欧拉计划 1-5题解

祝各位读者新年快乐！

新年新气象，开了一个新坑，欧拉计划简介。

本系列希望以通俗易懂的语言、简洁的代码，带大家体会数学与编程结合的魅力。

Problem 1：Multiples of $3$ or $5$

标签：倍数、容斥原理、等差数列

原文：If we list all the natural numbers below $10$ that are multiples of $3$ or $5$, we get $3$, $5$, $6$ and $9$. The sum of these multiples is $23$.

Find the sum of all the multiples of $3$ or $5$ below $1000$.

翻译：在小于 $10$ 的自然数中，$3$ 或 $5$ 的倍数有 $3$、$5$、$6$和$9$，这些数之和是 $23$。

求小于 $1000$ 的自然数中所有 $3$ 或 $5$ 的倍数之和。

题解1：循环枚举一下。

代码1：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < 1000; i++) {
        if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

题解2：小于 $1000$ 的 $3$ 的倍数有 $999/3=333$ 个，小于 $1000$ 的 $5$ 的倍数有 $999/5=199$ 个，同时是 $3$ 和 $5$ 的倍数有 $1000/15=66$ 个。

通过等差数列求和公式，我们可以求得 $3、5、15$ 在小于 $1000$ 的各自的倍数之和分别为$166833、99500、33165$。

通过容斥原理可知，$15$ 的倍数在 $3、5$ 的倍数里面被算了两次，所以要减掉一份。

代码2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n3 = 999 / 3;
    int n5 = 999 / 5;
    int n15 = 999 / 15;

    int S3 = (1 + n3) * 3 * n3 / 2;
    int S5 = (1 + n5) * 5 * n5 / 2;
    int S15 = (1 + n15) * 15 * n15 / 2;
    cout << S3 + S5 - S15;
    return 0;
}
// 等差数列求和：Sn = (1 + n) * d * n / 2

Problem 2：Even Fibonacci numbers

标签：斐波那契数列

原文：Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with $1$ and $2$, the first $10$ terms will be:

$$1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\dots$$

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

翻译：斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。由 $1$ 和 $2$ 开始生成的斐波那契数列的前 $10$ 项为：

$$1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\dots$$

考虑该斐波那契数列中不超过四百万的项，求其中为偶数的项之和。

题解：简单打表 可以得到第 $33$ 个斐波那契数列就超过四百万了，求解一下斐波那契数列，把前 $32$ 项中偶数值的相加一下求和。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[50];

int main() {
    int sum = 0;
    f[0] = f[1] = 1;
    for (int i = 1; i <= 40; i++) {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        if (f[i] > 4000000) break;
        if (f[i] % 2 == 0) sum += f[i];
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

Problem 3：Largest prime factor

标签：质因数分解

原文：The prime factors of $13195$ are $5$, $7$, $13$ and $29$.

What is the largest prime factor of the number $600851475143$?

翻译：$13195$ 的质因数包括 $5$、$7$、$13$和$29$。

$600851475143$ 的最大质因数是多少？

题解：直接质因数分解进行求解即可，时间复杂度为 $O（\sqrt{n}）$

算法流程：扫描 $2?\sqrt{n}$ 的每个数 $x$，若 $x$ 能整除 $n$，则从 $n$ 中除掉所有质因子 $x$。

上述算法 保证一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前除掉了，所以这个过程中所得到的能整除 $n$ 的一定是质数。时间复杂度为$O（\sqrt{n}）$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main() {
    ll n = 600851475143, mx = 0;
    for (ll i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        while (n % i == 0) {
            n /= i;
            mx = max(mx, i);
        }
    }
    if (n > 1) mx = max(mx, n);
    cout << n << endl;
    return 0;
}

Problem 4：Largest palindrome product

标签：枚举、回文数

原文：A palindromic number reads the same both ways. The largest palindrome made from the product of two $2$-digit numbers is $9009=91\times 99$.

Find the largest palindrome made from the product of two $3$-digit numbers.

翻译：回文数是指从前往后读和从后往前读都一样的数。由两个 $2$ 位数相乘得到的回文数中，最大的是 $9009=91\times 99$。

求最大的由两个 $3$ 位数相乘得到的回文数。

题解：直接枚举两个在 $100$ ~ $999$ 之间的数，对它们的乘积做一个回文数判定，数据范围比较小，可以直接数字翻转一下判断。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool check(int a) {
    int b = a, c = 0;
    while (b > 0) {
        c = 10 * c + b % 10;
        b /= 10;
    }
    return c == a;
}

int main() {
    int mx = 0;
    for (int i = 100; i <= 999; i++)
    for (int j = 100; j <= 999; j++) {
        if (check(i * j)) mx = max(mx, i * j);
    }
    cout << mx << endl;
    return 0;
}

Problem 5：Smallest multiple

标签：最大公约数、最小公倍数

原文：$2520$ is the smallest number that can be divided by each of the numbers from $1$ to $10$ without any remainder.

What is the smallest positive number that is evenly divisible by all of the numbers from $1$ to $20$？

翻译：$2520$ 是最小的能够被 $1$ 到 $10$ 整除的正数。

最小的能够被 $1$ 到 $20$ 整除的正数是多少？

题解：很显然是求最小公倍数。

最大公约数（$greatestcommondivisor$）：$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

最小公倍数（$leastcommonmultiple$）：$lcm(a,b)=a?b/gcd(a,b)$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    ll k = 1;
    for (ll i = 1; i <= 20; i++) {
        k = k * i / gcd(k, i);
    }
    cout << k << endl;
    return 0;
}

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“Project Euler exists to encourage, challenge, and develop the skills and enjoyment of anyone with an interest in the fascinating world of mathematics.”

“欧拉计划的存在，是为了每个对数学感兴趣的人，鼓励他们，挑战他们，并最终培养他们的能力与乐趣。”