【高等数学之定积分】

一、什么是定积分?

我们可以先结合物理来分析一下，我们第一次从家出发，第一次开车是新手小白，所以我们十分谨慎，基本保持匀速行驶，这种情况下我们的路程大小是怎么样的呢?

第二次开车我们已经驾轻就熟，我们可以在不同的路段用不同的行驶速度了，那么这种情况下我们的路程又是什么情况?(借鉴Kira老师)

第三次我们已经是老司机了，可以灵活的变速，那么行驶路程如下:

由此我们将取每一块小区间，把曲线分割成无数个小矩形块，从而引出了黎曼和的表达形式。

1.1、定积分的定义

由上图我们看到可以将定积分求解过程分成四个部分，分别是:分割、近似、求和、取极限。定积分的公式从右到左依次也是如此排列的。

我们又可以将黎曼和分成两种，分别是黎曼上和以及黎曼下和，其实也就是一个取区间最大值，另一个取区间最小值。

无论黎曼和的ξ取哪一个数值，均可以被上、下和夹逼，从而得到一样的值。

通常求取定积分利用元素法也就是微元法，f(x)dx就是每一个矩形面积的微元。?

小exercise:

1.2、定积分的几何意义

二、常见的可积函数类

有界我们可以利用可积来推出，可积其实也变相说明了极限存在，极限存在也即有界。?

三、用定积分求n项和数列极限

数列极限我们可以试试反推，将数列极限的表达式逆推到近似上图的定积分表达形式中。

不要看评论区，看这(上图)!!!

四、定积分的基本性质(5个)

4.1、性质1?

4.2、性质2

4.3、性质3

4.3.1、推论1

4.3.2、推论2

4.4、性质4

4.5、性质5?

五、深入定积分?

5.1、以旧引新思?

从下图可以看出，如果想要求速度在一段时间内的积分，还可以用路程相减求得，我们还知道路程的导数是速度，对平均速率求极限就是导数的定义，同时也是瞬时速度，那就可以知道对速率求积分就是我们想要的路程。(实例2与实例1同理)?

5.2、牛顿眼里的面积

六、积分限的函数(变限积分)

6.1、定义

6.2、变限积分求导

6.3、变限积分的“天然"连续性?

七、微积分基本定理?

7.1、牛顿 -- 莱布尼茨公式

7.2、定积分基本方法?

7.2.1、换元法?

7.2.2、分部积分法?

八、定积分 · 经典结论

8.1、对称区间

8.2、区间再现公式

8.3、三角函数积分变换公式

8.4、周期函数积分变换公式?