TA百人计划学习笔记 1.2.3.1 P矩阵补充

发布时间：2024年01月09日
  • 源视频 图形学投影矩阵推导_哔哩哔哩_bilibili

    • 正交投影

    • 透视投影

  • 博客 https://www.cnblogs.com/bluebean/p/5276111.htm （步骤很清楚）
    • 视锥体

      • 如图，近截面与远截面之间构成的这个四棱台就是视锥体，而透视投影矩阵的任务就是把位于视锥体内的物体的顶点X,Y,Z坐标映射到[-1,1]范围。这就相当于把这个四棱台扭曲变形成一个立方体。这个立方体叫做规则观察体 (Canonical View Volume, CVV)。如下图：

    • 变换方法或规则：
      • 如下图，有一点P，位于视锥体内，设坐标为(x,y,z).分别对x,y坐标和z坐标的变换到[-1,1]的方式进行讨论：
        • 1.x,y坐标的变换方式：

          • ?
            • (1)连接视点eye与P点与近裁剪面交于P’点
            • (2)设近裁剪面的宽度为W，高度为H，P’点的x坐标范围是[-W/2,W/2],y坐标范围是[-H/2,H/2],然后分别线性映射至[-1,1]内即可。
        • 2.z坐标的变换方式
          • z坐标的范围是N至F，需要映射到[-1,1],映射方法暂时按下，不做想法。
    • 透视投影函数形式
      • void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar)
      • 透视投影矩阵构建函数的参数：
        • Fov:纵向的视角大小

          • ?
            • aspect:裁剪面的宽高比
            • zNear:近裁剪面离摄像机的距离，图中的n
            • zFar:远裁剪面离摄像机的距离，图中的f
      • 通过这几个参数和三角函数的数学知识可以求得近裁剪面的高度，参考上图：

        • 求得点P在近裁剪面的投影点P’的坐标
          • 1.根据相似三角形对应边长度的比率相同，由图可得

            • 其中

          • 2.x’,y’的范围沿原点对称，只要将他们分别除以W/2,H/2,即可以使范围位于[-1,1]内。前面已求得W,H，因此：

          • 3.假设

          • 4.我们最后需要的坐标点P’’即是

    • 推导矩阵
      • 然后为了自动化的得到这个结果，我们使用矩阵这种数学工具，将一个矩阵乘以一个向量，得到一个新的向量，使得我们所有的运算步骤和运算数据蕴藏在矩阵和乘法中。下面的工作就是寻找到一个矩阵使得：

      • 我们发现求解

      • 很难找出合适的m00、m02,因为左边x和z是以加法的形式相邻,右边z确成为了x的分母。
        • 解决方法：将右边的以四维列向量表示的坐标每一项乘以z,所以有：

          • 所以可以求得矩阵为

      • 最后求得投影矩阵为

      • 将这样的矩阵乘以视锥体内的一个顶点坐标，得到一个新的向量，再将这个向量的每个分量除以第四个分量(w)(这一步叫做透视除法，在gpu渲染管线中位于顶点着色器处理之后，由硬件自动完成, 之后就得到了规则立方观察体中的新的坐标。
      • 注意：z坐标的映射方式的获得，最后我们是为了方便矩阵乘法的操作反向求得了z坐标与cvv中的z坐标的映射方式：

        • ?
          • 可见两者的映射并不是线性的, 如下图所示;

            • 上图为 深度缓存中的深度值DepthValue和物体距离摄像机深度ZValue的关系图；DepthValue=(z''+1)/2，将深度值从范围(-1,1)转换到(0,1)。
    • 代码示例：

      • 代码
        • void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar)
        • {
        • const float zRange = zNear - zFar;
        • const float tanHalfFOV = tanf(ToRadian(FOV / 2.0f));
        • elements[0][0] = 1.0f / (tanHalfFOV * aspect);
        • elements[0][1] = 0.0f;
        • elements[0][2] = 0.0f;
        • elements[0][3] = 0.0;6
        • elements[1][0] = 0.0f;
        • elements[1][1] = 1.0f / tanHalfFOV;
        • elements[1][2] = 0.0f;
        • elements[1][3] = 0.0;7
        • elements[2][0] = 0.0f;
        • elements[2][1] = 0.0f;
        • elements[2][2] = (-zNear - zFar) / zRange;
        • elements[2][3] = 2.0f * zFar*zNear / zRange;8
        • elements[3][0] = 0.0f;
        • elements[3][1] = 0.0f;
        • elements[3][2] = 1.0f;
        • elements[3][3] = 0.0;9
        • }
文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_57856130/article/details/135457568
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