课程表[中等]

一、题目

你这个学期必须选修numCourses门课程，记为0到numCourses - 1。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组prerequisites给出，其中prerequisites[i] = [ai, bi]，表示如果要学习课程ai则 必须 先学习课程bi。

例如，先修课程对[0, 1]表示：想要学习课程0，你需要先完成课程1。请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回true；否则，返回false。

示例 1：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有2门课程。学习课程1之前，你需要完成课程0。这是可能的。

示例 2：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有2门课程。学习课程1之前，你需要先完成?课程0；并且学习课程0之前，你还应先完成课程1。这是不可能的。

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i]中的所有课程对 互不相同

二、代码

本题是一道经典的「拓扑排序」问题。给定一个包含n个节点的有向图G，我们给出它的节点编号的一种排列，如果满足：

对于图G中的任意一条有向边(u,v)(u, v)(u,v)，u在排列中都出现在v的前面。

那么称该排列是图G的「拓扑排序」。根据上述的定义，我们可以得出两个结论：
1、如果图G中存在环（即图 GGG 不是「有向无环图」），那么图G不存在拓扑排序。这是因为假设图中存在环x1,x2,??,xn,x1?，那么x1在排列中必须出现在xn的前面，但xn同时也必须出现在x1的前面，因此不存在一个满足要求的排列，也就不存在拓扑排序；
2、如果图G是有向无环图，那么它的拓扑排序可能不止一种。举一个最极端的例子，如果图G值包含n个节点却没有任何边，那么任意一种编号的排列都可以作为拓扑排序。

有了上述的简单分析，我们就可以将本题建模成一个求拓扑排序的问题了：
1、我们将每一门课看成一个节点；
2、如果想要学习课程A之前必须完成课程B，那么我们从B到A连接一条有向边。这样以来，在拓扑排序中，B一定出现在A的前面。

求出该图是否存在拓扑排序，就可以判断是否有一种符合要求的课程学习顺序。事实上，由于求出一种拓扑排序方法的最优时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别是有向图G的节点数和边数。而判断图G是否存在拓扑排序，至少也要对其进行一次完整的遍历，时间复杂度也为O(n+m)。因此不可能存在一种仅判断图是否存在拓扑排序的方法，它的时间复杂度在渐进意义上严格优于O(n+m)。这样一来，我们使用和课程表 II 完全相同的方法，但无需使用数据结构记录实际的拓扑排序。为了叙述的完整性，下面的两种方法与课程表 II 的官方题解 完全相同，但在「算法」部分后的「优化」部分说明了如何省去对应的数据结构。

【1】深度优先搜索： 我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来，用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。

对于一个节点u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么在搜索回溯到u的时候，u本身也会变成一个已经搜索完成的节点。这里的「相邻节点」指的是从u出发通过一条有向边可以到达的所有节点。

假设我们当前搜索到了节点u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么这些节点都已经在栈中了，此时我们就可以把 uuu 入栈。可以发现，如果我们从栈顶往栈底的顺序看，由于u处于栈顶的位置，那么u出现在所有u的相邻节点的前面。因此对于u这个节点而言，它是满足拓扑排序的要求的。

这样以来，我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候，我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。

算法：对于图中的任意一个节点，它在搜索的过程中有三种状态，即：
1、「未搜索」：我们还没有搜索到这个节点；
2、「搜索中」：我们搜索过这个节点，但还没有回溯到该节点，即该节点还没有入栈，还有相邻的节点没有搜索完成）；
3、「已完成」：我们搜索过并且回溯过这个节点，即该节点已经入栈，并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置，满足拓扑排序的要求。

通过上述的三种状态，我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程，在每一轮的搜索搜索开始时，我们任取一个「未搜索」的节点开始进行深度优先搜索。
1、我们将当前搜索的节点u标记为「搜索中」，遍历该节点的每一个相邻节点v：
?■ 如果v为「未搜索」，那么我们开始搜索v，待搜索完成回溯到u；
?■ 如果v为「搜索中」，那么我们就找到了图中的一个环，因此是不存在拓扑排序的；
?■ 如果v为「已完成」，那么说明v已经在栈中了，而u还不在栈中，因此u无论何时入栈都不会影响到(u,v)之前的拓扑关系，以及不用进行任何操作。
2、当u的所有相邻节点都为「已完成」时，我们将u放入栈中，并将其标记为「已完成」。

