椭球面系列---基本性质

在STK软件和Cesium中，地球表面的形状是一个椭球面，而不是球面，因此许多相关计算(如表面的弧长、大地经纬度和笛卡尔坐标之间的转换等）都必须依赖椭球面的几何性质。

最近在看有关椭球面(在表示时有时也称椭球体)计算的相关代码，还是有必要整理一下，待后续参考，今天为系列一：基本性质。

定义

椭球面(Ellipsoid)是一个在三维空间中的曲面，它由所有满足以下方程的点 (x, y, z) 组成：
$$\begin{array}{c}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
其中，a、b 和 c 是实数，分别代表椭球体沿着三个坐标轴的半轴长度。如果 a = b = c，则椭球体就是一个球体。椭球体的基本性质包括:

1. 对称性：椭球体关于三个坐标平面（xy平面，yz平面和xz平面）以及通过中心的三个坐标轴都是对称的。

2. 中心点：椭球体有一个唯一的中心点 (0, 0, 0)，在这一点，椭球体的所有对称性都交汇。

3. 轴线：椭球体有三个互相垂直的轴线，分别是x轴、y轴和z轴，它们通过椭球体的中心。椭球体在这三个轴线上的长度分别是 2a、2b 和 2c。

4. 体积：椭球体的体积是由以下公式给出的：
   $$V=\frac{4}{3}\pi abc$$

5. 表面积：椭球体的表面积没有简单的封闭形式，但它可以通过椭圆积分来近似或精确计算。对于特殊情况，比如当椭球体是一个球体时，表面积为 $4\pi r^2$，其中 r 是半径。

6. 焦点：对于任意的椭球体，其每一个主切面（x=0，y=0或z=0平面内的椭圆）都有一对焦点。对于旋转椭球体（两个半轴相等，如 a = b），在z轴上的焦点之间的距离为 $2\surd (a^2?c^2)$。

7. 椭球面上的点：可以通过参数方程使用三个角度参数来表述椭球面上的点。

基本假设

在后续的讨论中，为了简化方便，无论是椭球体还是点、直线等表达，都有：

1. 椭球体的中心点为笛卡尔坐标系原点(0,0,0)。如果椭球体一开始不在坐标系中心，则需要经过平移和旋转，最后化为标准方程。
2. 椭球体为旋转椭球体，即a=b。笛卡尔坐标系的X轴和Y轴的半轴长度为a或b，Z轴方向的半轴长度为c。
3. XY平面称为赤道平面，Z轴一般称为极轴。因此$a$为赤道半长轴，$c$称为极半长轴。
4. 涉及到的点、矢量、直线等都表示在以椭球体中心为原点的笛卡尔坐标系中。

下图为三种基本旋转椭球体：

• 左图: 扁球体(Oblate spheroid)，即$a=b>c$。

• 中图: 圆球体(Sphere)，即$a=b=c$。

• 右图: 长轴旋转椭球体(Prolate spheroid），即$a=b<c$。
  
  后续过程文档中，使用以下基础的旋转椭球体参数：

• 扁率: $f=(a?c)/a$

• 第3扁率: $n=(a?c)/(a+c)=f/(2?f)$

• 偏心率: $e^2=(a^2?c^2)/a^2$

• 第2偏心率: $e^{\prime 2}=(a^2?c^2)/c^2=e^2/(1?e^2)$
  ?
  地球的形状为扁球体($a=b>c$)，其参数(WGS84模型)为：

• 赤道半长轴$a$: 6378137m

• 极半长轴$b$: 6356752.3142451793m

• 扁率: $f=1/298.257223563$

基本性质

曲面方程的隐式与显示表达方式

- 隐式表达方式：
告诉你空间中的点满足特定的关系，而不是告诉你点具体在哪。例如，三维球面上的任意一点都满足 ：$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2?1=0$
。只要找到所有的x,y,z满足F(x,y,z)=0，就能将图像画出来。

