【第三章】数字信号处理 DFS离散傅里叶级数与DFT离散傅里叶变换

对应程佩青《数字信号处理》第三章 离散傅里叶变换，文章全部为原创，其中独创性地研究了从DFS推导出DFT，并探讨了DFT时域和频域
点数的关系，在中文互联网上为首创。

文章内容较多，建议点赞收藏后结合书本学习。

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离散傅立叶级数(DFS)

傅立叶级数：周期函数（连续时间），离散频率
离散傅立叶级数：周期序列（离散时间），离散频率

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表达式

周期为$N$序列$\tilde{x}(n)$用类比于连续周期信号$x(t)$展开成傅立叶级数$X(jk{\Omega }_0)$的方法展开

$\tilde{x}(n)=\tilde{x}(n+rN)$

展开成$$\begin{array}{rl}\tilde{x}(n)=& \frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\\ =& \sum _{k=0}^{N?1}\tilde{x}(n)W_N^{?nk}\end{array}$$
其中$$W_N^n=e^{?j\frac{2\pi }{N}}$$

DFS系数$\tilde{X}(k)$的求取

$$\begin{array}{rl}\tilde{X}(k)=& \sum _{k=0}^{N?1}\tilde{x}(n)e^{?j\frac{2\pi }{N}nk}\\ =& \sum _{n=0}^{N?1}\tilde{x}(n)W_N^{nk}\end{array}$$
$\tilde{X}(k)$中的变量(k)由$W_N^n$上的变量决定，记住这条变量k的可换性，对于理解DFS的含义有很大帮助。

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$W_N^n$的性质

共轭对称性

$W_N^n=(W_N^{?n}{)}^{?}$，易证

周期性

$W_N^n=W_N^{n+iN}$

以$N$为周期，与DFS系数的周期性共同决定了DFS的周期性

可约性

$W_N^{in}=W_{\frac{N}{i}}^n$

$W_{iN}^{in}=W_N^n$

推导FFT有使用

正交性

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}{W}_N^{nk}(W_N^{mk}{)}^{?}\\ =& \frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}{W}_N^{(n?m)k}=\{\begin{array}{ll}1,& n?m=iN\\ 0,& n?m\ne iN\end{array}\end{array}$

也写作

$\begin{array}{r}\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}{e}^{j\frac{2\pi }{N}rn}=\{\begin{array}{ll}1,& r=mN,m为任意整数\\ 0,& 其他r\end{array}\end{array}$

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推导过程及意义

方法一 类比FS定义先假设用系数表达再求出系数

对于周期序列$\tilde{x}(n)$用傅立叶级数的方法展开，

其谐波分量$e^{jk\frac{2\pi }{N}n}$不像连续周期函数的傅立叶级数的谐波分量$e^{jk{w}_{0}t}$，

虽然都是离散取值，

但DFS为频域周期，故只取一个周期（0-N-1）内的谐波

$\hat{x}(n)=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N?1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$

设成这个形式是运用到了$W_N^n$的正交性，然后利用这个性质得到$\tilde{X}(k)$的表达式（但总体很不自然）

方法二 从离散时间傅立叶变换（DTFT），频域离散化出DFS

离散时间傅立叶变换只是时间上离散，并没有抽样周期化

$X(e^{jw})={\sum }_{n=?\infty }^{\infty }x(n)e^{?jwn}$

DTFT在频域上$X(e^{jw})$连续，因为模拟信号的频率$\Omega$连续，数字频率$w=\Omega T$也连续

要使得频域上离散，模拟频率也要离散化，$\Omega =k{\Omega }_0$，

抽样后的数字频率也离散化$w=k{\Omega }_{0}T$，

可以写作$X(e^{jk{\Omega }_{0}T})={\sum }_{n=?\infty }^{\infty }\tilde{x}(n)e^{?jnk{\Omega }_{0}T}={\sum }_{n=0}^{N?1}\tilde{x}(n)e^{?jnk{\Omega }_{0}T}$

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讨论 时域与频域的周期和频率的关系

1. （对于连续周期函数的FS），函数周期$T_0$，则频率为$F_0=\frac{1}{T_0}$，
   频域离散因而频域谱线间隔为$F_0=\frac{1}{T_0}$（谐波为$k{F}_0$，这里以频率非角频率为单位）

2. 对其时域进行抽样，（离散周期函数的DFS），抽样间隔为$T$，则抽样频率为$f_s=\frac{1}{T}$，
   借由理想抽样信号的FT的结论（DTFT），${\hat{X}}_a(j\Omega )=\frac{1}{T}{\sum }_{k=?\infty }^{\infty }{X}_a[j(\Omega ?k{\Omega }_s)]$
   （实际上DTFT为非周期离散信号，这里借用的是推导过程中理想抽样信号由非周期函数乘以周期离散函数，得到的周期离散函数的频谱特性），
   在频域上的周期为$f_s=\frac{1}{T}$

