【模拟通信】AM、FM等的调制解调

调制相关的概念

调制：控制载波的参数，使载波参数随调制信号的规律变化

已调信号：受调载波，含有调制信号的全部特征

调制的作用:

• 提高发射效率
• 多路复用，提高信道利用率
• 提高系统抗干扰能力

---

两种调制方式

线性调制（幅度调制）

线性调制的通用模型

• 一般模型
  
  已调信号$s_m(t)$的频谱$S_m(w)$只是按照载波的频率进行简单的搬移（线性），故幅度调制称为线性调制

• 抗噪声性能
  

• 抗噪声性能指标
  输出信噪比 $$\frac{S_0}{N_0}=\frac{\overline{m_o^2(t)}}{\overline{n_o^2(t)}}$$
  调制制度增益（信噪比增益）$$G=\frac{S_0/N_0}{S_i/N_i}$$
  输入噪声功率$$N_i=n_{0}B$$ 注意$n_0$为单边功率谱密度（高斯白噪声双边谱密度乘以2）

---

AM–调幅

已调信号
$$s_{AM}(t)=[A_0+m(t)]cos{w}_{c}t$$
$A_{0}cos{w}_{c}t$：载波项

$m(t)cos{w}_{c}t$：边带项

$$S_{AM}(w)=\pi A_0[\sigma (w+w_c)+\sigma (w?w_c)]+\frac{1}{2}[M(w+w_c)+M(w?w_c)]$$

AM调制需要满足的条件：调制信号$m(t)$和叠加的直流偏量$A_0$需满足$$|m(t){|}_{max}\le A_0$$
这样就可以使用包络检波的方法恢复原始调制信号，否则就会发生y轴上下混叠，需改用相干解调，失去了AM接受设备要求简单的特性

AM已调信号的频谱由载波分量、上边带和下边带组成（使用对称的双边谱在搬移时产生了两个边带）
$$B_{AM}=2f_H$$

画AM已调信号的原则：先用虚线画信号$A_0+m(t)$的波形，再画其关于t轴对称波形，阐明了载波的最大幅度包络边界；然后按照载波原有的频率（周期）将其搬移到两个对称波形之间，幅度按照对称波形的包络起伏

调制效率$${\eta }_{AM}=\frac{P_S}{P_{AM}}$$$P_S$为边带功率，最大值为$\frac{1}{3}$,效率低

条件及引理：

• 通常假设$\overline{m(t)}=0$，时间平均为零
• 信号的平均功率等于其均方值
• $\overline{co{s}^2{w}_c(t)}=\frac{1}{2}$

$$P_{AM}=\overline{s_{AM}^2(t)}=\frac{1}{2}[A_0^2+\overline{m^2(t)}]=P_c+P_s$$
总功率等于载频功率和边带功率之和

AM抗噪声性能–只讨论包络检波
通过包络检波器后的合成包络$$E(t)=\sqrt{[A_0+m(t)+n_c(t){]}^2+n_s(t{)}^2)}$$

• 大信噪比：$$E(t)=A_0+m(t)+n_c(t)$$ 经过电容器后直流分量$A_0$被消除$$S_o=\overline{m^2(t)}$$$$N_o=\overline{n_c(t{)}^2}=\overline{n_i(t{)}^2}=n_{o}B$$
  结论$$G_{AM}=\frac{2}{3}$$
• 小信噪比：有门限效应（输出信噪比在输入信噪比小于门限值时急剧下降）

---

DSB–双边带调制

将AM中的直流偏置去除，就消除了频谱中的载频分量，消除了已调信号表达式的载频项，调制效率为1

$$s_{DSB}(t)=m(t)cos{w}_{c}t$$
$$S_{DSB}(w)=\frac{1}{2}[M(w+w_c)+M(w?w_c)]$$
$$S_i(t)=\overline{S_m^2(t)}=\frac{1}{2}{m}^2(t)$$
经过相干解调乘上同步载波后恢复出来$$m_o(t)=\frac{1}{2}m(t)$$
则$$S_o(t)=\overline{m_o^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}$$
由于高斯窄带噪声$$n_i(t)=n_c(t)cos{w}_{0}t?n_s(t)sin{w}_{0}t$$且窄带噪声及其两个分量的均值相同均为$N_i$

则同理输出的噪声$n_0$也是其同相分量$n_c$的一半

$$N_o=\overline{n_o^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{n_c^2(t)}=\frac{1}{4}{N}_i$$
而其正交分量$n_i$被抑制掉

所以$$G_{DSB}=2$$

---

SSB–单边带调制

与DSB相比只传输其上下边带中的一个，节省一半的带宽，$$B_{SSB}=f_H$$

$$S_i=\overline{S_{SSB}^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}$$
由于有两个分量的影响$$m_o(t)=\frac{1}{4}m(t)$$
$$S_o=\overline{m_o^2(t)}=\frac{1}{16}\overline{m^2(t)}$$
而$N_i$与$N_o$和DSB情况相同

故有$$G_{SSB}=1$$
但两者的抗噪声能力相同（相同带宽）

---

VSB–残留边带调制

这里以DSB信号通过滤波器为例

VSB滤波器需满足的条件（载频处互补对称）
$$H(w+w_c)+H(w?w_c)=const$$
已调信号的带宽
$$f_H<B_{VSB}<2f_H$$

---

非线性调制（角度调制）

$$s_m(t)=Acos(w_{c}t+?(t))$$
$?(t)$称作瞬时相位偏移（相对于载波相位$w_{c}t$）

$\frac{d?(t)}{dt}$陈作瞬时频偏（相对于载频$w_c$)，这里用到了瞬时相位对时间求导得到瞬时频率

与线性调制相比：

• 较高的抗噪声性能
• 占用更宽的带宽

PM–调相

瞬时相位偏移随调制信号线性变化
$$S_{PM}(t)=Acos(w_c(t)+K_{p}m(t))$$调相灵敏度$K_p(rad/V)$

调相系数$$m_p=K_p{A}_m$$

FM–调频

瞬时频率偏移随调制信号线性变化（瞬时相位偏移随信号积分线性变化）
$$\begin{array}{rl}{S}_{FM}(t)& =Acos(w_c(t)+K_f\int m(\lambda )d\lambda )\\ & =Acos[w_c(t)+K_f{A}_m\int cos{w}_m\tau d\tau ]\\ & =Acos[w_c(t)+\frac{K_f{A}_m}{w_m}sin{w}_{m}t]\end{array}$$调相灵敏度$K_f(rad/(V?s)$

调频系数$$m_f=\frac{K_f{A}_m}{w_m}=\frac{\Delta w}{w_m}=\frac{\Delta f}{f_m}$$$\Delta f$为最大频偏，$f_m$相邻变频间隔

带宽(卡森公式，工程近似)$$B_{FM}=2(m_f+1)f_m=2(\Delta f+f_m)$$

调频信号的产生：直接调频和间接调频（NBFM-WBFM)

调频信号的解调：

• 非相干解调（NBFM和WBFM）
• 相干解调（NBFM）
  调制后总功率不变，功率分配比例与$m_f$有关

输出信噪比（大信噪比）$$\frac{S_o}{N_o}=\frac{3}{2}{m}_f^2\frac{A^2/2}{n_o{f}_m}$$
制度增益$$G_{FM}=3m_f^2(m_f+1)$$
输出信噪比与调幅信号相比为其$3m_f^2$倍