[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-4(2) 刚体的速度与角速度

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
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食用方法
求解逻辑：速度与加速度都是在知道角速度与角加速度的前提下——旋转运动更重要
所求得的速度表达-需要考虑是否为刚体相对固定点！
旋转矩阵？转换矩阵？有什么意义和性质？——与角速度与角加速度的关系
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义

4.2 速度传递

对于连续转动的坐标系而言，有:
$$\begin{array}{rl}& ?\begin{array}{c}\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]=\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]?\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]\\ {\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F=\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]{\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\end{array}\\ ?{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F& =\left(\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]?\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]?\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]+?+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]?\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]\right)?{\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]}^{\mathrm{T}}?{\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]}^{\mathrm{T}}\\ ?{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F& =\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]}^{\mathrm{T}}+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]{\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]}^{\mathrm{T}}+\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_3}^{F_2}\right]{\left[Q_{{\mathrm{F}}_3}^{F_2}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^F\right]}^{\mathrm{T}}+?\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}?1}}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]{\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}?1}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\\ ?{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F& ={\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}_{{\mathrm{F}}_1}^F+\tilde{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]{\vec{\omega }}_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}}+\tilde{\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^F\right]{\vec{\omega }}_{{\mathrm{F}}_3}^{F_2}}+?+\tilde{\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}?1}}^F\right]{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}}\\ ?{\vec{\omega }}^F& ={\vec{\omega }}_{{\mathrm{F}}_1}^F+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]{\vec{\omega }}_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}+?+\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}?1}}^F\right]{\vec{\omega }}_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}?1}}\end{array}$$
此时，${\vec{\omega }}_{{\mathrm{F}}_1}^F$理解为，坐标系 { F 1 } \left\{ F_1 \right\} {F1?}所代表的刚体在坐标系 { F } \left\{ F \right\} {F}下的角速度参数。

4.3 运动刚体的加速度与角加速度

对 ${\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M=\left({\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^M?{\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]\right){\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M$ 进一步求导，可计算出其运动刚体上点$P_i$的加速度为：
$$\begin{array}{rl}& {\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F={\vec{v}}_{\mathrm{M}}^F+\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\dot{\vec{R}}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M={\vec{v}}_{\mathrm{M}}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\\ ?{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& ={\vec{a}}_{\mathrm{M}}^F+\left({\dot{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)+\left(\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)\\ ?{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& ={\vec{a}}_{\mathrm{M}}^F+\left({\widetilde{\stackrel{⃗}{\alpha }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)+\left({\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)\\ ?{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& ={\vec{a}}_{\mathrm{M}}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\alpha }}}^F{\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+2{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\left({\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\left({\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F\end{array}$$

当点$P_i$为运动刚体上固定一点时，则有：
$$\begin{array}{rl}{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& ={\vec{a}}_{\mathrm{M}}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\alpha }}}^F{\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+2{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\left({{\vec{v}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M}_{\nearrow 0}\right)}^F+{\left({{\vec{a}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M}_{\nearrow 0}\right)}^F\\ & ={\vec{a}}_{\mathrm{M}}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\alpha }}}^F{\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\widetilde{\stackrel{⃗}{\omega }}}^F{\left({\vec{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F\end{array}$$

4.3.1 欧拉角表示角加速度

对 ${\vec{\omega }}^F=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta \cos \gamma & ?\sin \gamma & 0\\ \cos \beta \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ ?\sin \beta & 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{\alpha }\\ \dot{\beta }\\ \dot{\gamma }\end{array}\right]$ 继续求导，可得：
$$\begin{array}{r}{\vec{\omega }}^F=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta \cos \gamma & ?\sin \gamma & 0\\ \cos \beta \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ ?\sin \beta & 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{\alpha }\\ \dot{\beta }\\ \dot{\gamma }\end{array}\right]\\ ?{\vec{\alpha }}^F=\left[\begin{array}{ccc}?\sin \beta \cos \gamma ?\cos \beta \sin \gamma & ?\cos \gamma & 0\\ \cos \beta \cos \gamma ?\sin \beta \sin \gamma & ?\sin \gamma & 0\\ ?\cos \beta & 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{\alpha }\\ \dot{\beta }\\ \dot{\gamma }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta \cos \gamma & ?\sin \gamma & 0\\ \cos \beta \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ ?\sin \beta & 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\ddot{\alpha }\\ \ddot{\beta }\\ \ddot{\gamma }\end{array}\right]\end{array}$$

4.3.2 待补充

4.3 刚体运动的旋量表达方式