3. 那么由于已经假设了序列为N点周期，$\tilde{x}(n)=\tilde{x}(n+rN)$，在一个周期内有$N$个抽样点，$T_0=NT$
   上面已经得到了频域上频率函数也为周期函数，且频域的谱线间隔即频域的“离散化抽样频率”和周期已知，设频域上一个周期有$N’$个抽样点，则$N’=\frac{f_s}{F_0}=\frac{T_0}{T}=N$

故频域的周期与时域的周期相同，均为N。

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时域抽样间隔$T$，抽样频率$f_s=\frac{1}{T}$，周期为N，

频域谱线间隔$d\Omega ={\Omega }_0$，则在频域上的抽样点数$N=\frac{{\Omega }_s}{{\Omega }_0}$与时域的周期相同，时域和频域的抽样点数（周期）相同

$$\begin{array}{rl}x(n)=& \frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega \\ =& \frac{T}{2\pi }{\int }_{?\frac{\pi }{T}}^{\frac{\pi }{T}}X(e^{j\Omega T})e^{jn\Omega T}d\Omega \\ =& \frac{1}{{\Omega }_s}{\int }_{?\frac{{\Omega }_s}{2}}^{\frac{{\Omega }_s}{2}}X(e^{j\Omega T})e^{jn\Omega T}d\Omega \end{array}$$
频率周期也为$N$，之前假设$\Omega =k{\Omega }_0$，那么$k$的取值范围为$[0,N?1]$
$$\tilde{x}(n)=\frac{{\Omega }_0}{{\Omega }_s}\sum _{k=0}^{N?1}X(e^{jk{\Omega }_{0}T})e^{jnk{\Omega }_{0}T}$$

再用到$$\frac{{\Omega }_0}{{\Omega }_s}=\frac{F_0}{f_s}=\frac{1}{N}$$
以及$${\Omega }_{0}T=2\pi F_{0}T=2\pi \frac{F_0}{f_s}=\frac{2\pi }{N}$$
最终得到的表达式为
$$\tilde{X}(k)=\tilde{X}(e^{j\frac{2\pi }{N}k})=\sum _{n=0}^{N?1}\tilde{x}(n)e^{?j\frac{2\pi }{N}kn}$$
$$\tilde{x}(n)=\tilde{x}(nT)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$
其谐波分量为$$\frac{2\pi }{N}kn$$

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求法及与Z变换关系

由于频域被抽样成了N个点，原来的数字频率$w$的一个周期为$2\pi$，故可以等效作$w=\frac{2\pi }{N}k,k\in [0,N?1]$

在上面给出了由DTFT推导出DFS表达式形式的一种方法，由于DTFT与Z变换关系已知，

故可以借此得到DFS（的系数$\tilde{X}(k)$）与DTFT和Z变换的关系

$$\tilde{X}(k)=\tilde{X}(e^{j\frac{2\pi }{N}}k)=X(e^{jw}){|}_{w=\frac{2\pi }{N}k}$$

DFS等于$\tilde{x}(n)$的一个周期有限序列$x(n)$的DTFT在$w=\frac{2\pi }{N}k$处的抽样值，为单位圆上z变换的N个等间隔的点的抽样值。

故可先计算主值区间DTFT，然后用频域上抽样值来表示

抽样后也就有了以N个抽样点为周期的周期性，但表达式上并不显示表达（$X(e^{jw})与$$\tilde{X}(k)$都有周期性）

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性质

线性

$DFS[a\widetilde{x_1}(n)+b\widetilde{x_2}(n)]=a{\tilde{X}}_1(k)+b{\tilde{X}}_2(k)$
（要求${\tilde{x}}_1(n)$和${\tilde{x}}_2(n)$周期相同，由DFS系数的周期性决定）

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移位

$DFS[\tilde{x}(n+m)]=W_N^{?mk}\tilde{X}(k)$

考虑到$W_N^n$表达式幂次已经有负号，故符号反转

证明时只改变时域序列的表达，通过变量代换得到结果

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调制特性

$DFS[W_N^{ln}\tilde{x}(n)]=\tilde{X}(k+l)$

证明用到了前面的一个观察结果（见$\tilde{X}(k)$的求取）：$\tilde{X}(k)$中的变量(k)由$W_N^n$上的变量决定

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对偶性

$DFS[\tilde{X}(n)]=N\tilde{x}(?k)$

证明：逆变换表达式$\tilde{x}(n)=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N?1}\tilde{X}(k)W_N^{?nk}$