在整个深度优先搜索的过程结束后，如果我们没有找到图中的环，那么栈中存储这所有的n个节点，从栈顶到栈底的顺序即为一种拓扑排序。

优化：由于我们只需要判断是否存在一种拓扑排序，而栈的作用仅仅是存放最终的拓扑排序结果，因此我们可以只记录每个节点的状态，而省去对应的栈。

class Solution {
    List<List<Integer>> edges;
    int[] visited;
    boolean valid = true;

    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        edges = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            edges.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        visited = new int[numCourses];
        for (int[] info : prerequisites) {
            edges.get(info[1]).add(info[0]);
        }
        for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {
            if (visited[i] == 0) {
                dfs(i);
            }
        }
        return valid;
    }

    public void dfs(int u) {
        visited[u] = 1;
        for (int v: edges.get(u)) {
            if (visited[v] == 0) {
                dfs(v);
                if (!valid) {
                    return;
                }
            } else if (visited[v] == 1) {
                valid = false;
                return;
            }
        }
        visited[u] = 2;
    }
}

时间复杂度: O(n+m)，其中n为课程数，m为先修课程的要求数。这其实就是对图进行深度优先搜索的时间复杂度。
空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行深度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为O(n+m)。在深度优先搜索的过程中，我们需要最多O(n)的栈空间（递归）进行深度优先搜索，因此总空间复杂度为O(n+m)。

【2】广度优先搜索： 方法一的深度优先搜索是一种「逆向思维」：最先被放入栈中的节点是在拓扑排序中最后面的节点。我们也可以使用正向思维，顺序地生成拓扑排序，这种方法也更加直观。我们考虑拓扑排序中最前面的节点，该节点一定不会有任何入边，也就是它没有任何的先修课程要求。当我们将一个节点加入答案中后，我们就可以移除它的所有出边，代表着它的相邻节点少了一门先修课程的要求。如果某个相邻节点变成了「没有任何入边的节点」，那么就代表着这门课可以开始学习了。按照这样的流程，我们不断地将没有入边的节点加入答案，直到答案中包含所有的节点（得到了一种拓扑排序）或者不存在没有入边的节点（图中包含环）。上面的想法类似于广度优先搜索，因此我们可以将广度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来。

算法：我们使用一个队列来进行广度优先搜索。初始时，所有入度为0的节点都被放入队列中，它们就是可以作为拓扑排序最前面的节点，并且它们之间的相对顺序是无关紧要的。

在广度优先搜索的每一步中，我们取出队首的节点u：
1、我们将u放入答案中；
2、我们移除u的所有出边，也就是将u的所有相邻节点的入度减少1。如果某个相邻节点v的入度变为0，那么我们就将v放入队列中。

在广度优先搜索的过程结束后。如果答案中包含了这n个节点，那么我们就找到了一种拓扑排序，否则说明图中存在环，也就不存在拓扑排序了。

优化：由于我们只需要判断是否存在一种拓扑排序，因此我们省去存放答案数组，而是只用一个变量记录被放入答案数组的节点个数。在广度优先搜索结束之后，我们判断该变量的值是否等于课程数，就能知道是否存在一种拓扑排序。

class Solution {
    List<List<Integer>> edges;
    int[] indeg;

    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        edges = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            edges.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        indeg = new int[numCourses];
        for (int[] info : prerequisites) {
            edges.get(info[1]).add(info[0]);
            ++indeg[info[0]];
        }

        Queue<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }

        int visited = 0;
        while (!queue.isEmpty()) {
            ++visited;
            int u = queue.poll();
            for (int v: edges.get(u)) {
                --indeg[v];
                if (indeg[v] == 0) {
                    queue.offer(v);
                }
            }
        }

        return visited == numCourses;
    }
}

时间复杂度: O(n+m)，其中n为课程数，m为先修课程的要求数。这其实就是对图进行广度优先搜索的时间复杂度。
空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行广度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为O(n+m)。在广度优先搜索的过程中，我们需要最多O(n)的队列空间（迭代）进行广度优先搜索。因此总空间复杂度为O(n+m)。