这个视频是浙江大学的一门精品课程，主要介绍了现代控制理论的基本概念和发展历程。课程包括非线性系统理论、随机控制理论、自适应控制、模糊控制、鲁棒控制和智能控制等内容。视频还介绍了自动控制理论的两个基本主题，即反馈控制和最优控制，并解释了它们的区别和应用场景。视频还回顾了控制理论的发展历程，包括关键人物和重要理论的提出。最后，视频强调了学习现代控制理论的重要性，以及掌握数学工具和方法来分析和改善动态系统性能的能力。
00:00 📚现代控制理论基础：这门课主要介绍现代控制理论的基础，包括非线性系统理论、随机控制理论、自适应控制、模糊控制、鲁棒控制和智能控制等。学好这门课程需要了解自动控制理论、线性代数、常微分方程和泛函分析等数学基础。控制理论的目的是分析和改进动态系统的性能，通过定量和定性分析来满足系统的要求。反馈控制和最优控制是自动控制领域的两个基本主题。
03:40 ??反馈控制与最优控制：反馈控制利用输出与输入偏差进行控制，减少系统输出量。最优控制通过容许控制使系统在满足约束条件下达到最优性能。反馈控制类似跑步机上跑步，最优控制类似田径赛场上赛跑。自动控制理论发展过程包括离心飞白调速器、调速器原理分析、系统稳定性判据、稳定性理论体系、频率响应判断系统稳定性、频率响应分析与综合方法、根轨迹法、维纳控制论的创立。
07:23 🔄多变量线性系统与非线性系统：现代控制理论是以多变量线性系统和非线性系统为研究对象，以状态空间法和现代数学为主要方法和分析手段。它使用矩阵理论和微分方程理论分析线性系统，用泛函分析、最优控制和微分几何研究非线性系统。计算机软件如Matlab则是主要分析和设计工具。现代控制理论内容丰富，涉及非线性系统、最优控制、鲁棒控制、自适应控制和大系统理论等。本课程分为六章，从状态空间表达式到最优控制，目的是掌握现代控制理论的基本理论、方法和数学语言解决工程问题的能力。
介绍了现代控制理论中的控制系统的状态空间表达式。它涵盖了状态变量和状态空间的概念，以及建立动态系统状态空间表达式的方法。视频还讨论了状态变量的选择和状态空间的应用，以及状态方程和输出方程的定义。最后，视频提到了状态空间表达式的方框图，并强调了它的简洁性和基本环节。这些信息对于理解现代控制理论的基本概念和方法非常重要。
00:00 🧩控制系统的状态空间表达式：这个章节介绍了控制系统的状态空间表达式。通过引入状态变量，状态空间表达式不仅关注系统输入和输出的关系，还关注系统内部的结构。状态变量是能够完全表征系统运动状态的最少个数的变量。通过一个电路的例子，说明了选择合适的状态变量是保证系统动态行为完全确定的关键。增加变量无法完全表征系统动态行为。
04:38 🔍状态变量的概念及选取原则：本章节主要介绍了状态变量的概念及其选取原则。状态变量是相互独立且线性无关的变量，用于完全表征系统运动状态。对于一个实际物理系统，状态变量的个数应大于等于系统中独立储能元件的个数。状态变量的选取取决于对系统描述的精细程度，可以选取运动速度、运动距离等变量来描述系统的运动情况。对于同一个动态系统，在内涵精度描述相同的情况下，状态变量的选取不唯一，但个数是确定的。
09:15 🔄状态向量与状态空间：选取状态变量个数不能少于三个，否则无法完全表征电路系统的动态行为。状态向量定义为由系统状态变量构成的向量，用于描述系统在状态空间中的位置。状态轨迹在工程上有很大用处，可以用于判断系统的稳定性。状态方程描述了系统输入引起的状态变化，输出方程描述了系统输出与状态和输入之间的关系。
13:54 💡状态空间表达式的描述：本节视频介绍了系统的状态空间表达式，包括状态方程和输出方程。状态方程描述了系统的输入和状态之间的关系，输出方程描述了状态和输出之间的关系。状态空间表达式可以用方框图表示，其中a矩阵表示系统内部状态的联系，b矩阵表示输入对状态的作用，c矩阵表示状态和输出之间的关系，d矩阵表示输出和输入之间的关系。在实际工程中，通常不考虑输入向量的直接传输关系。正确理解状态变量、状态空间和状态空间表达式对于学习状态空间法非常重要。状态变量是相互独立且线性无关的，在描述系统内涵精度相同的情况下状态变量的个数是唯一确定的，通常等于系统中独立储能元件的个数。状态空间表达式的方框图只包含比例、积分和加法三个基本环节。
介绍了建立系统状态空间表达式的三种方法之一：方框图法。通过对系统的方框图进行变换，将各环节转化为只包含比例、积分和加法的基本环节，然后选取每个积分器的输出作为状态变量，并根据它们的关联关系列写状态方程。以pi调节系统为例，通过传递函数变换和选取状态变量，最终得到了系统的状态空间表达式。这种方法适用于无法通过基本原理建模的系统，可以通过系统辨识建立方框图。
00:00 🔧建立系统状态空间表达式的方法：本章介绍了建立系统状态空间表达式的三种方法。第一种方法是根据系统的方框图来建立，通过选取系统的状态变量并将传递函数方框图转换为只含有比例、积分和加法三类基本环节的方框图，再根据各环节之间的关联关系，列写出对应的状态空间表达式。这种方法适用于经典控制理论中的系统分析和综合，也可用于无法通过基本原理建模的系统。
02:56 ??裂血系统状态空间表达式的基本步骤：本章节介绍了裂血系统状态空间表达式的基本步骤。首先是进行方框图变换，将系统的方框图中的环节变换为只包含比例、积分和加法环节的方框图。然后选取状态变量，将每个积分器的输出作为一个状态变量。最后根据方框图各环节的关联关系，列写状态空间表达式。通过一个具体的例子，展示了方法的应用，建立了一个pi调节系统的状态空间表达式。
05:54 📊系统的传递函数方框图和状态方程的推导方法：这个视频讲述了系统的传递函数方框图和状态方程的推导方法。首先介绍了前向通道、反馈回路和二重积分环节的表示方式，然后讲解了状态变量的选取方法，以及状态方程的列写过程。最后，整理出了系统的状态空间表达式。
介绍了建立状态空间表达式的方法，重点是选取系统的状态变量。对于电路系统，根据基尔霍夫电压定律和电流定理，可以得到状态方程和输出方程。对于弹簧质量阻尼系统，选取质量块的运动距离和速度作为状态变量，根据牛顿第二定律建立状态方程和输出方程。对于大规模复杂系统，建立整个系统的状态空间表达式是一项挑战。
00:00 📊建立系统状态空间表达式的方法：本章讲解了建立系统状态空间表达式的方法。根据系统方框图来选择状态变量，通常等于独立储能元件的个数。通过具体控制系统的物理规律，写出描述系统动态过程的一阶微分方程组，并将其写成矩阵形式，得到系统的状态方程。以一个电路为例，选取了三个状态变量：流过电感l1上的电流i1、流过电感r2上的电流i2和电容c两端的电压uc。
03:35 ?基尔霍夫定理与电路分析：本章介绍了基尔霍夫电压定理和电流定理，以及如何应用它们进行电路分析。通过基尔霍夫电压定理，我们可以得到回路上各个支路电压之和为零；通过基尔霍夫电流定理，我们可以得到节点进出电流之和为零。结合微分方程和输出方程，可以建立系统的状态空间表达式。然后以弹簧质量阻尼系统为例，介绍了如何选择状态变量，以及选取了两个质量块的运动距离作为状态变量。
07:20 🚀质量块运动与系统表达式：视频介绍了质量块的运动速度，弹簧的压缩距离以及系统的状态方程和输出方程。通过牛顿第二定理和物理定律，可以建立系统的状态空间表达式。对于复杂系统如电力系统，编写状态空间表达式是一项困难的任务。
介绍了建立状态空间表达式的方法，重点讨论了单输入单输出系统的实现方法。通过选择合适的状态变量，可以得到能控标准一型的状态空间表达式。当分子的阶数小于分母的阶数时，系统的状态方程和输出方程可以用状态变量来表示。当分子和分母的阶数相等时，系统的输出方程还需要考虑传递函数分子的系数。通过两个例子的计算，展示了不同高阶微分方程对应的状态空间表达式的异同。视频强调了传递函数的分母对系统性能的决定性影响，并指出系统的性能主要由状态方程决定。
00:00 📄数学描述和状态空间表达式的建立方法：本章介绍了实现的数学描述和状态空间表达式的建立方法。不同的实现方法选择不同的状态变量，得到的状态空间表达式形式也不同。通过系统的传递函数可以得到系统的输出与输入的关系。对于分子的阶数小于分母的阶数的情况，可以设定一个中间变量y，通过对表达式进行拉斯反变换，得到系统的输出与中间变量及其导数的线性组合的关系。选取状态变量时，第一个状态变量为中间变量，第二个状态变量为中间变量的一阶导数。
04:10 🔍系统的状态方程和输出方程的推导过程：本章介绍了系统的状态方程和输出方程的推导过程。通过将状态变量的n阶导数表示为输入u、状态变量及其导数的线性组合，得到了系统的状态方程和输出方程。状态方程可以表示为系统输入和状态变量的线性组合，输出方程可以表示为状态变量及其导数的线性组合。系统的状态空间表达式具有特定的形式，系统矩阵和输入矩阵的具体形式决定了系统的特征多项式系数。如果系统的状态空间表达式可以转换成能控标准一型的形式，对系统进行控制会更加方便。此外，还讨论了分子和分母阶数相等的情况。
08:21 ??分子和分母阶数相等的情况：传递函数分子和分母阶数相等时，可通过分式乘除得到系统输出，分子的阶数降一阶。对于此传递函数，可用分子阶数除以分母阶数的方法实现状态空间表达式。选择状态变量x，系统的输出可用x和x的一阶导数到n-1阶导数表示。系统的状态方程和输出方程可整理得到。当分子阶数小于分母阶数时，输出方程发生变化，且输入和输出存在直接传输比例关系。
12:35 🔗传递函数、拉斯变换和拉式反变换的关系：本章介绍了系统的传递函数、拉斯变换和拉式反变换的关系。通过设定中间变量y的表达式和求导，得到系统的状态方程和输出方程。进一步，将方程整理成矩阵形式，得到系统的状态空间表达式。比较不同高阶微分方程对应的状态空间表达式，发现状态方程完全相同，而输出方程有所不同。传递函数的分母决定系统的性能，即系统的特征多项式决定系统的性能。
介绍了实现系统状态空间表达式的两种方法。第一种方法是通过设定一个中间变量来选取状态变量，实现能控标准一型。第二种方法是根据系统的传递函数或高阶微分方程，通过求导和线性组合来选取状态变量，实现能观标准一型。视频还提到了待定系数法和线性代数方程组的应用，以及多输入多输出系统的实现方法。选择合适的状态变量是建立系统状态空间表达式的关键。
00:00 🔧两种实现方法：本视频介绍了实现状态空间表达式的两种方法。第一种方法是通过设定一个中间变量来选取状态变量，实现的系统状态空间表达式是能控标准一型。第二种方法是通过系统传递函数或高阶微分方程来实现状态空间表达式，其中，系统的传递函数乘上系统输入的拉式变换得到系统输出的拉式变换，然后对该表达式进行拉斯反变换得到一个n阶的高阶微分方程。通过建立含有待定系数和带求变量的状态空间表达式，可以求解出系统的状态空间表达式。
03:46 📝求解系统输出的表达式：这个章节讲述了如何根据选取的状态变量和辅助变量的表达式，对方程进行求导并整理，得到系统的输出和输出各阶导数的表达式。然后将这些表达式与传递函数分母的系数相乘，得到系统的输入和输入各阶导数的线性组合。通过比较方程左边和右边的项，可以确定待定系数和未知变量。最后，讨论了控制和控制各阶导数相关的项的个数。
07:45 🔢递推公式和特征多项式：这个章节主要介绍了如何通过递推公式计算系统的状态方程和输出方程，以及如何根据系统矩阵观察系统特征多项式的系数。通过线性代数方程组的计算，可以得到待定系数。还介绍了两种实现状态空间表达式的方法，一种是通过传递函数，另一种是通过高阶微分方程。
11:38 🌌生成系统的状态空间表达式：该章节介绍了两种方法来生成系统的状态空间表达式，这两种方法对应相同的传递函数或高阶微分方程。选择不同的状态变量会得到不同形式的状态空间表达式。学习这两种方法是因为它们可以得到系统的能控能观标准型。对于多输入多输出系统的实现，可以使用方框图法来画出方框图，并根据方框图来列出系统的状态空间表达式。选取状态变量是建立状态空间表达式最重要的一步。