将n和k互换（n换-k，k换n），

得$N\tilde{x}(?k)={\sum }_{n=0}^{N?1}\tilde{X}(n)W_N^{nk}$

证毕

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周期卷积和性质

周期卷积和

${\tilde{x}}_1(n)$和${\tilde{x}}_2(n)$均为周期为$N$的序列

则

$\begin{array}{rl}\tilde{y}(n)=& {\tilde{x}}_1(n)?{\tilde{x}}_2(n)\\ =& \sum _{m=0}^{N?1}{\tilde{x}}_1(m){\tilde{x}}_2(n?m)\\ =& \sum _{m=0}^{N?1}{\tilde{x}}_2(m){\tilde{x}}_1(n?m)\end{array}$

求和仅为一个区间，其中一个序列仅移动一个区间的长度

由于${\tilde{x}}_1(m)$和${\tilde{x}}_2(n?m)$也均为周期为$N$的序列，故$\tilde{y}(n)$也为周期为$N$的序列

求法：（N点圆周卷积和的周期延拓）

前面已经讨论其具有周期性，故求出$0～N?1$主值区间再进行周期延拓
可通过表格法计算，利用两个序列的周期性得到${\tilde{x}}_i(n?m)$的值

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周期卷积和的DFS

$\tilde{Y}(k)={\tilde{X}}_1(k){\tilde{X}}_2(k)$

若$\tilde{y}(n)={\tilde{x}}_1(n){\tilde{x}}_2(n)$，$\tilde{Y}(k)=\frac{1}{N}{\tilde{X}}_1(k)?{\tilde{X}}_2(k)$

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离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶级数：时域周期离散，频域离散周期

将DFS的时域和频域都截成有限长度等于周期N，得DFT

定义

主值序列$x(n)$仅在$\tilde{x}(n)$主值区间$[0,N?1]$有值

$$\begin{array}{rl}x(n)=& \tilde{x}(n)R_N(n)\\ =& x((n){)}_N{R}_N(n)\end{array}$$
其中$$x((n){)}_N=x(nmodN)$$故DFT有周期性的含义

$$\tilde{x}(n)=x((n){)}_N=\sum _{r=?\infty }^{\infty }x(n+rN)$$

同理频域上为$$X(k)=\tilde{X}(k)R_N(k)=X((k){)}_N{R}_N(k)$$

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定义式

$$X(k)=DFT[x(n)]=\sum _{k=0}^{N?1}x(n)W_N^{nk},k=0,1,...,N?1$$

$$x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}X(k)W_N^{?nk},n=0,1,...,N?1$$

拓展 利用DFT计算IDFT

考虑$$x^{?}(n)=\frac{1}{N}[\sum _{n=0}^{N?1}X(k)W_N^{?nk}]?=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}{X}^{?}(k)W_N^{nk}=\frac{1}{N}DFT[X^{?}(k)]$$
$$x(n)=\frac{1}{N}{DFT[X^{?}(k)]}^{?}$$

提供了一种使用FFT公式计算IFFT的方法

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矩阵表示

DFT矩阵

$$X=W_{N}x$$
$x$为时域序列的列向量,$X$为频域序列的列向量

$N$点DFT矩阵$$W_N=\left[\begin{array}{ccccc}& 1& 1& ?& 1\\ & 1& W_N^1& ?& W_N^{N?1}\\ & ?& ?& ?& ?\\ & 1& W_N^{N?1}& ?& W_N^{(N?1)(N?1)}\end{array}\right]$$

理解谐波分量$W_N^{nk}$，对于每一个$X(k)$计算$k$定$n$动

IDFT矩阵

$x=W_N^{?1}X$，

N点IDFT矩阵$W_N^{?1}=\frac{1}{N}{W}_N^{?}$

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由$X(e^{jw})$求$X(k)$

与求DFS$\tilde{X}(k)$的过程一样，但是考虑到$X(k)$实际上是$\tilde{X}(k)$的一个主值区间，

而$X(e^{jw})$实际上隐含有$2\pi$的周期性，因此需要限制$k$的范围。

在使用DTFT求DFS时，时域序列已经截取了主值区间。
$$X(k)=X(e^{jw}){|}_{w=\frac{2\pi }{N}k},k=0,1,2,?,N?1$$