缺点：很难去描述复杂的物体。仅根据表达式F(x,y,z)很难直接看出来是是什么样子，面上都有哪些点也不容易知道，面上采样起来比较困难（找到所有点），下面例子有。

优点：
1.通常表示出来很容易（例如用一个函数就能表示）。
2.做某些查询容易(判断在物体里面还是外面，计算到表面的距离等)。给你一个点，判断在里面还是外面是很简单的。将点代入F(x,y,z)，如果小于零在里面，大于零在外面，等于零在面上。
3.很容易对光线与表面求交。

-显式Explicit
典型一种方法的就是把每个点的位置都有明确的公式，自然就得到对象物体，这种方法直接给予。另一种方法是用参数映射的方法。

优点：采样很简单，将所有的UV代入就能得到所有的点了
缺点：给你一个点，判断在表面的里面还是外面是很困难了

点是否在椭球体面外、内、上

根据上节的知识，我们知道椭球面的方程是隐形表达的。给定三维空间中的点P，坐标为$(x,y,z)$，则带入椭球面方程：
$$\begin{array}{c}F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}?1\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
则有：

• $F(x,y,z)=0$，则点P在椭球面上。
• $F(x,y,z)<0$，则点P在椭球面内部。
• $F(x,y,z)>0$，则点P在椭球面外部。

实际计算时，判断一个点是否在椭球面上，考虑到计算误差，不能精确的判断是否为0，而是有个小的允许误差，即$|F(x,y,z)|<\epsilon$，则点P在椭球面上。

椭球面的矩阵表示

根据椭球面定义，椭球面上任意一点P点$(x,y,z)$的坐标(采用$\text{p}$表示)满足公式(1)。
定义对角矩阵$\text{C}$：
$$\begin{array}{c}\text{C}=\left[\begin{array}{ccc}1/a^2& & \\ & 1/b^2& \\ & & 1/c^2\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
则逆矩阵${\text{C}}^{?1}$：
$$\begin{array}{c}{\text{C}}^{?1}=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& & \\ & b^2& \\ & & c^2\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
则公式(1)可以写为以下形式:
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x,y,z\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& & \\ & b^2& \\ & & c^2\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]={\text{p}}^T\text{C}\text{p}=1\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

为了以后表达方便，我们采用加粗字母表示矢量或者矩阵。

?椭球面法线

为了找到椭球面上某一点的法线，可以先找到该点的切平面。切平面是通过该点，并且与椭球面在该点处相切的平面。

椭球面在$P$点$(x,y,z)$的法线即为垂直于P点切平面的向量，在数学上，可以使用梯度向量来表示法线方向。梯度向量是椭球面方程的梯度，它指向函数在某一点的最大增长方向。可由以下公式给出：
$$\text{n}=?F=\left[\begin{array}{c}\frac{?F}{?x}\\ \frac{?F}{?y}\\ \frac{?F}{?z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x/a^2\\ 2y/a^2\\ 2z/a^2\end{array}\right]$$
我们知道，向量的方向是最重要的，大小可以不一致，单位化后都为同一个单位向量。若我们将法向量写成如下格式：
$$\begin{array}{c}\text{n}=\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}x/a^2\\ y/a^2\\ z/a^2\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
则有:
$$\begin{array}{c}{a}^2{n}_x^2+b^2{n}_y^2+c^2{n}_z^2=k^2(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2})=k^2\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
也就是说，如果我们知道椭球面一点P的法向量$\text{n}$，则可以通过上式得到$k$。
?将上式写成矩阵表达方式，即k的求解由下式给出：
$$\begin{array}{c}{\text{n}}^T{\text{C}}^{?1}\text{n}=k^2\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$
得到k的数值后，则$P$点的坐标$(x,y,z)$则可求出:
$$\begin{array}{c}\text{p}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\frac{1}{k}\left[\begin{array}{c}{a}^2{n}_x\\ b^2{n}_y\\ c^2{n}_z\end{array}\right]=\frac{1}{k}{\text{C}}^{?1}\text{n}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

至此，我们通过公式(8)和(9）,在已知椭球面的法向量$\text{n}$的情况下，得到了具体的笛卡尔坐标$(x,y,z)$。

参考:
[1]: 计算机图形学入门（九）-几何（基本表示方法：隐式和显式）