介绍了状态向量的线性变换和状态空间表达式的非唯一性。通过证明同一系统不同状态向量之间必存在线性变换关系，进而得出状态空间表达式的非唯一性。通过线性变换，可以将系统的状态空间表达式转化为便于分析和综合的形式。进一步证明了非奇异线性变换不会改变系统的特征值。这些结果对于掌握线性变换和系统分析具有重要意义。
00:00 🔀状态空间表达式的线性变换：章节讲述了状态空间表达式的非唯一性和系统状态变量的选取问题。通过证明同一系统不同状态向量之间必然存在一种线性变换关系，得出同一系统的不同状态向量之间存在线性变换的结论。进一步证明了状态空间表达式的非歧义的充分必要条件是矩阵的逆存在。最后介绍了通过线性变换可以将系统的状态向量从x转变为z，得到新的状态向量z的表达式，并将其带入系统的状态空间表达式中得到对时间的导数等式。
04:06 ??状态方程的变换与控制：本章介绍了状态空间表达式的线性变换。通过将状态方程两边乘上一个t的逆，可以得到新的状态向量对时间的导数。变换后的状态空间表达式中，系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传输矩阵都发生了变化。通过一个例子，展示了线性变换的应用，并介绍了如何选择变换阵以将状态空间表达式化为能控标准型。最后指出，系统的性能主要由传递函数的极点决定。
08:16 📈系统特征值与性能：系统矩阵的特征值决定了系统的性能，系统特征值是系统矩阵特征方程的根，即代数方程的解。非奇异线性变换不会改变系统的特征值，可以将状态空间表达式转换成更便于分析和综合的形式。
讲的是将状态空间表达式变换成对角规范型的方法。通过求解特征值和特征向量，可以将系统矩阵变换成一个以特征根为对角元素的对角阵。对角规范型的变换可以实现系统状态的解耦，减少计算量。如果系统矩阵是能控能观标准型，变换矩阵可以通过范德蒙德矩阵来表示。通过一个例子说明了对角规范型的应用。最后，需要计算非奇异变换矩阵，进行线性变换得到对角规范型的系统矩阵和输入矩阵。
00:00 🔢状态空间表达式变换为对角规范型的方法：这个章节介绍了状态空间表达式变换为对角规范型的方法。特征值和特征向量的概念被引入，特征向量经过系统矩阵的线性变换不改变方向。若系数矩阵的秩等于系统的位数，则方程有唯一的零解；若秩小于位数，则有无穷多组非零解。对于非奇异矩阵，减去特征根后，系统可以转化为对角规范形。变换证是将原状态向量经过特征向量组成的变换阵的逆，得到新的状态空间表达式。
04:10 🔣矩阵乘法和特征向量的定义：通过矩阵乘法和特征向量的定义，我们可以用系统的特征根和特征向量构成一个矩阵，将系统矩阵乘上变换矩阵得到一个对角矩阵。对角规范型的变换可以实现状态变量的解耦，将n维一阶微分方程组转化为n个一阶微分方程。若系统矩阵为能控能观标准型，变换矩阵为范德蒙德矩阵，特征向量由特征根组成。根据特征向量的定义，系统矩阵减去特征根乘以单位矩阵再乘以特征向量等于零。
08:26 🔀线性定常系统化为对角规范形：这个视频讲述了如何将线性定常系统化为对角规范形。首先通过求解行列式得到系统的特征根，确认其是否存在重根。然后计算每个特征根对应的特征向量，构成变换矩阵。最后进行线性变换，得到对角规范形的系统矩阵和状态方程。
介绍了非奇异线性变换将系统的状态空间表达式变换为对角规范型和约当规范型的方法。当系统的特征值不存在重根时，可以通过非奇异线性变换将系统的状态空间表达式变换为对角规范型。而当系统的特征值存在重根时，只能通过非线性变换将系统的系统矩阵变换为约当规范型。视频中还复习了特征值的代数重数、几何重数和广义特征向量的概念，并通过例子说明了如何计算特征值的代数重数和几何重数。最后，介绍了约当规范型的结构和重要性。
00:00 🔀状态空间表达式的变换方法：本章介绍了现代控制理论中系统状态空间表达式的变换方法。当系统的特征值不存在重根时，可以通过非奇异线性变换将系统变换为对角规范型；当系统的特征值存在重根时，只能通过非奇异线性变换将系统矩阵变换为约当规范型。接着复习了特征值的代数重数、几何重数和广义特征向量的概念，并给出了计算几何重数的公式。最后通过一个例子计算了系统矩阵的特征值的代数重数和几何重数。
03:16 🔢系统矩阵的秩、特征根、约当块：这个视频中介绍了系统矩阵的秩、特征根、约当块等概念。通过计算系统矩阵的秩，可以确定特征根的几何重数。当特征根有重根时，可以通过广义特征向量的概念将系统的状态空间表示为约当规范型。约当规范型由多个约当块组成，每个约当块对应一个特征根。通过线性变换，可以将系统矩阵化为约当规范型。
06:31 🔗约当规范型和状态变量解耦：一个约当块对应一组相同特征根，由若干个约单子块组成。特征根的代数重数和几何重数决定了约当块的形式。约当规范型可实现状态变量的完全解耦，而存在重根的系统通常只能变换为约当规范型，实现部分状态变量的解耦。同一动态系统不同状态空间表达式的系统矩阵是相似的。
介绍了如何根据系统的状态空间表达式求得传递函数矩阵和组合系统的状态空间表达式。视频首先解释了传递函数矩阵的概念和多输入多输出系统的特点。然后详细讲解了如何由状态空间表达式推导传递函数矩阵的公式，并给出了证明过程。视频还讨论了传递函数矩阵的性质和唯一性，以及组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵的构建方法。整个视频内容较为繁琐，但核心思想是通过状态空间表达式和输入输出关系来分析和设计控制系统。
00:00 📚基本概念介绍：本章介绍了现代控制理论的基本概念，包括系统的状态空间表达式和传递函数矩阵。状态空间法用来分析多输入多输出系统，传递函数矩阵则用来描述多输入多输出系统的输入输出关系。传递函数矩阵由系统的输入和输出间的传递函数组成，是一个有理多项式分式函数。本章还介绍了由状态空间表达式导出传递函数矩阵的方法，并给出了推导过程。
04:19 🧮状态空间表达式与传递函数矩阵推导：本章介绍了如何从系统的状态空间表达式推导出系统的传递函数矩阵。通过将系统的状态向量的拉式变换提出来，并将输入方程中的状态向量的拉式变换表达式消去，可以得到系统输出的拉式变换。根据传递函数矩阵的定义，可以将传递函数矩阵表示为系统的输出矩阵乘上拉斯算子的单位阵减去系统矩阵的逆，再乘上输入矩阵加上直接传输矩阵。当拉斯算子趋近于无穷时，传递函数矩阵等于直接传输矩阵。传递函数矩阵可以是真有理分式矩阵或严格真有理分式矩阵。此外，证明了同一个系统不同状态空间表达式对应的传递函数矩阵是相等的。
08:41 🔀线性变换与组合系统表示：本章节讲解了线性变换以及组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵表示。线性变换不改变系统的传递函数矩阵，也就是同一系统的传递函数矩阵是唯一的。对于组合系统的并联，要求两个子系统的输入位数和输出位数相等，而并联系统的输入等于两个子系统的输入，输出等于两个子系统输出的叠加。
13:04 🔗并联、串联和反馈连接：本章介绍了系统的状态空间表达式和传递函数矩阵。对于并联的两个子系统，其输入等于组合系统的输入，输出等于两个子系统输出的叠加。对于串联的两个子系统，第一个子系统的输出作为第二个子系统的输入。对于反馈连接的两个子系统，第一个子系统的输出减去第二个子系统的输出作为组合系统的输出，第一个子系统的输入作为组合系统的反馈通道的输入。根据这些关系，我们可以得到组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵。
讨论了离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式。离散系统的状态空间可以用差分方程描述，而时变系统的系数矩阵和输入矩阵等可以是时间的函数。非线性系统根据是否显含时间变量可分为非线性时变系统和非线性定常系统。对于非线性系统，可以通过线性化近似来研究其在平衡状态附近的动态行为。视频还介绍了建立系统状态空间表达式的方法和选择系统状态变量的重要性。最后，讲解了状态空间表达式导出传递函数矩阵和组合系统状态空间表达式的方法。
00:00 🕒离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间：本视频介绍了离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式基本形式。离散系统的状态空间可以通过差分方程描述，以获取系统的状态和控制。计算机控制系统通常采用差分方程描述其状态方程。若状态空间表达式的矩阵中的元素是时间的函数，则称该系统为时变系统。实际控制系统中的参数可能会发生微小的变化，若变化范围很小，则近似认为其是定常的。非线性系统根据状态空间表达式是否显含时间变量，分为非线性时变系统和非线性定常系统。
01:52 📈非线性时变系统和非线性定常系统：非线性时变系统可以根据状态方程和输出方程来描述，其中包含状态向量、控制向量和时间t的非线性函数。如果系统的状态方程不显含时间变量，则称为非线性定常系统。当我们只关注系统在某个平衡状态附近的动态行为时，可以将非线性状态方程线性化，用线性方程研究系统在平衡点附近的动态行为。通过将非线性函数在平衡状态处进行泰勒级数展开，忽略高次项，仅保留一次项，可以用线性化的方程近似表示非线性系统的状态空间表达式。
03:44 🔗线性化状态空间表达式和控制系统的定义：这个章节主要讲述了线性化状态空间表达式的一般形式以及与非线性系统线性化相关的系数矩阵和平衡状态之间的关系。还介绍了控制系统的状态空间表达式的定义，以及建立状态空间表达式的三种方法。重点是如何选择系统的状态变量和非奇异线性变换的应用。最后还介绍了导出传递函数矩阵和组合系统状态空间表达式的方法，以及离散系统非线性系统状态空间表达式的基本形式。
介绍了线性定常齐次状态方程的解的概念和计算方法。通过建立系统的状态空间表达式，可以分析系统的运动过程和行为特性。系统的全响应可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加。视频还讲解了零输入响应和零状态响应的定义和计算方法，以及矩阵指数函数的性质和计算公式。同时，视频还提到了线性定常系统的渐进稳定条件和矩阵指数函数的逆、导数、可交换性以及幂等性等性质。
00:00 🔍状态空间表达式与解：状态空间表达式是分析系统运动过程的基础，其解可以帮助我们了解系统运动的基本规律和行为特性。控制系统状态空间表达式的解是求解系统在给定初始条件和控制输入下，状态和输出随时间变化的规律。系统的全响应可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加，分别表示系统在输入和非平衡初始状态共同作用下的响应以及在外部信号作用下的响应。零输入响应是自由解，而零状态响应是强迫运动。单摆运动可以作为例子来解释零输入响应。
03:29 🔄零状态响应与全响应：这个视频讲解了系统的零状态响应和全响应的概念。当系统初始状态为零时，外界激励导致系统做零状态响应；而当初始状态不为零时，外界输入和初始状态共同作用导致系统做全响应。系统的零输入响应可以表示为矩阵指数函数和初始状态向量的乘积形式。最后，通过推导可以得到零输入响应的计算公式，其中各项系数可以表示为系统矩阵的幂乘上一个初始状态向量。
07:01 🔢状态方程解的计算方法：这个章节讲解了状态方程的解的计算方法，通过将求得的系数带入状态方程的解中，得到了无穷级数乘以初始状态向量的形式。将这个无穷级数定义为矩阵指数函数，状态方程的解可以表示为矩阵指数函数和初始状态向量的乘积。同时，介绍了零输入响应的计算方法和性质，以及线性定常系统渐进稳定的充要条件。
10:35 📊矩阵指数函数的性质：本章节讲解了矩阵指数函数的性质。首先介绍了在初始时刻，矩阵指数函数为单位矩阵。然后证明了矩阵指数函数的定义可以通过数学归纳法来推导。接着介绍了矩阵指数函数的逆等于取时间相反号的矩阵指数函数。然后证明了矩阵指数函数对时间t的导数等于系统矩阵乘以矩阵指数函数，两者可交换。最后介绍了矩阵指数函数的幂等于时间扩大了n倍的矩阵指数函数的积。