$x(n)$和$x(k)$各参量之间的关系

此前在（讨论 时域与频域的周期和频率的关系）中就已经在推导DFS的过程中给出了这些关系，在DFT中这些关系仍然存在

$$T_0=NT=\frac{N}{f_s}=\frac{1}{F_0}$$
则有频率分辨率$F_0$为频域相邻两抽样点的频率间距$$F_0=\frac{f_s}{N}=\frac{1}{NT}=\frac{1}{T_0}$$
由第一篇博客（数字信号处理必备知识）中的数字频率和模拟频率关系$$w_k=\frac{2\pi }{N}k=2\pi \frac{f_k}{f_s}=2\pi f_{k}T$$得到频域第k个抽样点频率$$f_k=\frac{k}{NT}=\frac{k{f}_s}{N}$$
同样说明了$\frac{1}{NT}$为频率分辨率

把$$T_0=NT$$称为记录时间

增加记录时间，就能减小$F_0=\frac{1}{T_0}$，提高频率分辨率

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性质

线性性质

$DFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=a{X}_1(k)+b{X}_2(k)$

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圆周移位性质

有限长序列$x(n)$的$m$点圆周移位是在主值区间上进行的周期延拓序列的线性移位取主值为
$$x_m(n)=x((n+m){)}_N{R}_N(n)$$
$$x((n+m){)}_N=\tilde{x}(n+m)$$
$$DFT[x_m(n)]=X_m(k)=W_N^{?mk}X(k)$$
与DFS的线性移位性质的结果相同，因为其实际上就是DFS的线性移位后截取主值区间的结果

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调制特性（频域圆周移位）

$DFT[W_N^{nl}x(n)]=X((k+l){)}_N{R}_N(k)$

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圆周共轭对称性质

圆周共轭序列

圆周共轭对称序列$$x_{ep}(n)=x_{ep}^{?}((?n){)}_N{R}_N(n)=x_{ep}^{?}(N?n),n=0,1,2,?,N?1$$
圆周共轭反对称序列$$x_{op}(n)=?x_{op}^{?}((?n){)}_N{R}_N(n)=—x_{op}^{?}(N?n),n=0,1,2,?,N?1$$
利用了周期共轭对称序列（无限长）来定义，并取了主值区间上的值，回顾圆周移位（圆周的主值性）

与有限长序列的共轭对称序列对比

有限长共轭对称序列$x_e(n)$和共轭反对称序列$x_o(n)$有$2N?1$个点，以原点为对称中心对称

而圆周共轭对称序列和反对称序列是在有限长序列的周期延拓序列的共轭对称序列的主值区间上定义的，只有$N$个点。
且对称中心为$\frac{n+(N?n)}{2}=\frac{N}{2}$。

在以该对称中心讨论有限长序列的圆周对称性时需要在$n=N$处补上$n=0$的序列值。（直接在主值区间即有限长序列上讨论对称性）

圆周翻褶序列

考虑到圆周的主值性，也满足$N$点DFT长度相等的需要

$x(n)$的圆周翻褶序列以圆周对称中心$\frac{N}{2}$翻褶

把$x((?n){)}_N{R}_N(n)=x(N?n)$称作$x(n)$的圆周翻褶序列

圆周翻褶序列的DFT

$$DFT[x(N?n)]=X(N?k)$$
实际上是对DFT的隐含的周期性的理解，重新截取主值区间

有限长序列的另一分解

有限长序列一定可以表示成圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量之和（这就是直接在有限长序列上对其进行讨论）
$$x(n)=x_{ep}(n)+x_{op}(n)$$
参考第二篇博客中的《共轭对称分量和反对称分量分解》，进行周期延拓后结论不变

有$${\tilde{x}}_e(n)=\frac{1}{2}[\tilde{x}(n)+{\tilde{x}}^{?}(?n)]$$$${\tilde{x}}_o(n)=\frac{1}{2}[\tilde{x}(n)?{\tilde{x}}^{?}(?n)]$$
故$$x_{ep}(n)={\tilde{x}}_e(n)R_N(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x^{?}(N?n)],n=0,1,2,?,N?1$$
$$x_{op}(n)={\tilde{x}}_o(n)R_N(n)=\frac{1}{2}[x(n)?x^{?}(N?n)],n=0,1,2,?,N?1$$

对偶性

由《DFS对偶性》再结合圆周取主值区间得到
$$DFT[X(n)]=Nx(N?k)$$

共轭序列的DFT

$$DFT[x^{?}(n)]=X^{?}(N?k)$$
证：$\begin{array}{rl}DFT[x^{?}(n)]=& \sum _{n=0}^{N?1}{x}^{?}(n)W_N^{nk}{R}_N(k)\\ =& [\sum _{n=0}^{N?1}x(n)W_N^{?nk}{]}^{?}{R}_N(k)\\ =& X^{?}(N?k)\end{array}$

