压缩编码之变换的选择之离散余弦变换（DCT）和离散傅立叶变换(DFT)——数字图像处理

原理

变换的选择是一个关键的考量因素，它决定了数据是如何被压缩的。选择变换时考虑以下几个重要原则：

数据去关联性：变换的目的之一是减少数据中的相关性。例如，在图像压缩中，像素间往往高度相关。通过适当的变换，如离散余弦变换（DCT），可以将这些相关性转化为更加独立的形式，从而提高压缩效率。

能量集中：理想的变换应该能将数据的能量（或信息）集中到尽可能少的系数中。这样，通过仅编码这些主要系数，就可以在保留大部分信息的同时实现有效的压缩。

可逆性：对于无损压缩，变换必须是可逆的，这意味着从压缩数据中可以完全恢复原始数据。对于有损压缩，这一要求可以放宽，允许在接受某种程度信息损失的前提下获得更高的压缩比。

计算效率：变换过程应该足够高效，以便于在实际应用中快速处理大量数据。这通常意味着变换算法需要能够被有效地实现，且计算复杂度可接受。

适应性：在某些情况下，变换应该具有适应性，能够根据数据的特性进行调整。例如，在音频和视频压缩中，根据内容的不同，可能需要使用不同的变换策略。

编码后的数据特性：变换应该产生便于编码的数据。例如，高效的压缩算法通常会生成具有高峰值和长尾分布的数据，这使得熵编码等技术更加有效。
变换的选择取决于特定应用的需求和特性。

以下是几种常用于数据压缩的变换：

离散余弦变换（DCT）：这种变换广泛用于图像和视频压缩，例如在JPEG图像格式中。DCT能有效地将图像数据从空间域转换到频率域，使得图像中的高频信息（通常是细节部分）和低频信息（图像的主要部分）得以分离，从而便于进行更高效的压缩。

小波变换：小波变换在图像和视频压缩中也很流行，特别是在JPEG 2000图像格式中。与DCT相比，小波变换提供了更好的尺度和位置控制，使其在处理具有不同尺度特征的图像时更加有效。

离散傅立叶变换（DFT）：虽然DFT在图像压缩中不如DCT常用，但它在音频压缩和通信系统中非常重要。DFT可以将时域信号转换为频域信号，使得频域中的能量分布更加明显，从而便于压缩。

Karhunen-Loève变换（KLT）：这种变换在理论上可以提供最佳的数据压缩，但由于其高计算复杂性和数据依赖性，它在实际应用中不太常用。

**奇异值分解（**SVD）：虽然SVD的计算成本较高，但它在某些特定应用中，如图像压缩的特定场景中，能提供优秀的压缩效果。

选择哪种变换取决于多种因素，包括压缩的目标（无损或有损）、数据类型（图像、视频、音频等）、处理速度要求、以及最终压缩数据的预期用途。在实际应用中，这些变换通常与其他压缩技术（如量化和熵编码）结合使用，以达到最优的压缩效果。

python实现下图

提示

结果显示了原图的两种变换后近似。先将原图分割为大小为8×8的子图像，并对每个子图像进行DCT和DFT变换，之后保留幅值最大的32个系数，最后对截尾后的系数阵列进行反变换得到近似图像，并计算原图与近似图之间的误差图像。
注意：dct变换可以通过函数cv2.dct(img)来实现，需要注意img在做dct变换之前需要转换为float类型。此外，为了增加误差图像的对比度，可用如下语句显示误差图像axs[i, j].imshow(img, vmin=img.min()*0.1, vmax=img.max()*0.1, cmap=‘gray’)

python代码

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("lena_gray_512.tif",0)
img=img.astype(np.float)
rows,cols=img.shape
dct_inv_img = np.zeros(img.shape)
dft_inv_img = np.zeros(img.shape)
dct_dif_img = np.zeros(img.shape)
dft_dif_img = np.zeros(img.shape)
for i in range(0, rows, 8):
    for j in range(0, cols, 8):
        dct = cv2.dct(img[i:i+8, j:j+8])
        dft = np.fft.fft2(img[i:i+8, j:j+8])
        # idx = np.argpartition(dct.ravel(), 32)[:32]
        # idx2d = np.unravel_index(idx, dct.shape)
        # dct[idx2d] = 0
        med = np.median(np.abs(dct))
        dct[np.abs(dct) < med] = 0
        med = np.median(np.abs(dft))
        dft[np.abs(dft) < med] = 0

        dct_inv_img[i:i+8, j:j+8] = cv2.idct(dct)
        dft_inv_img[i:i+8, j:j+8] = np.abs(np.fft.ifft2(dft))
dct_dif_img=img-dct_inv_img
dft_dif_img=img-dft_inv_img


img_list = [img, dct_inv_img, dct_dif_img, img, dft_inv_img, dft_dif_img]
img_name_list = ['original', 'dct', 'dct_diff', 'original', 'dft', 'dft_diff']
_,axs=plt.subplots(2,3)

for i in range(2):
    for j in range(3):
        if j==2:
            axs[i, j].imshow(img_list[i*3+j], vmin=img_list[i*3+j].min()*0.1, vmax=img_list[i*3+j].max()*0.1, cmap='gray')
        else:
            axs[i, j].imshow(img_list[i*3+j], cmap='gray')
        axs[i, j].set_title(img_name_list[i*3+j])
        axs[i, j].axis('off')

plt.show()

结果展示

总结

在变化编码中，其性能与所选用的正交变换类型，图像类型，变化块的大小，压缩方式和压缩程度等因素有关。在变换方式确定之后，变换块的大小选择就显得尤为重要，因为大多数图像统计结果显示，大多数图像仅在约20个相邻像素间有较大的相关性，而且一般当子图像尺寸n>16（像素）时，其性能已经改善不大。同时，如果子图像块过大，其中所包含的像素就越多，变换时所需要的计算量也就越大，因此一般子图像块的大小选为8像素8像素或16像素16像素。对图像进行字块划分的好处是：小块图像的变换计算容易，它可以将传输误差造成的图像损伤限制在子图像的范围之内，从而避免误码的扩散。