介绍了矩阵指数函数的计算方法。主要包括四种方法：根据定义计算、将系统矩阵化为对角规范型或约当规范形、拉斯变换法和应用卡拉汉密尔顿定理。通过例子演示了这些方法的应用。这些方法可以用来计算系统矩阵的矩阵指数函数，提供了解析表达式，方便理解和计算。
00:00 📊矩阵指数函数计算方法：本章介绍了矩阵指数函数的计算方法。其中最常用的四种方法分别是：根据定义计算、将系统矩阵化为对角规范型或约当规范形来求解、将系统矩阵化为对角规范型、再将其带入指数函数的定义中、以及使用矩阵乘积的性质。通过这些方法，我们可以计算出系统矩阵的指数函数。
05:29 🔍四种求解矩阵指数函数的方法：这个章节介绍了四种求解系统矩阵的矩阵指数函数的方法。第一种是将系统矩阵变换为约当规范型的形式，再计算每个约当子块的指数函数。第二种是使用特征根不存在从根时的递推公式来计算特征向量和广义特征向量。第三种是拉斯变换法，将矩阵指数函数表示为拉斯算子的无穷级数。第四种是应用卡拉汉密尔顿定理，将矩阵指数函数表示为系统矩阵的零次方到n-1次方的线性组合。
11:00 📉系统矩阵的特征根和特征多项式：本章节主要介绍了系统矩阵的特征根和特征多项式，以及如何通过求解线性代数方程组来得到特征多项式的系数。凯莱哈密尔顿定理指出，系统矩阵的n次方可以表示为系统矩阵的0次方到n-1次方的线性组合。如果系统的特征根不存在从根，可以使用规范型算法将系统矩阵化为对角规范型的变换阵，进而用多项式来表示矩阵指数函数。最后，通过求解线性代数方程组，可以得到用有限项多项式表示矩阵指数函数的各项系数。
16:34 🧮计算矩阵指数函数的方法：本章介绍了三种计算矩阵指数函数的方法。第一种方法是将系统矩阵带入无穷级数中，通过近似计算得到非封闭形式的矩阵指数函数。第二种方法是通过拉斯变换法，将矩阵指数函数化为拉斯算子减去系统矩阵逆的拉斯反变换。第三种方法是使用卡拉汉密尔顿定理，通过计算特征根和有限项多项式的系数来得到矩阵指数函数的解析表达式。
介绍了现代控制理论中的状态转移矩阵的概念和性质。状态转移矩阵是线性定常系统中描述状态在状态空间中转移的重要工具。它可以通过解矩阵微分方程得到，并且与矩阵指数函数等价。状态转移矩阵具有分解性、可逆性、传递性、幂等性、微分性和交换性以及唯一性等性质。视频还介绍了通过给定状态转移矩阵反推系统矩阵的方法。这些内容有助于深入理解系统状态的转移过程和求解状态转移矩阵的方法。
00:00 📝状态转移矩阵的概念和性质：这个视频讲解了现代控制理论中的系统状态转移矩阵的概念和性质。系统的状态转移矩阵是通过矩阵微分方程求解得到的，它描述了系统在不同时刻状态向量的变换关系。状态转移矩阵和矩阵指数函数是等价的，可以用来表示系统的零输入响应。状态转移矩阵具有分解性，即从副套到t的转移可以分解为从副套到零的转移再从零到t的转移。这些性质可以通过物理意义来解释和证明。
04:21 📝转移矩阵的性质：转移矩阵的性质有四个：1. 转移矩阵t减负套等于t加套，即副套到t的转移等于副套到零再到t的转移。2. 状态转移矩阵的逆等于时间取相反号的转移矩阵，即t到t的转移等于t到零再到t的转移的逆。3. 一个状态转移过程可以分解为多个小的转移过程，即从t0到t2的转移等于从t0到t1再到t1到t2的转移。4. 状态转移矩阵的k次方等于时间扩大了kb，根据性质一得出。
08:44 📝状态转移矩阵的性质和计算方法：该章节主要介绍了状态转移矩阵的性质，包括k次方、微分性和交换性、唯一性等。通过证明这些性质，说明了状态转移矩阵与系统矩阵的关系，以及状态转移矩阵的计算方法。并通过一个例子，说明了如何通过已知状态转移矩阵来求解系统的系统矩阵。
介绍了控制理论中的对偶原理。通过定义队友系统，讨论了线性时变和线性定常系统的对偶关系。证明了互为对偶的系统的状态转移矩阵互为转置逆的关系，并且能控性等价于能观性。对于线性时变系统，还证明了状态转移矩阵满足互为转置逆的性质。对于线性定常系统，分析了两种形式的对偶系统是否满足对偶原理。最终得出结论，线性时变系统的对偶原理成立，而线性定常系统的对偶原理则取决于系统矩阵是否加负号。
00:00 💡对偶原理和队友系统的定义：本章讲述了能控能观系统的对偶原理和队友系统的定义。对于线性时变系统，如果两个系统的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵满足一定的转置关系，那么它们就是互为队友的系统，它们的状态向量和输入输出向量的维数有特定的关系。对于线性定常对偶系统，它们的定义有两种形式，分别是系统矩阵互为转置并加相反号，以及系统矩阵互为转置。而对于线性时变队友系统，它们的状态转移矩阵互为转置逆。
04:16 🔀系统状态转移矩阵的关系和性质：这个章节讲解了系统状态转移矩阵的关系和性质。通过证明状态转移矩阵的逆对时间的导数等于负的系统矩阵的转置乘以状态转移矩阵的转置逆，得出了互为对偶的两个系统状态转移矩阵的关系。进而证明了队伍原理，即系统的能控性等价于能观性。
08:33 ??线性定常系统的对偶原理：本章介绍了线性定常系统的对偶原理。对于互为队友的两个系统，其状态转移矩阵互为转置逆。而对于互为对偶的两个系统，其状态转移矩阵仅仅是互为转置，没有加相反号。同时，系统的能动性等价于其对偶系统的能关性。
12:49 🔄队友系统的能控性和能观性的对偶原理：本章讲解了队友系统的能控性和能观性的对偶原理。对于互为队伍的两个系统，它们的状态转移矩阵互为转置逆，能关性的格拉姆矩阵等于对偶系统的能控性格拉姆矩阵。当系统矩阵仅仅是转置而不加相反号时，对偶原理同样成立。
介绍了线性时变系统非齐次状态方程的解析表达式。根据叠加原理，状态方程的解可以表示为初始状态向量乘以状态转移矩阵，再加上输入矩阵乘以控制输入的积分。其中，状态转移矩阵的求解方法有四种，包括矩阵指数函数和凯莱哈密尔顿定理等。对于线性时变系统，状态转移矩阵通常难以求得封闭形式的解析表达式，但深刻理解状态转移矩阵的物理意义对于理解系统状态的运动非常有用。
00:00 ??线性时变系统的状态方程解：线性时变系统的状态方程的解可以表示为初始状态向量乘以状态转移矩阵，再加上输入矩阵和控制输入的积分。通过叠加原理可以证明这个结论。将状态方程解的形式带入状态方程中，左边等于右边，从而确定控制输入的状态。最终，状态方程的解可以表示为状态转移矩阵乘以初始状态和控制输入的和。
02:42 📊状态转移矩阵和吉利状态方程：本章介绍了状态转移矩阵和吉利状态方程的相关概念。通过将状态转移矩阵乘上初始状态和吉利状态，可以得到系统矩阵与状态向量的关系。方程的左右两边都含有系统矩阵与状态向量的乘积，消去后得到了状态转移矩阵和吉利状态对时间的导数乘积等于输入矩阵与输入向量的乘积的表达式。通过乘上状态转移矩阵的逆与输入矩阵再乘上输入向量，可以表示吉利状态对时间的导数。进一步，通过对方程进行积分，得到了吉利状态的解析表达式，并将其带入状态方程的解中，得到了状态方程的解的表达式。
05:27 🔬线性时变系统解析表达式与线性定常系统的区别：本章介绍了线性时变系统状态方程的解析表达式与线性定常系统的区别。线性时变系统的状态转移矩阵通常难以求得封闭形式的解析表达式，但在系统理论研究中依然有重要应用。此外，本章还介绍了线性定常系统和线性时变系统的状态方程解析表达式可以表示为零输入响应和零状态响应的叠加，其中零输入响应由状态转移矩阵和初始状态向量的乘积表示，而零状态响应由从初始时刻到当前时刻的状态转移矩阵和输入项的乘积表示。最后，本章还介绍了线性定常系统的状态转移矩阵等于矩阵指数函数的计算方法。
介绍了线性定常系统的能控性和能关性的概念，以及能控性格拉姆矩阵的判决方法。能控性指系统能够通过控制使得状态变量从初始状态到达指定的终端状态，能关性指系统的输出能够反映状态的变化。能控性格拉姆矩阵的判决方法是通过判断矩阵是否非奇异来确定系统是否完全能控。然而，计算格拉姆矩阵需要积分和行列式的计算，所以需要研究简单实用的判决方法。
00:00 📘能控性和能关性介绍：本章介绍线性控制系统的能控性和能关性。能控性是指系统能够通过控制使得每一个状态变量从初始状态到达指定的终端状态，而能关性是指系统的输出能够反映系统每一个状态的变化。如果系统在状态空间中所有非零状态均能控，则称系统是完全能控的；如果系统至少存在一个非零状态是不能控的，则称系统是不完全能控的。
03:56 🔍判断系统是否完全能控：本视频讲述了如何判断一个系统是否是完全能控的。对于一个非平衡的初始状态，只要系统满足格拉姆矩阵非奇异的条件，就可以通过控制在有限时间内将系统的状态转移到平衡状态。格拉姆矩阵是由指数函数和输入矩阵的乘积再与其转置的积分得到的。证明了格拉姆矩阵的非奇异性与系统是否完全能控有关。
08:05 📊能控性和能控性格拉姆矩阵：这个视频讲述了系统的能控性和能控性格拉姆矩阵的概念。通过推导，证明了如果系统是完全能控的，那么能控性格拉姆矩阵一定是非奇异的；反之，如果能控性格拉姆矩阵是奇异的，那么系统不是完全能控的。
12:07 🔬矩阵乘积和奇异性的关系：这一章节主要介绍了矩阵向量乘积和距离范数的关系，以及格拉姆矩阵的奇异性与系统能控性的关系。通过推导和计算，得出了格拉姆矩阵奇异时系统无法将非零初始状态转移到零状态的结论。因此，如果系统完全能控，格拉姆矩阵必须是非奇异的。然而，判定系统能控性需要计算状态转移矩阵和行列式的值，计算量较大，需要进一步研究简单实用的判决方法。
介绍了线性定常系统能控性的判决方法，包括自判句和PBH判据。自判句是最常用的判决方法，通过判断自判别矩阵的秩是否等于系统的维数来确定系统的能控性。PBH判据能够给出每个特征根是否可移动的信息，但计算量较大。通过举例说明了如何应用这两种方法进行系统的能控性判断，并指出了PBH判据的优势和局限性。
00:00 🔍自判别矩阵的秩判据：自判别矩阵是判断系统能控性的简单实用判决方法。它由输入矩阵和系统矩阵相乘得到，计算量较小。自判别矩阵的秩等于系统位数，则系统完全能控。采用反证法证明了充分性。假设自判别矩阵的秩等于系统位数，但系统不完全能控，与格拉姆矩阵判决矛盾。因此，自判别矩阵的秩等于系统位数是系统完全能控的充分条件。
04:24 💡能控性质及判别方法：本章节介绍了系统的能控性质及判别方法。通过将向量组成矩阵，并利用阿尔法的转置乘以能控性质判别矩阵，可以判断矩阵的秩是否小于系统位数，从而确定系统是否完全能控。反之，若系统完全能控，则能控性质判别矩阵的秩必定等于系统位数。通过引入阿尔法的转置与自判别矩阵相乘得到等于零的矛盾，证明了充分性。最后，介绍了能控性gram矩阵的奇异性，若gram矩阵是奇异的，则系统是不完全能控的。
08:53 📊判断系统能控性的方法：视频讲解了判断系统能控性的方法和条件。如果系统是完全能控的，那么能控性判别矩阵的秩一定等于系统的维数。通过举例子和计算矩阵的秩，可以判断系统的能控性。如果矩阵的秩小于系统的位数，则系统不完全能控。此外，视频还介绍了PH判决方法，它可以确定系统的特征根是否可移动。这个方法对于不完全能控的系统可以提供具体的信息。最后，视频证明了PH判决是线性定常系统完全能控的充分必要条件。
13:19 🔗判别矩阵与系统能控性的关系：这段视频讲解了判别矩阵和系统能控性的关系。如果判别矩阵的秩小于系统的位数，就一定存在一个非零向量，使得它与系统矩阵的乘积等于零。反之，如果每个特征根所对应的能控性质判别矩阵的秩都等于系统的位数，那么系统就是完全能控的。通过计算特征根和能控性判别矩阵的秩，可以确定系统的能控性。
介绍了能控性判别的几个方法，包括格拉姆矩阵判决、自判句、ph判决和规范型判决。其中，规范型判决适用于线性定常系统的对角规范型和约当规范型。对于对角规范型，判决条件是系统输入矩阵不存在全为零的行；对于约当规范型，判决条件是每个约当块的最后一行对应的输入矩阵行是行线性无关的。视频还通过几个实例说明了规范型判决的应用。