当$x(n)$为实序列时，$$x(n)=x^{?}(n)$$则$$X(k)=X^{?}(N?k)$$
而$$X(k)=|X(k)|e^{jarg[X(k)]}$$
故若$x(n)$为实序列，

其幅度谱$|X(k)|=|X(N?k)|$圆周偶对称，

相位谱$arg[X(k)]=?arg[X(N?k)]$圆周奇对称。

（连续实信号$x(t)$的FT的幅度谱和相位谱关于原点也有类似的对称关系）

圆周共轭翻褶序列的DFT

$$DFT[x^{?}(N?n)]=X^{?}(k)$$
证：$\begin{array}{rl}DFT[x^{?}(N?n)]=& DFT[x^{?}((?n){)}_N{R}_N(n)]\\ =& \sum _{n=0}^{N?1}{x}^{?}((?n){)}_N{W}_N^{nk}\\ =& \sum _{n=0}^{N?1}[x((?n){)}_N{W}_N^{?nk}{]}^{?}\\ =& \sum _{n=?(N?1)}^0[x((n){)}_N{W}_N^{nk}{]}^{?}\\ =& [\sum _{n=0}^{N?1}x((n){)}_N{W}_N^{nk}{]}^{?},周期性\\ =& X^{?}(k)\end{array}$

时域和频域的对偶关系

经过上面的讨论得到了将序列分解成圆周共轭对称序列和圆周共轭反对成序列的方法，

并能用原序列和原序列的共轭翻褶序列来表示圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量；

得到了共轭序列的DFT和圆周共轭翻褶序列的DFT。

由此可以得到对偶关系
$$x(n)=Re[x(n)]+jIm[x(n)],X(k)=X_{ep}(k)+X_{op}(k)$$
$$x(n)=x_{ep}(n)+x_{op}(n),X(k)=Re[X(k)]+jIm[X(k)]$$

利用对偶减小DFT计算量

利用圆周共轭对称关系，可以减小DFT计算量，一次只需计算一半的$X(k)$

用一次DFT计算两个N点实数序列DFT：

考虑$X_1(k)=DFT[x_1(n)]$，$X_2(k)=DFT[x_2(n)]$
构造$$x(n)=x_1(n)+j{x}_2(n)$$则$$X(k)=X_1(k)+j{X}_2(k)$$
其中
$$\begin{array}{rl}{X}_1(k)=& Re[X(k)]=\frac{1}{2}[X(k)+X^{?}(N?k)]\\ =& DFT[Re[x(n)]]=X_{ep}(k)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}j{X}_2(k)=& jIm[X(k)]=j\frac{1}{2}[X(k)?X^{?}(N?k)]\\ =& DFT[jIm[x(n)]]=j{X}_{op}(k)\end{array}$$

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DFT形式下的帕塞瓦尔定理

$$\sum _{n=0}^{N?1}{x}^2(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}|X(k){|}^2$$
一个序列在时域计算的能量和频域计算相等

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圆周卷积和定理

圆周卷积和

长度为$N_1$的序列$x_1(n)$与长度为$N_2$的序列$x_2(n)$的$L$点圆周卷积和为
$$\begin{array}{rl}y(n)=& x_1(n)?x_2(n)=x_2(n)?x_1(n)\\ =& [\sum _{m=0}^{l?1}{x}_1(m)x_2((n?m){)}_L]R_L(n),L\ge max[N_1,N_2]\end{array}$$
对于每一个n，累加另一个序列的圆周左移哑变量m位序列与序列在哑变量处取值的乘积。

要求将$x_1(n)$和$x_2(n)$的值补零到$L$点长

与周期卷积和的关系

$L$点圆周卷积和为以$L$为周期的周期卷积和的主值序列

与线性卷积和的关系（相互之间的求法）

由线性卷积和求圆周卷积和

$L$点圆周卷积和为线性卷积和的以$L$为周期延拓序列的主值区间

线性卷积和
$$y_l(n)=x_1(n)?x_2(n)=\sum _{m=0}^{N_1?1}{x}_1(m)x_2(n?m)$$

圆周卷积和
$$\begin{array}{rl}y(n)=& x_1(n)?x_2(n)=[\sum _{m=0}^{L?1}{x}_1(m)x_2((n?m){)}_L]R_L(n)\\ =& [\sum _{m=0}^{L?1}\sum _{r=?\infty }^{\infty }{x}_1(m)x_2(n+rL?m)]R_L(n)\\ =& [\sum _{r=?\infty }^{\infty }\sum _{m=0}^{L?1}{x}_1(m)x_2(n+rL?m)]R_L(n)\\ =& [\sum _{r=?\infty }^{\infty }\sum _{m=0}^{N_1?1}{x}_1(m)x_2(n+rL?m)]R_L(n)\\ =& [\sum _{r=?\infty }^{\infty }{y}_l(n+rL)]R_L(n)\end{array}$$

