 1;
 }

?整数二分模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
 
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分法

首先介绍如何计算根号2的近似值。

对于f(x)=x^2来说,在x属于[1,2]范围内,f(x)是随着x的增大而增大的，这就给使用二分法创造了条件,即可以用如下策略来逼近根号二的值。(这里不妨以精确到10^-5为例)

令浮点数left和right的初值分别是1和2，然后根据left和right的中点mid处f(x)的值与2的大小来选择子区间进行逼近.

如果f(mid)>2,说明mid>根号2,应当在[left，mid]的范围内继续逼近,故令right=mid;

?

?如果f(mid)<2,说明mid<根号2,应该在[mid,right]的范围内继续逼近,故令left=mid.?

代码:

const double eps=1e-5;
double f(double x)
{
   return x*x;
}
double calsqrt()
{  
  double left=1,right=2,mid;
  while(right-left>eps)
  { 
   mid=(left+right)/2;
   if(f(mid)>2)  right=mid;
   else         left=mid;
  }
  return mid;
 }

浮点数二分法模板?

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
 
double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

?LeetCode.27?移除元素

题目链接:27. 移除元素 - 力扣（LeetCode）

视频链接:数组中移除元素并不容易！ | LeetCode：27. 移除元素_哔哩哔哩_bilibili

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思路:?题目要求我们把nums中所有值为val的元素原地删除，需要使用快慢指针技巧:如果fast遇到值为val的元素，则直接跳过，否则就赋值给slow指针，并让slow前进一步。

class Solution {
public:
    int removeElement(vector<int>& nums, int val) {
        int fast = 0, slow = 0;
        while (fast < nums.size()) {
            if (nums[fast] != val) {
                nums[slow] = nums[fast];
                slow++;
            }
            fast++;
        }
        return slow;
    }
};

总结

由于好久没有碰编程，这两题加上总结大概花费了3h左右，好在于学到了东西，让我对二分查找有了更好的认识，对开区间和闭区间，对是否需要加上等于号有了更清晰地定义和区分，第二题刚开始并没有想到快慢指针，而是用双层for循环,这样做在力扣上也是可以做的，为了提高算法效率，学习到了快慢指针并连同看了左右指针，有些细节已经忘了，重温了一遍，效果自我感觉不错，明天继续加油!!!