00:00 📝规范型判决概念和条件：这个章节介绍了规范型判决的概念和条件。如果系统的状态空间表达式已经变换成对角规范型或约当规范型，那么可以通过判别得到具体的信息。对于对角规范型，系统矩阵的特征根两两互异，而对应的输入矩阵不包含全零行。对于约当规范型，系统矩阵的特征值存在重根，而约当块的维数和几何重数有关。系统的输入矩阵按照约当块的阿尔法分解。完全能控的条件是特征根的代数重数为1时，对应的输入矩阵只有一行不全为零；当代数重数大于1但几何重数为1时，对应的输入矩阵只有一行不全为零。
04:29 📝特征根的规范型判决：本章节主要讲述了关于输入矩阵和特征根的规范型判决和约当规范型判决。对于特征根几何重数大于一的情况，输入矩阵的最后一行不全为零，且由阿尔法挨个输入指块所组成。证明了对角规范型和约当规范型的充分必要条件，以及如何通过ph判据判断系统的能控性。
09:00 🔍能控性判断的四个方法：本章介绍能控性判断的四个方法：格拉姆矩阵判断、自判断、ph判断和规范型判断。通过对系统状态方程和特征根约当块的分析，可以判断系统的能控性。格拉姆矩阵判断是根据系统能控性定义推导出来的最基本方法。
介绍了线性定常系统的能观性，能观性是状态观测器设计的基础。能观性的判据有格莱姆判决、能关性质判别、能关性ph判决和能关性规范性判决。能关性的格莱姆判决是系统完全能关的充分必要条件是存在非奇异的格莱姆矩阵。能观性的判别方法有很多种，其中能关性质判别是计算量最小且应用最广泛的。视频还介绍了能观性的规范性判决和两个例子来说明能关性判决的应用。
00:00 🔍能关性的定义与判决：本节课学习了线性定常系统的能关性，能关性是状态观测器的设计基础。能关性的定义是在一段有限时间内通过系统的输出确定系统的初始状态，如果输出恒等于零，则初始状态是不能关的。观测总是有延时的，需要通过有限时间内的输出来确定初始状态。系统能关性的判决有四种，其中第一种是能关性格莱姆举证判决。在分析能关性时，可以令输出恒等于零，考察系统的状态方程来观测状态的能力。
03:58 ??线性定常系统的完全能关条件：该章节介绍了线性定常系统完全能关的充分必要条件。能关性的格拉姆矩阵和能控性的格拉姆矩阵是比较关心的格拉姆矩阵，其中能关性的格拉姆矩阵包含输出矩阵和状态转移矩阵，而能控性的格拉姆矩阵包含输入矩阵和状态转移矩阵。证明了充分性，即已知能关性格拉姆矩阵非奇异，系统就是完全能关的，可以通过系统在零到t一区间上的输出计算出初始状态。
07:54 📊能关性的格拉姆矩阵判决与能观性的自判别举证判决：这个视频章节主要讲述了系统能关性的格拉姆矩阵判决和能观性的自判别举证判决。通过证明完全能关的充分必要条件是构造一个能关性的自判别举证矩阵，如果该矩阵的秩等于系统的位数，则系统就是完全能关的。这个判决方法计算量最小且在工程中应用广泛。
11:59 🔎能观性的判决条件和应用：ph判决是判断系统能观性的条件，需要判断特征根对应的能观性判别矩阵的秩是否等于系统位数。对于规范性判决，需要判断特征根互不相同且输出矩阵不存在全零列。通过两个例子说明了能观性判决的应用。
介绍了线性定常系统的能观性，能观性是状态观测器设计的基础。能观性的判据有格莱姆判决、能关性质判别、能关性ph判决和能关性规范性判决。能关性的格莱姆判决是系统完全能关的充分必要条件是存在非奇异的格莱姆矩阵。能观性的判别方法有很多种，其中能关性质判别是计算量最小且应用最广泛的。视频还介绍了能观性的规范性判决和两个例子来说明能关性判决的应用。
00:00 🔍能关性的定义与判决：本节课学习了线性定常系统的能关性，能关性是状态观测器的设计基础。能关性的定义是在一段有限时间内通过系统的输出确定系统的初始状态，如果输出恒等于零，则初始状态是不能关的。观测总是有延时的，需要通过有限时间内的输出来确定初始状态。系统能关性的判决有四种，其中第一种是能关性格莱姆举证判决。在分析能关性时，可以令输出恒等于零，考察系统的状态方程来观测状态的能力。
03:58 ??线性定常系统的完全能关条件：该章节介绍了线性定常系统完全能关的充分必要条件。能关性的格拉姆矩阵和能控性的格拉姆矩阵是比较关心的格拉姆矩阵，其中能关性的格拉姆矩阵包含输出矩阵和状态转移矩阵，而能控性的格拉姆矩阵包含输入矩阵和状态转移矩阵。证明了充分性，即已知能关性格拉姆矩阵非奇异，系统就是完全能关的，可以通过系统在零到t一区间上的输出计算出初始状态。
07:54 📊能关性的格拉姆矩阵判决与能观性的自判别举证判决：这个视频章节主要讲述了系统能关性的格拉姆矩阵判决和能观性的自判别举证判决。通过证明完全能关的充分必要条件是构造一个能关性的自判别举证矩阵，如果该矩阵的秩等于系统的位数，则系统就是完全能关的。这个判决方法计算量最小且在工程中应用广泛。
11:59 🔎能观性的判决条件和应用：ph判决是判断系统能观性的条件，需要判断特征根对应的能观性判别矩阵的秩是否等于系统位数。对于规范性判决，需要判断特征根互不相同且输出矩阵不存在全零列。通过两个例子说明了能观性判决的应用。
介绍了控制理论中的对偶原理。通过定义队友系统，讨论了线性时变和线性定常系统的对偶关系。证明了互为对偶的系统的状态转移矩阵互为转置逆的关系，并且能控性等价于能观性。对于线性时变系统，还证明了状态转移矩阵满足互为转置逆的性质。对于线性定常系统，分析了两种形式的对偶系统是否满足对偶原理。最终得出结论，线性时变系统的对偶原理成立，而线性定常系统的对偶原理则取决于系统矩阵是否加负号。
00:00 💡对偶原理和队友系统的定义：本章讲述了能控能观系统的对偶原理和队友系统的定义。对于线性时变系统，如果两个系统的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵满足一定的转置关系，那么它们就是互为队友的系统，它们的状态向量和输入输出向量的维数有特定的关系。对于线性定常对偶系统，它们的定义有两种形式，分别是系统矩阵互为转置并加相反号，以及系统矩阵互为转置。而对于线性时变队友系统，它们的状态转移矩阵互为转置逆。
04:16 🔀系统状态转移矩阵的关系和性质：这个章节讲解了系统状态转移矩阵的关系和性质。通过证明状态转移矩阵的逆对时间的导数等于负的系统矩阵的转置乘以状态转移矩阵的转置逆，得出了互为对偶的两个系统状态转移矩阵的关系。进而证明了队伍原理，即系统的能控性等价于能观性。
08:33 ??线性定常系统的对偶原理：本章介绍了线性定常系统的对偶原理。对于互为队友的两个系统，其状态转移矩阵互为转置逆。而对于互为对偶的两个系统，其状态转移矩阵仅仅是互为转置，没有加相反号。同时，系统的能动性等价于其对偶系统的能关性。
12:49 🔄队友系统的能控性和能观性的对偶原理：本章讲解了队友系统的能控性和能观性的对偶原理。对于互为队伍的两个系统，它们的状态转移矩阵互为转置逆，能关性的格拉姆矩阵等于对偶系统的能控性格拉姆矩阵。当系统矩阵仅仅是转置而不加相反号时，对偶原理同样成立。
介绍了线性定常系统的能观性，能观性是状态观测器设计的基础。能观性的判据有格莱姆判决、能关性质判别、能关性ph判决和能关性规范性判决。能关性的格莱姆判决是系统完全能关的充分必要条件是存在非奇异的格莱姆矩阵。能观性的判别方法有很多种，其中能关性质判别是计算量最小且应用最广泛的。视频还介绍了能观性的规范性判决和两个例子来说明能关性判决的应用。
00:00 🔍能关性的定义与判决：本节课学习了线性定常系统的能关性，能关性是状态观测器的设计基础。能关性的定义是在一段有限时间内通过系统的输出确定系统的初始状态，如果输出恒等于零，则初始状态是不能关的。观测总是有延时的，需要通过有限时间内的输出来确定初始状态。系统能关性的判决有四种，其中第一种是能关性格莱姆举证判决。在分析能关性时，可以令输出恒等于零，考察系统的状态方程来观测状态的能力。
03:58 ??线性定常系统的完全能关条件：该章节介绍了线性定常系统完全能关的充分必要条件。能关性的格拉姆矩阵和能控性的格拉姆矩阵是比较关心的格拉姆矩阵，其中能关性的格拉姆矩阵包含输出矩阵和状态转移矩阵，而能控性的格拉姆矩阵包含输入矩阵和状态转移矩阵。证明了充分性，即已知能关性格拉姆矩阵非奇异，系统就是完全能关的，可以通过系统在零到t一区间上的输出计算出初始状态。
07:54 📊能关性的格拉姆矩阵判决与能观性的自判别举证判决：这个视频章节主要讲述了系统能关性的格拉姆矩阵判决和能观性的自判别举证判决。通过证明完全能关的充分必要条件是构造一个能关性的自判别举证矩阵，如果该矩阵的秩等于系统的位数，则系统就是完全能关的。这个判决方法计算量最小且在工程中应用广泛。
11:59 🔎能观性的判决条件和应用：ph判决是判断系统能观性的条件，需要判断特征根对应的能观性判别矩阵的秩是否等于系统位数。对于规范性判决，需要判断特征根互不相同且输出矩阵不存在全零列。通过两个例子说明了能观性判决的应用。
讲解了能控标准二型和能观标准型的变换方法。通过非奇异线性变换，可以将一个完全能控的单输入单输出线性定常系统转换成能控标准二型的形式。同时，还介绍了能观标准一型和能观标准二型的变换方法。通过这些变换，可以将系统的状态空间表达式转换成相应的标准形式。视频中给出了具体的推导过程和例子，以帮助理解。
00:00 🔀能控标准二型的变换方法：本节学习了能控标准二型的变换方法，通过非奇异变换证将系统的状态空间表达式化为能控标准二型的形式，其中系统矩阵为能控标准一型的系统矩阵的转置，输入矩阵的第一个元素为一，其他元素为零。通过线性变换可以将系统变换为能控标准二型的形式，最后推导得到系统矩阵的n次方乘上输入向量等于能控性质判别矩阵和一个列向量的乘积。
03:27 ??判别举证和矩阵的乘积：这个章节主要介绍了判别举证和矩阵的乘积，以及如何通过线性变换将系统矩阵转化为能控标准二型的形式。通过推导输入矩阵和输出矩阵的变换关系，可以将系统的状态空间表达式转换为能控标准二型的形式。最后，通过一个例子说明了如何将一个三维线性定常系统转化为能控标准二型。
06:54 🔍能观性质判别矩阵和变换方法：这个章节介绍了对于完全能关的单输入单输出线性定常系统，存在一个非奇异线性变换，即能观性质判别矩阵。通过这个变换矩阵，可以将系统的状态空间表达式变换为能观标准一型的形式，其中系统矩阵和能控标准一型一致，输入矩阵没有特别之处，而输出矩阵的第一个元素为1，其他元素为0。对于能观标准二型的变换，也存在一个非奇异线性变换，由系统特征多项式系数和能关性质判别矩阵的行倒过来写的矩阵相乘得到。通过这个变换矩阵，可以将系统的状态空间表达式变换为能观标准二型的形式，其中系统矩阵和能控标准二型的系统矩阵完全一致，输入矩阵没有特别之处，而输出矩阵的最后一个元素为1，其他元素为0。
介绍了现代控制理论中的能控性和能观性分解。对于不完全能控和不完全能关的系统，能控性分解可以帮助我们确定哪些状态变量是能控的，哪些是不能控的；能观性分解则可以确定哪些状态变量是能观的，哪些是不能观的。通过线性变换，系统可以分解为能控部分和不能控部分、能观部分和不能观部分。通过分解可以将系统的特征根分为能控系统和不能控系统的特征根，实现了特征根的分离。这对于系统的综合和镇定非常重要。
00:00 🔍能控性分解概念和原理：本章节介绍了能控性分解的概念和原理。对于不完全能控的系统，我们可以通过能控性分解将系统分解为能控部分和不能控部分。能控性分解可以将系统的状态变量分为能控和不能控的部分，进而分离出能控和不能控的特征根。通过能控性分解，我们可以更好地理解系统的能控性和不能控性，同时也可以更好地设计控制策略。
04:04 🔧控制性分解算法应用：本章节介绍了系统的控制性分解算法的应用。通过计算能控性质判别矩阵的秩，判断系统是否完全能控。然后通过构造能控性分解的线性变换矩阵，将系统进行能控性分解，得到能控制系统和不能控制系统的标准型。最后通过观察不能控制系统的关联矩阵和输入矩阵，判断分解是否正确。同时也介绍了对不完全能控系统进行能观性分解的方法。