1. 先进行周期为$L$的周期延拓，
   （考虑到$L$仅要求$L\ge max(N_1,N_2)$，而线性卷积和$y_l(n)$的长度为$N_1+N_2?1$，可能产生混叠。）

2. 再取主值区间得圆周卷积和

由圆周卷积和求线性卷积和

由从线性卷积和到圆周卷积和的讨论得到了只有当$$L\ge N_1+N_2?1$$时，不发生混叠，线性卷积和的周期延拓序列的主值区间才是圆周卷积和。

$$y(n)=[\sum _{r=?\infty }^{\infty }{y}_l(n+rL)]R_L(n)$$

如何无损的恢复出$y_l(n)$?

1. 如果${\sum }_{r=?\infty }^{\infty }{y}_l(n+rL)$没有混叠，也就是$L\ge N_1+N_2?1$，

也就是说考虑到$R_L(n)$的截断在主值区间上只有一个$y_l(n)$存在，而这个$y_l(n)$的长度是$M=N_1+N_2?1$，

那么主值区间的$0～N_1+N_2?2$代表线性卷积和序列，剩下的为零点，可以无损恢复出整个线性卷积和序列

2. 若$L<N_1+N_2?1=M$，发生了混叠，并且序列被截断，必然不能恢复出完整的线性卷积和序列

考虑到相邻的周期序列的影响（实际上右移得到的序列已经在主值区间之外，实际上不会对区间内的结果产生混叠）

此时只有$$M?L～L?1$$区间代表线性卷积和

应用 实际运用中DFT计算圆周卷积和

在实际中利用FFT（DFT）来加速圆周卷积和的计算：

先将需要计算线性卷积的两个序列补零至足满足不发生混叠的长度，同时需要满足FFT的要求$L=2^m\ge N_1+N_2?1$ 。

然后对两补零序列做L点FFT。

将FFT结果相乘根据卷积定理就得到了圆周卷积和主值区间的FFT，对其进行IFFT就得到了卷积结果。

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圆周相关，利用DFT计算线性相关

线性相关定义式$$\begin{array}{rl}{r}_{xy}(m)=& \sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)y(n?m)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)y[?(m?n)]\\ =& x(m)?y(?m)\end{array}$$
则$$R_{xy}(e^{jw})=X(e^{jw})Y(e^{jw})$$
对于实序列（回翻前面共轭实序列DFT的性质），再共轭有$$X(N?k)=X^{?}(k)$$
频域抽样$$R_{xy}(k)=X(k)Y(N?k)=X(k)Y^{?}(k)$$

圆周相关定义式$$\begin{array}{rl}{\bar{x}}_{xy}(m)=& \sum _{n=0}^{N?1}x(n)y((n?m){)}_N{R}_N(m)=\sum _{n=0}^{N?1}x(n)y((?(m?n){)}_N{R}_N(m)\\ =& \sum _{n=0}^{N?1}x(n)y(N?(m?n))=\sum _{n=0}^{N?1}x(n)y(?(m?n?N))\\ =& x(m)?y(N?m)\end{array}$$
更深入理解卷积表达式的符号含义，哑变量和“移位”变量的区别

圆周相关定理

$$R_{xy}(k)=X(k)Y(N?k)=X(k)Y^{?}(k)$$则$${\bar{r}}_{xy}(m)=IDFT[R_{xy}(k)]=\sum _{n=0}^{N?1}x(n)y((n?m){)}_N{R}_N(m)$$
利用FFT快速计算线性相关，在快速卷积基础上要先确定$r_{xy}(0)$的位置（可利用卷积和定位），

然后求出$R_{xy}(k)=X(k)Y^{?}(k)$，再做IFFT

时域和频域上的圆周卷积和定理

时域
$$y(n)=x_1(n)?x_2(n)$$$$Y(k)=X_1(k)X_2(k),L点$$
注意：将序列补零到$L$点，然后做$L$点DFT

频域
$$y(n)=x_1(n)x_2(n)$$$$Y(k)=\frac{1}{L}{X}_1(k)?X_2(k)$$
注意：同样需要补零

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频域抽样理论

频域抽样定理

讨论 频域抽样，由$X(k)$重构时间序列$x(n)$

本文此前已经从频域抽样的角度推导出DFS的表达式。

但是这只是对DFS表达式的一个论证，并不是数学上的证明.