08:04 🧩三维线性定常系统的能控性和能观性分解：这个视频讲解了三维线性定常系统的能控性分解和能观性分解。通过计算能关性质判别矩阵，可以确定系统是否能关。对于不能关的系统，可以进行能关性分解，构造能关性分解的线性变换。通过变换，可以得到能关性分解后的系统矩阵和标准型。检查分解是否正确，观察输出是否恒为零且不包含不能观止系统的状态变量。对于既不能完全能控又不能完全能关的系统，可以通过非奇异线性变换实现系统结构的规范形式解。有两种方式进行子系统分解，都需要经过三次线性变换。能控能观性的结构性分解是系统综合的基础。
介绍了李亚普洛夫关于稳定性的定义和相关的理论基础。李亚普洛夫的稳定性理论适用于线性和非线性系统，并提出了不同类型的稳定性概念，包括李亚普洛夫意义下的稳定、渐进稳定和大范围渐进稳定等。视频还讲解了如何判断系统的稳定性，包括利用系统状态方程的解来判断和线性化非线性系统等方法。最后，视频提到了内部稳定和外部稳定的概念以及它们的等价性。
00:00 📋稳定性的定义和贡献：这个视频讲述了李亚普洛夫关于稳定性的定义和方法，以及他在稳定性理论方面的贡献。稳定性是控制系统的重要特性，只有保持稳定，系统才能正常工作，并满足其他性能指标的要求。李亚普洛夫的研究方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。他首次提出稳定性是相对于系统的平衡状态而言的，并给出了严格的定义。对于线性系统，可以通过解代数方程判断平衡状态的个数。
03:47 🧮线性与非线性系统的稳定性：线性系统只有一个平衡状态，稳定性高；非线性系统有多个平衡状态，稳定性不同。平衡状态孤立指在某一平衡状态附近没有其他平衡状态。对非线性系统来说，稳定性是相对于具体平衡状态而言的。李亚普洛夫稳定性定义是指系统在任意初始状态下，距离平衡状态的距离小于一定值时，系统的运动轨迹与平衡状态的距离也小于一。
07:36 📉Liapunov意义下的稳定性：当系统的初始状态和平衡状态之间的距离小于德尔塔时，系统的运动轨迹和平衡状态之间的距离小于伊普斯龙，这被称为系统相对于孤立平衡状态的Liapunov意义下的稳定。如果系统的初始状态落在红色区域内，系统的运动轨迹不会跑出蓝色区域，但不一定回到平衡状态。若贝塔的取值与初始时刻无关，则这个孤立平衡状态是一字稳定的。如果系统的运动轨迹最终回到平衡状态，则这个孤立平衡状态是渐进稳定的。如果系统的非平衡初始状态最终都会回到平衡状态，则这个孤立平衡状态是大范围渐进稳定的。
11:28 🔍稳定性判别方法：如果一个系统在任何初始状态下，无论与平衡状态的距离多小，只要偏离了平衡状态，系统就会变得不稳定。李亚普洛夫蒂法通过解系统状态方程来判断系统的稳定性。外部稳定性判别是指给定有界输入时，判断系统的输出是否有界。内部稳定性判别是指求出系统矩阵的所有特征根，如果特征根具有负的实部，则系统是稳定的。对于能控能观的线性定常系统，内部稳定和外部稳定是等价的。
介绍了李亚普诺夫第二法和利亚普洛夫稳定性判断方法。根据李亚普诺夫第二法，系统在劳动消失后，能量逐渐衰竭直至达到平衡状态。如果能量趋于极小值，则该平衡状态是渐进稳定的。利亚普洛夫稳定性判断方法通过构造正定或半负定的标量函数对时间求导来判断系统的稳定性。构造合适的利亚普洛夫函数对于判定系统的稳定性至关重要。视频还提到利亚普洛夫理论并没有告诉我们如何构造合适的函数，需要根据具体情况进行尝试。
00:00 🔍李亚普诺夫第二法：该章节讲述了李亚普诺夫第二法和能量的衰竭，以及系统的稳定性。系统在受到劳动后，能量逐渐衰竭并趋于平衡状态，这个平衡状态可能是渐进稳定、稳定或不稳定的。如果系统受到劳动后能量不再增加，平衡状态为稳定；如果系统受到劳动后能量保持不变，平衡状态为比亚普洛夫稳定；如果系统受到劳动后能量不断增加，平衡状态为不稳定。此外，还介绍了正定和半正定的概念。
04:16 ?标量函数的符号性质：本章节介绍了标量函数的符号性质及如何判断二次型函数的符号性质。标量函数可以分为正定、负定、半负定和不定四种类型，取决于函数在不同取值下的正负情况。对于二次型函数，判断其符号性质取决于矩阵P的性质，如果矩阵P的所有主子式均大于零，则函数为正定；如果偶数阶的主子式大于零，奇数阶的主子式小于零，则函数为负定。最后，介绍了系统在存在满足一定条件的标量函数和导数时，平衡状态为渐进稳定。
08:34 📊渐进稳定性和李亚普洛夫判据：本章介绍了系统的渐进稳定性和李亚普洛夫判据的应用。通过构造能量函数和二次型函数，可以判断非线性和线性系统在平衡状态下的稳定性。当能量随时间不断减少时，系统就是渐进稳定的。李亚普洛夫判据简化了判断系统稳定性的过程，使得非线性系统的稳定性判断更容易。
12:52 📈利用求导判断系统的稳定性：这个章节讲解了如何利用求导的方法来判断系统的稳定性。通过对状态方程的导数进行求导，可以得到系统的稳定性的判断条件。如果导数是半负定的，则系统是渐进稳定的；如果导数是正定的，则系统是间接稳定的。然而，构造合适的李亚普洛夫函数对于判定系统的稳定性是至关重要的，但是李亚普洛夫理论并没有提供构造函数的方法。因此，在某些条件下，我们需要重新构造合适的函数来判断系统的稳定性。这给我们一个启示，即通过构造合适的函数来判断系统的稳定性。
李亚普诺夫辅助判据是判断系统稳定性的一种方法，通过判定微函数对时间的导数半负定以及辅助条件来判断系统的稳定性。李亚普诺夫辅助判据可适用于线性和非线性系统，并提供大范围稳定性信息。然而，它只是充分条件，不能给出系统稳定性的全部信息。构造合适的李亚普诺夫函数是应用李亚普诺夫方法的关键。
00:00 🔍李雅普诺夫辅助判据：雷普洛夫提出了一个辅助判决，即当系统的状态方程给定时，存在一个连续一阶导数的标量函数vx，满足vx是正定的且vx对时间的导数是半负定的。如果对于任意非零初始状态xt 0，在t大于t0时，除了x等于零时，v函数对时间的导数等于零，而y v函数对时间的导数不恒等于零，那么系统在平衡状态就是渐进稳定的。如果当状态向量的距离范数趋于无穷时，所构造的v函数也趋于无穷，那么系统在平衡状态x一等于零就是大范围渐进稳定的。李亚普洛夫辅助判决增加了一个条件，即微函数对时间的导数半负定时，判定v函数对时间的导数是否恒等于零，从而判断间接稳定性。
02:33 ??线性系统平衡状态稳定性判断：本章介绍了李亚普洛夫辅助判决在线性系统平衡状态稳定性判断中的应用。通过判断标量函数对时间的导数是否半负定来判断系统的稳定性。进一步分析x2变量是否恒等于零，确定函数对时间的导数是否恒等于零。当系统在平衡状态时，是渐进稳定的，并且当状态向量的距离趋于无穷时，函数也趋于无穷。同时，满足具有连续一阶导数的标量函数vx为正定。
05:07 📚李雅普诺夫稳定性理论应用：视频讲解了李亚普洛夫稳定性理论的应用。通过构造一个标量函数，即李亚普洛夫函数，可以判断线性系统在平衡状态的稳定性。根据李亚普洛夫不稳定的判决，如果这个函数对时间的导数也是正定的，则系统是不稳定的。此外，李亚普洛夫函数不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统，并且它只是充分条件，而非必要条件。最后，构造合适的李亚普洛夫函数是研究其在工程中应用的关键。
介绍了李亚普诺夫稳定性理论在线性系统中的应用。对于给定的没有外界输入的线性定常系统，在平衡状态下，系统是渐进稳定的充分必要条件是存在唯一的实正定对称矩阵p满足李亚普洛夫方程。通过求解李亚普洛夫方程得到矩阵p，若p是正定对称的，则系统是渐进稳定的。该方法可以用来判断系统的稳定性。视频还介绍了李亚普洛夫方程的充分必要性证明和线性时变系统的稳定性判据。
00:00 📚李亚普诺夫稳定性理论：李亚普诺夫稳定性理论是研究动态系统稳定性的方法，适用于线性和非线性系统。线性定常系统在平衡状态下渐进稳定的充分必要条件是存在一个正定对称矩阵q，使得对应的李亚普洛夫方程有唯一的实正定对称矩阵p。如果系统是渐进稳定的，那么对于任意的正定对称矩阵q，通过求解李亚普诺夫方程得到的矩阵p也是正定对称的。充分性即如果矩阵p是正定的实对称矩阵，并且满足the aq方程，那么系统在平衡状态下是渐进稳定的。通过构造微函数证明了这一点。
03:35 🔬李亚普洛夫方程的证明：该章节讲解了关于李亚普洛夫方程的证明过程。首先介绍了v函数对时间的导数是固定的，因此系统在平衡状态是渐进稳定的。然后证明了必要性，即系统在平衡状态渐进稳定时，矩阵p是唯一满足李亚普洛夫方程的对称正定矩阵。接着证明了矩阵p是满足李亚普洛夫方程的唯一解，并且是正定的和对称的。
07:09 💡矩阵p的唯一解和正定性：这个章节证明了矩阵p满足李亚普洛夫方程的唯一对称正定解，并说明了如何证明矩阵p是正定的。同时，对线性定常系统的李亚普洛夫判据进行了解释，指出根据矩阵q的符号性质判定系统稳定性的方法，以及应用李亚普洛夫方程计算矩阵p判定系统稳定性的方法。
10:50 📊矩阵p和q的应用：矩阵p固定时，系统稳定与否取决于矩阵p的半正定性或不定性；矩阵q需满足正定对称要求，可选取单位矩阵；通过求解代数方程组得到矩阵q；通过一个简单的二阶系统例子说明了李亚普洛夫方程的应用；线性定常系统可用ap方程判断稳定性；对于高阶系统，用特征根方法求解困难，可以用雷夫方程判断稳定性；线性时变系统在平衡状态渐进稳定的充分必要条件是李亚普洛夫方程成立。
介绍了李亚普诺夫方法在非线性系统中判定稳定性的应用。通过雅克比矩阵法和变量梯度法构造李亚普洛夫函数，以判断系统的稳定性。视频还通过一个例子演示了如何应用雅克比矩阵法来确定系统的渐进稳定性。同时，提到了李亚普洛夫稳定性的定义和判别条件，以及构建李亚普洛夫函数的方法和限制。视频强调了李亚普洛夫方法的适用性和局限性。
00:00 🔍判定系统稳定性的方法：本章介绍了判定系统稳定性的两种方法：雅克比矩阵法和亚普洛夫函数法。雅克比矩阵法通过状态方程右侧的函数向量的偏导数来判断系统的稳定性，需要满足一个特定的矩阵不等式。亚普洛夫函数法则通过构造一个二次型函数来判断系统的稳定性，函数的正定性是判定系统渐进稳定的条件。同时，需要注意函数向量对状态向量的偏导数和状态向量对时间的导数的关系。
04:56 📊亚克力矩阵法和变量梯度法的应用：这个视频讲解了亚克力矩阵法和变量梯度法在确定系统平衡状态渐进稳定性方面的应用。通过求解雅克比矩阵和构造亚克力矩阵，可以判断系统是否渐进稳定。而变量梯度法则是通过构造一个v函数的梯度来判断系统的间接稳定性。这些方法在满足一定条件下都可以有效应用于系统稳定性分析。
09:54 ??微函数对时间的求导和微函数梯度的计算：本章节主要介绍了微函数对时间的求导以及微函数梯度的计算方法。首先，微函数对状态向量的每个分量求偏导再对时间求导，可以表示为v函数对时间的导数。然后，通过将微函数梯度的转置与状态向量对时间的导数相乘，得到一个多项式表示。接着，介绍了线积分与积分路径的关系，要求微函数梯度的旋度为零，使线积分与积分路径无关。最后，给出了应用变量梯度法分析系统暂态稳定性的步骤。通过确定v函数梯度的系数，并确保微函数梯度为负定且旋度为零，可以判断系统的渐进稳定性。举例说明了如何应用该方法来确定非线性二维系统在平衡状态下的渐进稳定性。
14:54 ??微函数对时间导数的计算和稳定性的判定：本章介绍了微函数对时间导数的计算公式以及如何确定系数，其中条件包括v函数梯度的旋度为零和v函数对时间的导数固定。如果这些条件满足，系统在一减x一的平方大于零的范围内，x一等于零的平衡状态是渐进稳定的。此外，还讨论了系统的内部稳定和外部稳定的定义和判定方法，以及李亚普洛夫稳定性的几个定义和判定条件。利亚普洛夫方程判决是线性系统稳定的充分必要条件。对于构建利亚普洛夫函数，目前还没有统一的方法。
介绍了利用状态观测器实现状态反馈系统的基本特性，包括系统位数的增加、特征值的分离性、特征值的不受影响、传递函数矩阵的不变性以及状态观测器反馈与直接状态反馈的等效性。视频还提到了状态观测器设计的充分必要条件是系统能控，利用降维状态观测器的状态反馈系统性能优于权威状态观测器系统，并且状态观测器矩阵与状态反馈矩阵的设计是可分离的。
00:00 🔧状态反馈系统构成和设计方法：本章介绍了利用状态观测器的状态反馈系统的构成和设计方法。状态观测器是为了实现无法直接观测系统状态的状态反馈，将观测到的状态与参考速度进行比较。系统的状态向量由受控系统和状态观测器的状态向量组成，带有状态观测器的系统位数增加一倍。设计带有状态观测器的状态反馈系统需要设计状态反馈矩阵k和输出增益矩阵g，但需要注意先设计哪一个可能会影响原有的状态观测器的输出增益矩阵g。
02:37 👁??🗨?状态观测器的作用和特性：状态观测器在状态反馈系统中的作用及特性。引入状态观测器后，系统位数增加，特征值集合具有分离性。状态观测器的设计不会影响状态反馈系统的特征值，反之亦然。状态观测器的引入带来便利，是状态观测器和状态反馈系统特征值可分离的推广。
05:12 📈状态反馈系统特征值不受影响：状态反馈系统的特征值不会被影响，引入状态观测器也不会影响已设计好的状态观测器的特征值。状态观测器的引入不会改变原状态反馈系统的传递函数矩阵，与直接状态反馈对应的传递函数矩阵完全相等。设计带有状态观测器的状态反馈系统与设计直接状态反馈系统的反馈矩阵是完全相同的。综合问题的条件是系统完全可控，最简洁的综合算法是基于能控标准一型。解耦控制在工程中有广泛需求，状态观测器对于实现状态反馈有重要意义。状态观测器的设计与状态反馈矩阵的设计是可分离的。
介绍了最优控制问题的数学描述和求解方法。通过经典变分法、极小值原理和动态规划法，可以找到满足约束条件的最优控制，使得系统在最短时间内达到指定状态，并使性能指标最优。视频还以电梯运行控制为例，说明了最优控制问题的应用。最优控制问题可用数学模型、状态约束、控制约束和性能指标描述，求解过程涉及到求解泛函的条件极值问题。
00:00 🔧最优控制问题的求解方法：这个章节介绍了最优控制问题的求解方法，包括经典变分法、极小值原理和动态规划法。最优控制问题是为了使控制对象按要求运行并达到最优性能指标而选择合适的控制方法。这个问题可以看作是求解带有约束条件的泛函极值问题，可以通过经典变分法、极小值原理和动态规划法来求解。最后，通过一个实例来抽象出一般的最优控制问题的数学描述，并介绍了电梯运行控制作为一个最速升降问题的例子。
03:46 🏗?建立物体的状态方程：这个视频讲解了如何建立物体的状态方程，选取了物体离地面的高度和运动速度作为状态变量。根据牛顿第二定律，得到了描述系统运动的微分方程。然后介绍了最速下降问题，即寻找满足约束条件的最优控制，使得运动时间最短且速度小于给定值。最后提到了最优控制问题的数学模型和边界条件。
07:31 🎯系统的性能指标和最优控制问题：这个章节主要介绍了系统的性能指标和最优控制问题。系统的性能指标分为积分型、终端型和复合型，分别反映了对系统性能的要求。最优控制问题是在给定约束条件下，寻找控制向量使得系统在终端时刻转移到目标集并使性能指标最小。最优控制问题可以归结为求某个泛函的条件极值问题，常用的求解方法有变分法、极小值原理和动态规划法。
介绍了泛函和变分的基本概念，以及如何使用变分法求解带约束的泛函极值问题。泛函是依赖于函数的函数，变分是泛函增量的线性主部。视频还介绍了泛函的增量和连续性的定义，并引入了泛函的变分引理，将泛函的变分转化为函数的偏导数计算。视频还讲解了泛函的极值定义和极值定理，即在极值曲线上的变分为零。通过这些概念和方法，可以计算泛函的极值。
00:00 📚泛函与泛函变分基本概念：这个视频讲解了泛函和变分的基本概念。泛函是依赖于函数的一个确定的数，而不是函数的某个特定值。泛含自变量的变分是自变量函数与标称函数之间的差值函数。泛函的增量是自变量函数变化引起的泛函的增加值。泛函的连续性是指当自变量函数与标称函数之间的距离足够小时，泛函的偏差也很小。泛函变分是泛函增量的线性主部，用泰勒级数展开得到关于变分的无穷级数。
04:30 🔬泛函的变分引理计算方法：本章介绍了泛函的变分引理的计算方法。通过将泛函的变分转化为函数的偏导数来计算，将自变量函数x用x加上阿尔法德尔塔x来替代，然后对阿尔法求偏导并令阿尔法等于零，得到泛函的变分。证明中使用了泰勒级数展开和极限的计算。通过这个简单的计算方法，我们可以方便地计算复杂泛函的变分。
09:12 🧮泛函求导方法和极值计算：本章介绍了泛函求导的两种方法，第一种是直接对泛函的自变量函数求偏导，第二种是根据变分的定义来计算泛函的增量。无论使用哪种方法，结果都是相同的。对于复杂的泛函，需要用泰勒级数展开来计算增量的线性部分。接下来介绍了泛函极值的定义和计算方法，如果泛函在某个点附近的增量大于等于零，则该点为极小值；如果增量小于等于零，则该点为极大值。最后讲解了泛函极值定理，即在函数达到极值的点，变分等于零。
介绍了无约束条件下的变分问题和欧拉方程。它解释了如何通过求解欧拉方程来找到使泛函取得极值的自变量函数。视频还通过一个例子详细说明了如何应用欧拉方程来求解泛函的极值问题。最后，视频提到了欧拉方程的存在性和唯一性问题。
00:00 🧮最优控制和泛函极值问题：这个章节介绍了最优控制和泛函极值问题的基本思想，以及如何求解无约束的泛函极值。首先，最优控制是一类带有约束的泛函极值问题，通过将各种约束逐步加入，得到带有各类约束的泛函极值问题的解。其次，无约束的泛函极值的必要条件是满足欧拉方程。最后，推导了无约束的泛函取得极值的必要条件，并转换为了一个求偏导的问题。
04:37 🔍泛函变分的引理简化求导：本章节介绍了应用泛函变分的引理来简化泛函的求导过程。通过对自变量函数的偏导，再对阿尔法求偏导，可以得到被积函数对自变量的求导结果。进一步推导得到了被积函数对自变量函数一阶导数的全导数，以及泛函变分的进一步表达形式。最后，根据泛函的极值定理，推导出了欧拉方程。
09:18 📊无约束泛函的极值条件：本章介绍了无约束泛函取得极值的必要条件，即欧拉方程。通过欧拉方程，可以用偏导数的形式简洁地表示泛函的全导数，并进一步转化为欧拉方程形式。举例说明了如何利用欧拉方程求解泛函的极值，并给出了满足端点约束条件下的极值曲线。然而，欧拉方程只是极值的必要条件，需结合具体问题和物理意义来确定是否为极值曲线。
介绍了无约束条件下的变分问题，主要讲解了端点状态自由的无约束泛函极值问题。通过推导，得出了泛函变分的计算公式，并提出了欧拉方程和横截条件成立的必要条件。通过两个具体例子，展示了欧拉方程和横截条件在求解泛函极值问题中的应用。此外，还介绍了向量形式的欧拉方程和横截条件，并通过一个具体例子说明了其应用。最后，讨论了约束条件对系统泛函极值的影响。视频内容深入浅出，易于理解。
00:00 ?端点状态自由的无约束泛函极值问题：本章学习了端点状态自由的无约束泛函极值问题，与前面端点固定的问题相比，变分计算公式中多了三项。为使泛函取得极值，泛函的变分必须等于零，即三项之和等于零。由于自变量函数在积分区间自由，要使积分项等于零，欧拉方程和横截条件必须成立。所以在求取终端状态自由的无约束泛函的极值时，只需要从欧拉方程和横截条件成立开始计算即可。
03:32 🔍欧拉方程和横截条件的应用：本章介绍了欧拉方程和横截条件的应用。当端点状态固定时，推导不出横截条件，需由终端条件替代。通过例子，求满足两种端点情况下的极值曲线。欧拉方程得到极值的必要条件，求解二阶方程得到通解。对于情况一，确定常数c1和c2得到极值曲线。情况二有横截条件，得到一阶导数在端点时刻的值，确定常数c1和c2得到极值曲线。两例子中，第二个粒子的性能指标小于第一个粒子的性能指标，约束越少，性能指标越小。
07:02 ??无约束泛函取得极值的必要条件：这个章节介绍了无约束泛函取得极值的必要条件，包括欧拉方程和横截条件。当自变量函数是向量时，欧拉方程和横截条件同样适用，问题变成了寻求使泛函取得极值的函数极值曲线。这个问题中，自变量函数是一个n维向量，欧拉方程是一个矩阵微分方程，横截条件是一个矩阵代数方程。举例说明了向量形式的欧拉方程的应用，求解二维泛函在满足边界条件下的最优运动轨迹。通过求解微分方程和特征方程，得到了状态变量的通解，并满足了边界条件的约束，实现了性能指标的极小化。
介绍了有约束条件的变分问题。控制变量受到状态方程的约束，为了求解这个问题，可以将其转化为无约束问题。引入拉格朗日乘子向量，将约束条件与性能指标结合。通过求解增广的性能指标的变分，得到满足约束条件的最优控制的必要条件。哈密尔顿函数对状态和控制变量求偏导，斜状态向量与终端性能指标相关。最后得到终端时间固定状态自由约束条件下的极值问题的必要条件。
00:00 🔍有约束条件的变分问题：本章介绍有约束条件的变分问题。首先，我们假设控制u是无约束且连续的。然而，在实际工程中，控制总是受到约束的，特别是b区间约束。我们讨论了终端时间固定状态自由等数约束条件下的变分问题。我们将状态方程改写并引入拉格朗日乘子，将带约束的问题转化为无约束的优化问题。
03:54 📚引入哈密尔顿函数的最优控制：这一章节介绍了将性能指标加入积分项中，通过增广的性能指标和等式约束条件来计算系统最优控制。引入了哈密尔顿函数作为分析最优控制性能的重要工具，并推导了增广的性能指标的必要条件。最后，提到了使用泛函的变分引理来求取增广性能指标的变分。
07:47 🔢斜状态向量的求偏导方法：在本章节中，我们介绍了如何利用哈密尔顿函数对斜状态向量进行求偏导的方法。通过将斜状态向量的转置乘以状态向量对时间的导数的变分，再减去斜状态向量的转置乘以状态向量导数的变分，可以得到状态向量对时间的导数的转置乘以斜状态向量的变分。需要注意的是，在对斜状态向量求偏导时，要对汉密尔顿函数的三个自变量都进行求导。此外，由于斜状态向量的转置乘以状态向量对时间的导数的变分是一个向量，需要将其转置为行向量，以便与斜状态向量的变分相乘得到标量结果。最后，我们还介绍了如何计算斜状态向量的转置乘以状态向量一阶导数变分的积分。
11:45 🔬斜状态向量一阶导数的计算方法：本章节介绍了斜状态向量一阶导数的计算方法，并将其带入泛函的变分计算中。通过合并相同变分量的项，得到了泛函变分的计算结果。在满足状态方程、斜状态方程和控制方程的约束条件下，要使得泛函的变分等于零，需要满足四个条件。最后，指出带有状态方程约束的泛函取得极值的必要条件是增广性能指标取得极值。
介绍了哈密尔顿函数在现代控制理论中的重要性和性质。哈密尔顿函数对时间的全导数等于对时间的偏导数，当哈密尔顿函数不显含时间时，它就是一个常数，用于判断最优控制。通过一个简单的例子，演示了如何通过状态方程、斜状态方程和控制方程解出最优控制。最后得出的结论是最优控制是一个常数。
00:00 📐哈密尔顿函数的性质：本章介绍了哈密尔顿函数的性质。哈密尔顿函数沿着最优轨迹的全导数等于对时间的偏导数，当哈密尔顿函数不显含时间变量时，最优轨迹的哈密尔顿函数是一个常数。这个性质常用于判断所求得的控制是否是最优控制。哈密尔顿函数是性能指标中的被积函数，加上斜状态向量的转置，乘上状态方程右侧的函数向量。哈密尔顿函数对时间的导数等于对状态向量的偏导数乘以状态向量对时间的导数。
02:17 🔍带有状态方程约束的泛函极值的计算方法：本章节介绍了带有状态方程约束的泛函极值的计算方法。通过引入哈密尔顿函数，可以对控制向量、斜状态向量和时间进行偏导，从而得到最优控制方程。根据哈密尔顿函数对时间的全导数等于零的性质，可以判断系统最优轨迹的正确性。通过一个简单的一阶系统的例子，展示了如何写出哈密尔顿函数，并说明了哈密尔顿函数是性能指标中的被积函数，最终目标是使得性能指标取得极值。
04:35 🔧求解最优控制的方法：本章介绍了求解最优控制的方法。通过解控制方程得到控制和状态向量的关系，再带入状态方程和斜状态方程求解状态向量和斜状态向量。斜状态变量在终端时刻的条件确定了常数c，而控制则等于负的斜状态变量。将控制带入状态方程得到终端时刻的状态变量。最终，得到了问题的最优控制。