其中在使用时域和频域的抽样点数（周期）相等时，已经迎合了DFS的定义，默认了DFS是针对周期序列$\tilde{x}(n)$的，然后针对时域序
列的周期性来导出频域上的周期性。

下面就来探讨对于一个非周期序列，如果在频域上抽样，能否从抽样后的频谱来恢复出这个非周期序列。这里为了区分于此前的讨论，选择从z变换的角度来进行。

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对一个绝对可和的非周期序列$x(n)$，其z变换为$$X(z)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)z^{?n}$$由于$$\sum _{n=?\infty }^{\infty }|x(n)|<\infty$$故在单位圆上z变换收敛，z变换收敛域包含单位圆，

在单位圆上进行抽样，$w$取值$0～2\pi$，在其上抽取$N$个频率，得
$$\tilde{X}(k)=X(z){|}_{z=e^{j\frac{2\pi }{N}k}}=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)W_N^{kn}$$
就得到了周期性序列$\tilde{X}(k)$，也就是DFS

求时域序列$$\begin{array}{rl}{\tilde{x}}_N(n)=& IDFS[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N}\sum {k=0}^{N?1}\tilde{X}(k)W_N^{?kn}\\ =& \frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}[\sum _{m=?\infty }^{\infty }x(m)W_N^{km}]W_N^{?kn}\\ =& \sum _{m=?\infty }^{\infty }x(m)[\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}{W}_N^{(m?n)k}]\\ =& \sum _{r=?\infty }^{\infty }x(n+rN)\end{array}$$
利用了性质$$\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}{W}_N^{(m?n)k}=\{\begin{array}{ll}1,& m=n+rN,r为整数\\ 0,& 其他m\end{array}$$
可以看到频域抽样后进行IDFS得到的时域延拓序列的周期为$N$，与频域抽样点数相同。
（此前：时域序列的一个周期内的时域抽样点数为$N$）。频域的抽样造成了时域的周期延拓

• 若$x(n)$为无限长序列，频域抽样后恢复出来的时域序列必定混叠失真。频域抽样点数$N$越多（抽样越密），混叠失真越小
• 若$x(n)$为有限长序列，长度为$M$点，当频域抽样点数$N<M$时，只有在$M?N\le n\le N?1$没有失真。这一点与《由圆周卷积和求线性卷积和》的结论类似。圆周卷积和得到的结果是线性卷积和以圆周卷积点数$L$为周期的混叠；频域抽样后恢复的时域序列是非周期时域序列以频域抽样点数$N$为周期的混叠。

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如果序列的长度为$M$点，对其DTFT$X(e^{jw})$在$0\le w\le 2\pi$上等间隔抽样（抽样点不包括$2\pi$），得到$\tilde{X}(k)$，只有当抽样点数$N\ge M$时，才能由$\tilde{X}(k)$无失真恢复$x(n)$

$$\begin{array}{rl}x(n)=& x_N(n)={\tilde{x}}_N(n)R_N(n)\\ =& \sum _{r=?\infty }^{\infty }x(n+rN)R_N(n),N\ge M\end{array}$$

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频域插值重构

由$X(k)$插值重构$X(z)$

将用$X(k)$IDFS形式表示的$x(n)$代入z变换公式得
$$X(z)=\sum _{k=0}^{N?1}X(k){\Phi }_k(z)$$$${\Phi }_k(z)=\frac{z^N?1}{N{z}^{N?1}(z?W_N^{?k})}$$
插值函数${\Phi }_k(z)$的零点有N个，$$z_r=W_N^{?r}=e^{j\frac{2\pi }{N}r},r=0,1,?,k,?,N?1$$
（$z_r^N=e^{j2\pi r}=1$)

极点一个为$$z=W_N^{?k}$$
那么当$r=k$时零点和极点相互抵消，${\Phi }_k(z)$仅在本抽样点$X(k)$上$z=e^{j\frac{2\pi }{N}k}$不为零，其它N-1个抽样点均为零

由$X(k)$插值重构$X(e^{jw})$

代入$z=e^{jw}$，$$X(e^{jw})=\sum _{k=0}^{N?1}X(e^{jw}){\Phi }_k(e^{jw})$$
插值函数$${\Phi }_k(e^{jw})=\Phi (w?\frac{2\pi }{N}k)$$$$\Phi (w)=\frac{1}{N}\frac{\frac{Nw}{2}}{sin\frac{w}{2}}{e}^{?j\frac{(N?1)w}{2}}=\frac{1}{N}{R}_N(e^{jw})$$
$${\Phi }_k(e^{jw})=\frac{1}{N}{R}_N(e^{j(w?\frac{2\pi }{N}k)})$$
$$X(e^{jw})=\sum _{k=0}^{N?1}X(k)\Phi (w?\frac{2\pi }{N}k)$$
在抽样频率$w=\frac{2\pi }{N}k$处其它抽样点$k$的被$X(k)$加权的插值函数${\Phi }_k(e^{jw})$的值为零，累加值为零，只有当前抽样点点值。