讲述了在自由等式约束条件下的泛函极值问题的基础上，再加上终端状态约束的变化情况。介绍了状态方程约束和终端状态约束对极值条件的影响，以及如何处理这些约束。通过引入拉格朗日乘子向量，将约束转换为无约束的极值问题。通过一个具体例子演示了带有状态方程约束和终端状态约束的最优控制的计算方法。最终目标是找到最优控制和最优轨迹，以最小的控制能量将系统驱动到指定约束状态下。
00:00 🔒终端状态约束：这个视频讲述了在自由等式约束条件下的泛函极值问题中，加入终端状态约束后的极值条件变化情况。对于终端时间固定状态约束等式约束条件下的变分问题，我们需要处理终端状态受到约束的情况。通常情况下，终端状态约束是由多个不等式约束围成的一个子空间，系统在终端时刻的状态需要落到这个子空间内。我们需要寻找最优控制，使得综合性能指标取得极小值。与之前的终端状态自由泛函极值问题相比，处理约束的方法有所不同。在状态方程约束下，系统运动状态需要在整个时间区间内遵循状态方程的约束。我们可以引入拉格朗日乘子向量来化解状态方程的约束，并将终端约束向量转换到目标函数中。
02:55 🔄转换为无约束问题：本章介绍了如何将带有状态方程约束和终端状态约束的最优反函数极值问题转换为无约束的反函数极值问题。通过引入拉格朗日乘子向量，将约束转化为目标函数中的标量，进而求解最优解。同时，还讨论了在终端状态约束下，求解泛函变分等于零的必要条件。通过具体例子的分析，加深了理解。
06:02 🔍最优控制计算方法：本章介绍了带有状态方程约束和终端状态约束的最优控制的计算方法。通过求解系统的状态方程、斜状态方程和控制方程，可以得到最优的运动轨迹和控制变量，使系统在终端时刻达到约束状态并使性能指标最小化。求解过程中，使用了控制方程的偏导数等式和汉密尔顿函数。最终，通过解决一个两点边值问题，得到了最优的控制变量和状态变量。
介绍了终端时间自由的泛函极值问题。在此问题中，通过引入拉格朗日乘子向量，将有约束的泛函极值问题转化为无约束问题。求解过程中要考虑终端时刻的变化对泛函的影响，通过引入哈密尔顿函数和相关的偏导数计算，得到泛函取得极值的必要条件。通过一个一阶微分方程的例子，展示了如何求解带有状态方程约束和终端时间自由的最优控制问题。最后，根据状态方程和斜状态方程的边界条件，确定最优的终止时间和最优控制。
00:00 ?终端时间自由的泛函机制问题：这个章节介绍了终端时间自由的泛函机制问题。通过引入拉格朗日乘子向量，将有约束的泛函极值问题转化为无约束的问题。然后，通过对无约束泛函的变分，得到泛函取得极值时的必要条件。由于终端时间的自由性，求泛函变分时需要考虑终端时刻的变化对泛函的影响。最后，引入哈密尔顿函数来表示增广性能指标，使得泛函的变分等于零。
04:24 🔍泛函的变分引理和计算：本章介绍了如何通过泛函的变分引理将变分计算转换为函数的偏导数计算。需要注意的是，求偏导时不能漏掉每个自变量函数和自变量的求导，并且求导结果是向量或矩阵，而最终的结果必须是标量。对于增广性能指标的变分计算，只考虑与终端时间tf相关的偏导数。对终端性能指标y的求导，除了对终端状态htf求导外，还要加上对终端时间tf的导数。对于积分型性能指标的求导，除了对哈密尔顿函数和拉格朗日乘子向量的转置乘以状态向量的导数求导外，还需要对积分上限tf求导。最后整理结果得到增广性能指标的表达式。
08:47 🎯泛函取得极值的必要条件：视频介绍了泛函取得极值的必要条件，其中阐述了泛函变分等于零、状态方程、控制方程等的关系。通过一个最优控制问题的例子，说明了带有状态方程约束和终端时间自由的最优控制问题的求解方法。最后提到根据斜状态变量和控制量的关系，可以得到最优控制和终止时间。
讲述了经典变分法在最优控制问题中的局限性。经典变分法假设控制不受约束，但实际控制系统往往受到各种约束限制。在受到约束的情况下，经典变分法无法推导出控制方程成立，因此不能解决受到约束的最优控制问题。视频通过一个简单的例子说明了经典变分法的局限性，提出了三个限制条件：控制不能有约束，哈密尔顿函数不能是控制的线性函数，哈密尔顿函数对控制的偏导数必须存在。
00:00 🔒经典变分法的约束问题：在学习经典变分法时，我们假设控制是不受约束的，但实际控制系统中控制总是受到各种约束的。常见的控制约束是控制量幅值的约束，即控制能量的约束。经典变分法在实际工程中的应用受到了这些约束的限制。而极小值原理能够较好地解决控制约束问题。在经典变分法中，我们通过泛函的变分等于零来得到泛函取得极值的必要条件。但如果控制是受到约束的，特别是在边界上的时候，控制的变分就等于零。因此，无论哈密尔顿函数对控制量的偏导数是否等于零，和控制变分相关的这一项都等于零。
02:08 🎛?控制受约束的最优控制问题：这个章节讲述了经典变分法在控制受约束的最优控制问题中的局限性。以一个简单的一阶线性定常系统为例，探讨了最优控制问题的求解过程。经典变分法要求控制方程、斜状态方程和状态方程同时成立，并通过哈密尔顿函数得到斜状态方程。最后，介绍了终端时间固定状态自由的最优控制问题的求解方法。
04:22 ?经典变分法的三个局限：经典变分法在解决最优控制问题时有三个局限：1. 不能有约束；2. 哈密尔顿函数不能是线性函数；3. 哈密尔顿函数对控制的偏导数必须存在。
讲解了极小值原理的概念和应用。极小值原理可以帮助我们找到受控系统的最优控制，使性能指标取得极小值。视频还介绍了如何构造哈密尔顿函数，并通过一个例子说明了应用极小值原理求解最优控制的方法。极小值原理是必要条件而非充分条件，可以帮助我们解决极小值最优控制问题。
00:00 📔极小值原理简介：经典变分法局限性被庞特里亚金的极小值原理破解。极小值原理通过选取最优控制使得哈密尔顿函数取得最小值，成为极小值原理的必要条件。若哈密尔顿函数取得相反符号，则是极大值原理。极小值原理是性能指标取得极小值的必要条件，但不是充分条件。通过对分段函数控制下系统运动轨迹的分析，证明了极小值原理的有效性。
04:51 📊性能指标与哈密尔顿函数：该章节讲述了如何从性能指标推导出哈密尔顿函数，并通过积分计算得到斜状态向量的转置和两种运动轨迹之差的乘积。通过将状态向量的导数用状态方程右侧的函数向量表示，可以推导出用哈密尔顿函数表示的不等式。最后，将整个积分分为三段，并说明了在第一段和第二段的初始时刻，积分值为零。
09:39 🏆最优控制与哈密尔顿函数：本章节讲解了最优控制理论中的极小值原理。通过推导，证明了当系统趋近于零时，最优控制下的哈密尔顿函数小于等于稍微偏离最优控制的控制下的哈密尔顿函数。通过一个例子，展示了如何求解具体问题的最优控制。
介绍了终端时间未固定时的极小值原理在现代控制理论中的应用。通过时间变换将问题转化为固定上限问题，利用斜状态方程和哈密尔顿函数求解最优控制和最优运动轨迹。同时，通过经典变分法求解无限范围内的最优控制。视频还通过一个例子详细说明了终端时间未固定时的极小值原理的应用过程。
00:00 ?终端时间未固定的极小值原理：本章讲解了终端时间不固定的极小值原理在控制理论中的应用。通过给定受控系统的状态方程和初始条件，自由选择终端时间tf，在控制域中寻找控制，使得性能指标取得极小值。通过时间变换将时间t变换到套时标下，可以将变上限问题转换为固定上限问题。最终得到在套时标下的哈密尔顿函数等于性能指标的被积函数加上拉格朗日乘子向量的转置乘上状态方程右侧的函数向量。
04:09 🔗时间套标与符号套标的关系：本章节介绍了在时间套标下的哈密尔顿函数与符号套标下的哈密尔顿函数之间的关系。通过符号代换，可以得到时间套标下的哈密尔顿函数等于符号套标下的哈密尔顿函数乘上一个w套。根据问题a和问题b的定义，可以使用终端时间固定的极小值原理来求解这两个问题。同时，通过经典变分法可以求解问题b。最后，本章节给出了最优控制的必要条件以及系统取得最优控制的必要条件。
08:15 🔍经典变分法与最优控制：视频介绍了经典变分法最优控制的必要条件，即斜状态方程和控制方程成立，哈密尔顿函数对控制变量的偏导数为零。通过一个例子说明了终端时间未固定的极小值原理的应用，即寻找最优控制和最佳终端时间的方法。通过构造哈密尔顿函数和斜状态方程，可以确定最优控制和终端时间。最终得到最佳终端时刻和最优控制。
讨论了极小值原理在受控系统中的应用。通过给定状态方程和初始条件，终端状态满足约束，使得性能指标取得极小值。通过将混合型目标函数转化为积分型目标函数，并将终端目标及约束化为动态约束，可以应用积分性性能指标的极小值原理来证明问题。该视频强调了将问题转化为已有求解方法形式并用变分法求解的思路。
00:00 ?终端时间固定和变化：本章讨论了终端时间固定和终端时间变化的情况，并介绍了一般情况下的极小值原理。该原理是指在给定受控系统的状态方程和初始条件下，通过满足给定约束的终端状态，使得给定的复合性能指标取得极小值。其中，哈密尔顿函数等于性能指标中的被积函数加上拉格朗日乘子向量的转置。
00:56 📈泛函极值的必要条件：该视频讲述了泛函极值存在的必要条件，包括状态方程成立、斜状态方程成立和哈密尔顿函数在最优轨迹和最优控制上取得极小值。最优状态轨迹和最优控制分别为x型和u型，并且在终端时间固定时，汉密尔顿函数在最优控制最优轨迹下等于常数；当终端时间未固定时，汉密尔顿函数在最优控制最优状态轨迹下等于零。证明问题的基本思想是将混合型目标函数化为积分型目标函数。
01:57 🎯终端目标及约束的转化：本章节介绍了将终端目标及约束转化为动态约束，然后利用积分性性能指标的极小值原理来证明。通过增加一个常数项，得到一个新的性能指标，将其转化为积分型性能指标。将新的问题转化为已有求解方法的形式，再用已有的方法来求解。这是解决问题的一种基本思路。举例来说，在求解变上限的极小值原理时，可以转化为固定上限的极小值原理，利用变分法来求解。
介绍了时间最优控制问题及其在工程中的应用。通过极小值原理和哈密尔顿函数，可以求解满足约束条件的最优控制。最优控制取决于换接函数的符号变化，当换接函数频繁发生变化时，控制器可能无法实施最优控制。时间最优控制问题的正则性取决于换接函数在给定时间区间上是否存在零聚点。线性定常时间最优控制系统为正则的充分必要条件是正则性质判别矩阵的秩等于系统的维数。
00:00 ??时间最优控制应用：该视频讲解了时间最优控制问题在工程中的应用。通过极小值原理，可以求解线性定常系统在满足约束条件下的最优控制。最优控制的目标是使系统在终端时刻的状态等于零，并使控制时间最短。通过求解系统的哈密尔顿函数，可以确定最优控制的取值范围，即根据换接函数的符号确定控制是取正一还是负一。
03:52 ??斜状态方程与正则性：斜状态方程是由斜状态向量对时间的导数等于负的哈密尔顿函数所决定的。斜状态向量的初始状态不能为零，最优控制问题的解决取决于换接函数符号的变化。在实际工程中，如果换接函数的符号频繁变化，控制装置无法跟上变化，导致最优控制无法实施。这需要事先判断时间最优控制的正则性问题。
07:44 ?正则与奇异情况：本章介绍时间最优控制问题的正则与奇异情况。正则情况下，存在一个时间点t8，使得换接函数等于零，并且在t8附近存在使换接函数等于零的点。证明线性定长时间最优控制问题为正则的充分必要条件是每个控制分量所对应的正则性质判别矩阵的秩等于系统个数。假设存在某个控制分量截k，使得在t0到tf时间区间上换接函数cos jk存在零聚点t8，并且在t8附近总存在使cos jk等于零的点。因此存在无穷个时间点列使得换接函数等于零，并且当r趋近于无穷时，这些时间点列趋近于零界点t8。根据罗尔定理，对连续可微函数来说，两个零点之间至少存在一个导数为零的点。所以换接函数的导数存在无穷多个时间点列使得导数等于零。根据罗尔定理的反复应用，可以得到存在使换接函数二阶导数等于零的时间点列，以及存在使换接函数直到n-1阶导数都等于零的时间点列。换接函数对时间的导数每增加一次，系统矩阵就增加一次方。