在抽样点之间的连续频率上的$X(e^{jw})$是各个抽样点的插值函数加权后的叠加

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应用：DFT谱分析

DFT对模拟信号FT的逼近

连续非周期信号FT的DFT逼近

连续非周期的频谱也为连续非周期，在计算机上处理序列需要将时域和频域都进行离散化

• 时域抽样，原$X(j\Omega )={\int }_{?\infty }^{\infty }x(t)e^{?j\Omega t}dt$，抽样后$X(j\Omega )=T{\sum }_{n=?\infty }^{\infty }x(nT)e^{?j\Omega nT}$（乘以T因为将积分写成求和时$dt=T$，T为时域抽样间隔）
• 时域截断，从无限长序列截断成从$t=0$开始的长度为$T_0=NT$的有限长序列，$X(j\Omega )=T{\sum }_{n=0}^{N?1}x(nT)e^{?j\Omega nT}$。（频域离散后时域周期，防止混叠。问题：频谱泄漏）
• 频域抽样（离散化），在频域一个周期$f_s$（时域离散，频域周期）取$N$个抽样点$f_s=N{F}_0$，故抽样间隔（频域分辨率）为$F_0$。得到的关系与《时域与频域的周期和频率的关系》一样，${\Omega }_{0}T=\frac{{\Omega }_0}{f_s}=2\pi \frac{{\Omega }_0}{{\Omega }_s}=2\pi \frac{F_0}{f_s}=\frac{2\pi T}{T_0}=\frac{2\pi }{N}$

$$X(jk{\Omega }_0)=T\sum _{n=0}^{N?1}x(nT)e^{?jk{\Omega }_{0}nT}=T?DFT[x(n)]$$
同理$$x(n)=x(nT)=\frac{1}{T}?IDFT[X(jk{\Omega }_0)]$$

连续周期信号FS的DFS逼近

时域连续周期，频域离散非周期

• 时域抽样，一个周期（有限长）$T_0$内抽$N$个点$T_0=NT$，原$X(jk{\Omega }_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}x(t)e^{?jk{\Omega }_{0}t}dt$，抽样后$X(jk{\Omega }_0)=\frac{T}{T_0}{\sum }_0^{N?1}x(nT)e^{?jk{\Omega }_{0}nT}=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N?1}x(n)e^{?j\frac{2\pi }{N}nk}$（使用了FS的频域/时域的周期/频率关系）。注意抽样的条件，抽样后需要保证仍然是周期序列，已经在第一篇博客《模拟信号抽样成数字信号》时探讨过。
• 频域截断（DFS的频域周期，FS非周期，都是离散的），截断长度为DFS频域的一个周期（必须的，否则无法重构时域信号，造成频谱泄漏）$X(nT)={\sum }_{k=0}^{N?1}X(jk{\Omega }_0)e^{jk{\Omega }_{0}nT}=N?\frac{1}{N}DFS[x(n)]$
  $$X(jk{\Omega }_0)=\frac{1}{N}?DFS[x(n)]$$
  $$x(n)=x(nT)=N?IDFS[X(jk{\Omega }_0)]$$

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DFT对模拟信号作谱分析

参量选择

抽样频率$f_s$

要求$$f_s>2f_H$$（奈奎斯特采样定理），因此有
折叠频率$\frac{f_s}{2}$为能分析模拟信号的最高频率，对应数字频率$w$

频率分辨率$F_0$

$$F_0=\frac{f_s}{N}=\frac{1}{T_0}$$想提高频率分辨率应增加抽样点数$N$，在抽样频率不变的情况下就是增加记录时间$T_0$，增加了有效数据长度。

补零点从而增加抽样点数$N$是没有用的，可以减小栅栏效应但不能提高分辨率。

DFT分析非周期模拟信号需要将时域信号截断，对应加一个长度为$N$的窗，$$X_N(n)=x(n)w_N(n)$$若加矩形窗，其主瓣宽度为$\frac{4\pi }{N}$，取主瓣宽度的一半作为频率分辨率$$\Delta w=\frac{2\pi }{N}=\frac{2\pi \Delta f}{f_s}$$$$\Delta f=F_0$$

遇到的问题

频谱混叠失真

抽样频率不满足抽样定理要求，或者由频谱泄漏造成

频谱泄漏

加窗后原频谱与窗函数频谱卷积造成频带宽度增加，使信号分辨率降低

栅栏效应

增加频域抽样密度可以减小栅栏效应

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全文完，笔记完成于2023年末，2024年1月23日排版后发布