11:39 🧮正则性与矩阵关系：该章节主要讨论了换接函数的各阶导数等于零的时间点列以及换接函数的一阶导数在零聚点t8处都等于零。通过这些等式组成的矩阵，证明了斜状态变量不能等于零，并且正则性质判别矩阵的秩小于系统的位数。进一步证明了问题的正则性与控制分量所对应的正则性质判别矩阵的秩等于系统的位数之间的关系。最终得出线性定长时间最优控制系统为正则的充分必要条件是正则性质判别矩阵的秩等于系统的维数。
讲解了时间最优控制理论的应用。通过一个例子，介绍了时间最优控制问题的计算方法和最优解的唯一性。还解释了开关次数的概念和计算方法。通过构造哈密尔顿函数和斜状态方程，可以求解最优控制的解析表达式。同时，通过绘制状态变量之间的关系曲线，可以确定最优控制的序列。总结了求解时间最优控制问题的步骤和计算时间的方法。
00:00 ??时间最优控制的微分和开关次数：这个视频的章节主要介绍了时间最优控制的微分和开关次数，以及相关的定理。时间最优控制的唯一性定理指出，如果一个线性定常系统的时间最优控制存在，那么最优控制必定是唯一的。开关次数则是指最优控制所对应的换接函数的零点个数，对于一个n维系统，如果其特征值都是实数，那么换接次数不会超过系统的维数减一。最后，以一个二阶线性定常系统为例，通过求解满足一定不等式约束的最优控制问题，展示了时间最优控制问题的计算方法。
03:35 📊哈密尔顿函数和斜状态方程：哈密尔顿函数对状态向量的偏导数得到斜状态方程，斜状态变量解析表达式需确定边界条件。最优控制下哈密尔顿函数取得最小值，控制选取斜状态变量兰姆达二的相反号。当兰姆达二大于零时，控制为-1，得到状态变量x一和x2 的关系为抛物线方程。当兰姆达二小于零时，控制为1，关系曲线也是抛物线。不同初始状态对应不同运动曲线。
07:11 🔄曲线对控制状态变量的影响：本章节讲述了曲线对于控制状态变量x2的影响，根据初始状态在相平面上的位置来决定控制序列，当初始状态在红色曲线的上半年时，控制取-1，落在蓝色曲线的下半年时，控制取正一，使系统运动到坐标原点。当初始状态落在伽马曲线的左侧或右侧时，需先施加对应的控制再转移到原点。总的计算时间取决于初始状态位置和状态轨迹与开关曲线的交点。此系统为二阶系统，最多只需换接一次。
介绍了线性二次型最优控制的理论和应用。视频首先介绍了线性二次型最优控制的数学描述和性能指标，包括终端状态、过程状态和过程控制权重。然后讲解了有限时间线性二次型最优控制和无限时间线性二次型最优控制的区别。接着讲解了有限时间线性二次型最优调节和有限时间线性二次型最优跟踪的概念和要求。最后，视频介绍了有限时间线性二次型最优调节的设计步骤，包括确定权重矩阵、求解里卡蒂矩阵微分方程、计算反馈增益和最优控制、计算最优状态轨迹和最优性能指标
00:00 📚线性二次型最优控制概述：本章介绍了线性二次型最优控制的概念和应用。线性二次型最优控制是指在给定线性定常系统的情况下，寻找最优控制，使系统在指定时间区间内的状态以平衡状态的偏差最小，并以最小的能量快速到达平衡状态。性能指标由终端状态、过程状态和过程控制组成，通过s矩阵和q矩阵的权重来表征各部分的重要性。线性二次型最优控制可以分为有限时间问题和无限时间问题，以及调节问题和跟踪问题。
04:44 🔍最优控制的条件和求解方法：该章节讲解了线性二次型最优控制存在的充分必要条件。通过证明，得出了最优反馈控制的条件为状态反馈矩阵等于与控制相关的全矩阵的逆乘上输入矩阵的转置再乘上一个半正定对称矩阵。此外，还介绍了通过求解卡体矩阵微分方程和将解带入状态反馈矩阵表达式中即可得到最优控制的方法。最后，讲解了使用经典变分法来求解最优控制问题的基本思路以及构造哈密尔顿函数的方法。
09:26 📊状态反馈控制与终端性能指标的关系：该章节介绍了最优控制的形式，即状态反馈控制。通过推导，得出了状态反馈矩阵与终端性能指标、控制相关全矩阵的关系。同时，证明了状态反馈举证与里卡蒂矩阵微分方程的解之间的关系。最后，证明了当控制为状态反馈控制时，状态反馈举证等于性能指标中与控制相关的全举证r的逆乘上输入矩阵的转置再乘上一个p矩阵。
14:13 ?线性二次型最优控制的充分必要条件：本章节介绍了线性二次型最优控制的充分必要条件。通过构造一个函数表达式，包含给定的性能指标和状态反馈控制表达式，求导后整理得到四项。其中，第一项是性能指标中与状态向量相关的项，最后一项包含设定的状态反馈控制方程的左边。将这个等式整理后，得到性能指标等于与初始状态向量相关的一项加上一个以控制向量相关的二次型函数的积分。通过证明这个函数取得极小值的条件，得到线性二次型最优控制的充分必要条件。最后，总结出了有限时间线性二次型最优调节器的设计步骤。
讲述了无限时间下的线性二次型最优控制问题。通过构造里卡体矩阵代数方程，可以得到最优状态反馈控制和最优性能指标的解析表达式。无限时间下的线性二次型最优控制问题与有限时间下的问题类似，但性能指标转化为积分型。通过求解里卡体矩阵代数方程，可以得到最优状态反馈控制和最优性能指标。这个方法不需要求解微分方程，只需求解一个里卡体矩阵代数方程。
00:00 👨?🔬无限时间线性二次型最优控制：这个章节介绍了无限时间线性二次型最优调节问题的性能指标和存在条件。其中，q矩阵和r矩阵表示状态向量和控制向量对应的性能指标的权重大小，而p矩阵是里卡体矩阵代数方程的解。通过状态反馈矩阵的计算，可以实现最优控制。与有限时间的最优控制问题相比，无限时间的问题转化为了一个积分型性能指标。必要条件是状态反馈矩阵等于以控制相关的全矩阵的逆乘上输入矩阵的转置再乘上p矩阵。
04:19 🔗最优控制与状态反馈关系：本章介绍了最优控制的形式和状态反馈的形式之间的关系。通过推导，得出最优控制等于负的全矩阵a的逆乘上输入矩阵的转置乘上状态向量的变换p。证明了状态向量与斜状态向量之间的变换矩阵p满足米卡体矩阵代数方程的必要性。最后得出状态反馈控制等于性能指标中与控制相关的全矩阵的逆乘上输入矩阵的转置乘上状态向量与斜状态向量之间的变换正p。
08:37 🔍充分性证明：这个章节主要讲述了线性二型最优控制问题的充分性证明。证明思路是构造一个函数表达式，通过对这个函数表达式求导和积分，得到性能指标取得极小值的条件。具体的证明过程涉及到李卡体矩阵代数方程的解、状态向量和斜状态向量的变换等。最后指出，只有当与控制相关的向量为零时，性能指标才能取得极小值。
12:57 ?时间无限的最优控制方法：该视频讲解了时间无限的线性二次型最优控制问题的解决方法。通过求解里卡体矩阵代数方程，可以得到最优状态反馈控制的设计步骤：确定全举证、求解里卡体矩阵代数方程、计算反馈增益矩阵、计算最优状态轨迹和计算最优性能指标。通过一个二阶系统的例子，说明了如何构造最优状态反馈控制。对于时间无限的线性二次型最优状态反馈控制，只需要求解里卡体矩阵代数方程，就可以得到最优控制和最优性能指标。
介绍了动态规划法作为一种求解最优控制问题的方法。动态规划法将多段决策问题转化为一系列的单段决策问题来求解。通过逆向分级计算，可以确定每个节点至终点的最短时间，从而确定整体的最优路径。与传统的穷举法相比，动态规划法计算量大大减少，能够得到最优的路径。此外，动态规划法遵循最优性原理，即任何一集作为初始状态时，余下的决策仍然是最优的。
00:00 📚动态规划法介绍：本章介绍了求解最优控制的第三种方法——动态规划法。动态规划法将多段决策优化问题转化为一系列的单段决策问题来求解。通过一个求最短路径的例子，说明了传统方法需要综合考虑各个路段的路径，而动态规划法可以根据每段路径所花费的时间来确定最短时间路径。穷举法是一种最古老的传统方法，需要计算所有可能路径的时间并比较，得出最优路径。
03:05 🔌电力系统节点编号优化：本章节介绍了电力系统中节点编号优化问题。假设节点数为3000个，节点的排序方式种类有3000的阶乘。如果每种编号方式计算新能源个数只需1毫秒，计算所有编号方式的新能源需天文数字的年份。而解决最优节点编号问题的穷举法是不可能的。相比之下，动态规划法从终点开始逆推，计算各节点至终点的最短时间，确定最优路径。用动态规划法求解最短路径问题只需十次加法和六次比较。
06:17 💡多阶段决策问题求解：这个章节讲述了如何使用动态规划法来求解多阶段决策问题。通过将问题拆解为一系列单阶段决策问题，可以大大减少计算量。在决策过程中，任意节点都能确定到终点的最短路径。该方法适用于复杂的例子，并且最优路径上的任意一点都是以起点为起点计算最优路径所得到的最优路径上的一部分。动态规划法的特点包括计算量减少、将问题转化为多个单段决策问题以及遵循最优性原理。
介绍了动态规划法作为一种求解最优控制问题的方法。动态规划法将多段决策问题转化为一系列的单段决策问题来求解。通过逆向分级计算，可以确定每个节点至终点的最短时间，从而确定整体的最优路径。与传统的穷举法相比，动态规划法计算量大大减少，能够得到最优的路径。此外，动态规划法遵循最优性原理，即任何一集作为初始状态时，余下的决策仍然是最优的。
00:00 📚动态规划法介绍：本章介绍了求解最优控制的第三种方法——动态规划法。动态规划法将多段决策优化问题转化为一系列的单段决策问题来求解。通过一个求最短路径的例子，说明了传统方法需要综合考虑各个路段的路径，而动态规划法可以根据每段路径所花费的时间来确定最短时间路径。穷举法是一种最古老的传统方法，需要计算所有可能路径的时间并比较，得出最优路径。
03:05 🔌电力系统节点编号优化：本章节介绍了电力系统中节点编号优化问题。假设节点数为3000个，节点的排序方式种类有3000的阶乘。如果每种编号方式计算新能源个数只需1毫秒，计算所有编号方式的新能源需天文数字的年份。而解决最优节点编号问题的穷举法是不可能的。相比之下，动态规划法从终点开始逆推，计算各节点至终点的最短时间，确定最优路径。用动态规划法求解最短路径问题只需十次加法和六次比较。
06:17 💡多阶段决策问题求解：这个章节讲述了如何使用动态规划法来求解多阶段决策问题。通过将问题拆解为一系列单阶段决策问题，可以大大减少计算量。在决策过程中，任意节点都能确定到终点的最短路径。该方法适用于复杂的例子，并且最优路径上的任意一点都是以起点为起点计算最优路径所得到的最优路径上的一部分。动态规划法的特点包括计算量减少、将问题转化为多个单段决策问题以及遵循最优性原理。
介绍了动态规划法作为一种求解最优控制问题的方法。动态规划法将多段决策问题转化为一系列的单段决策问题来求解。通过逆向分级计算，可以确定每个节点至终点的最短时间，从而确定整体的最优路径。与传统的穷举法相比，动态规划法计算量大大减少，能够得到最优的路径。此外，动态规划法遵循最优性原理，即任何一集作为初始状态时，余下的决策仍然是最优的。
00:00 📚动态规划法介绍：本章介绍了求解最优控制的第三种方法——动态规划法。动态规划法将多段决策优化问题转化为一系列的单段决策问题来求解。通过一个求最短路径的例子，说明了传统方法需要综合考虑各个路段的路径，而动态规划法可以根据每段路径所花费的时间来确定最短时间路径。穷举法是一种最古老的传统方法，需要计算所有可能路径的时间并比较，得出最优路径。
03:05 🔌电力系统节点编号优化：本章节介绍了电力系统中节点编号优化问题。假设节点数为3000个，节点的排序方式种类有3000的阶乘。如果每种编号方式计算新能源个数只需1毫秒，计算所有编号方式的新能源需天文数字的年份。而解决最优节点编号问题的穷举法是不可能的。相比之下，动态规划法从终点开始逆推，计算各节点至终点的最短时间，确定最优路径。用动态规划法求解最短路径问题只需十次加法和六次比较。
06:17 💡多阶段决策问题求解：这个章节讲述了如何使用动态规划法来求解多阶段决策问题。通过将问题拆解为一系列单阶段决策问题，可以大大减少计算量。在决策过程中，任意节点都能确定到终点的最短路径。该方法适用于复杂的例子，并且最优路径上的任意一点都是以起点为起点计算最优路径所得到的最优路径上的一部分。动态规划法的特点包括计算量减少、将问题转化为多个单段决策问题以及遵循最优性原理。