最小项与最大项

前文已经提及最小项、最小项之和式和最简与或式，本文从正式定义出发，帮助大家进一步理解和应用最小项、最大项和逻辑函数的两种标准形式。

1.最小项

在$n$变量逻辑函数中，由所有$n$个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的乘积项（与项）称为最小项。

用$m_i$表示最小项，序号$i$的值就是使$m_i$为1的变量取值组合对应的十进制数，范围为$0～2^n?1$。三变量函数的最小项如表1所示。

2.最大项

在$n$变量逻辑函数中，由所有$n$个变量以原变量或反变量的形式出现一次而组成的相加项（或项）称为最大项。

用$M_i$表示最大项，序号$i$的值就是使$M_i$为0的变量取值组合对应的十进制数，范围为$0～2^n?1$。三变量函数的最大项如表2所示。

3.最小项与最大项的性质

根据最小项和最大项的定义，可分别归纳出4条性质，把它们放在一起，便于对比记忆。为帮助理解，本文对每一个性质拟定了一个非正式标题（提纲），正式使用时不必引用。

①唯一性：在逻辑函数输入变量任何取值下必有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1；在逻辑函数输入变量任何取值下必有一个最大项，且仅有一个最大项的值为0。

这个性质也可以描述为：逻辑函数的任一个最小项，必有一个且只有一个取值组合，使该最小项的值为1；逻辑函数的任一个最大项，必有一个且只有一个取值组合，使该最大项的值为0。（这个取值组合对应的十进制数就是最小项或最大项的序号。）

②整体性：$n$变量全体最小项之和为1；$n$变量全体最大项之积为0。

③互异性：$n$变量任意两个最小项之积恒为0；$n$变量任意两个最大项之和恒为1。

解释：最小项是乘积项，有且仅有一个变量取值组合使其值为1，那么对确定的变量值，任意两个最小项之积必为0；同理，任意两个最大项之和必为1。

④相邻性：相邻两个最小项之和可以合并成一项，并取消一个因子；相邻两个最大项之积可以合并成一项，并取消一个因子。

此外，由最小项和最大项的定义以及摩根定理，可推出最小项和最大项的关系：

⑤二者的关系：同变量下同序号的最小项和最大项互反，即
$$m_i={\overline{M}}_i;M_i={\overline{m}}_i;m_i+M_i=1$$

4.逻辑函数的两种标准形式

⑴最小项之和式

把逻辑函数化成若干个最小项之和的形式，称为最小项之和式，又称为标准与或式。其基本原理，真值表一文已经分析过。

以表3所示真值表为例，可直接写出最小项之和式：
$$F=m_1+m_4+m_5+m_6+m_7$$
用$\Sigma m$型表示为
$$F=\Sigma m(1,4,5,6,7)$$
也可写成变量型，即
$$F=\overline{A}?\overline{B}C+A\overline{B}?\overline{C}+A\overline{B}C+AB\overline{C}+ABC$$

⑵最大项之积式

把逻辑函数化成若干个最大项之积的形式（或者说一个或与逻辑式中，所有的或项均为最大项），称为最大项之积式，又称为标准或与式。

还以表3为例，求最大项之积式。显然，函数值为0的三行代表该函数的三个有效最大项，即
$$F=M_0{M}_2{M}_3=\prod M(0,2,3)$$

用变量型表示为
$$F=(A+B+C)(A+\overline{B}+C)(A+\overline{B}+\overline{C})$$

⑶两种形式的关系

一个逻辑函数$F$既可以用最小项之和式表示，也可用最大项之积式表示，它们实际上是分别从正、反两个方面描述了该函数。

由表3的例子可知，同一函数的最小项之和式和最大项之积式的序号互为补集，即
$$F=\sum _i{m}_i=\prod _{k\ne i}{M}_k$$

所以，只要求出两种标准形式中一个，另一个可直接写出。这一关系既能从真值表看出，也可以进行一般意义上的推理。

设$F$为$n$变量函数，$ F=\sum_i{m_i}$，$i$是$F$所包含最小项的序号，$k$表示$n$变量其他所有最小项的序号，则根据最小项的性质
$$\sum _i{m}_i+\sum _{k\ne i}{m}_k=1$$

$$\because F+\overline{F}=1$$

$$\therefore \overline{F}=\sum _{k\ne i}{m}_k$$

由摩根定理及最小项与最大项的关系，对上述反函数再求反，得
$$F=\overline{\sum _{k\ne i}{m}_k}=\prod _{k\ne i}{\overline{m}}_k=\prod _{k\ne i}{M}_k$$

综合题★★★

题1 将下列函数分别表示成最小项之和和最大项之积的形式
$$F\left(A,B,C,D\right)=(\overline{A}+BC)(\overline{B}+\overline{C}D)$$

解析：先求最小项之和式
$$\begin{array}{rl}F\left(A,B,C,D\right)& =\overline{A}?\overline{B}+\overline{A}?\overline{C}D\\ & =\overline{A}?\overline{B}(\overline{C}?\overline{D}+\overline{C}D+C\overline{D}+CD)+\overline{A}B\overline{C}D\\ & =m_0+m_1+m_2+m_3+m_5\\ & =\Sigma m(0,1,2,3,5)\end{array}$$

故，最大项之积式为
$$F\left(A,B,C,D\right)=\prod M(4,6,7)$$

注：第一步求出与或表达式之后，也可通过列真值表或画卡诺图的方法求最小项和或最大项积（特别是变量比较多的情况下，比代数法更简洁）。

题2 已知逻辑函数
$$Y=F\left(A,B,C\right)=\overline{\overline{\overline{B}+C}+\overline{\overline{A}+B}+\overline{\overline{A}+C}}$$
求$Y$的最小项之和式、最简与或式和最简或与式。

解析：由原式易得反函数
$$\begin{array}{rl}\overline{Y}& =\overline{\overline{B}+C}+\overline{\overline{A}+B}+\overline{\overline{A}+C}\\ & =B\overline{C}+A\overline{B}+A\overline{C}\\ & =A\overline{B}+B\overline{C}\end{array}$$

则最简或与式为
$$Y=\overline{A\overline{B}+B\overline{C}}=(\overline{A}+B)(\overline{B}+C)$$

将上式展开，得最简与或式
$$Y=\overline{A}?\overline{B}+BC$$
进一步求最小项之和式（方法不唯一）
$$\begin{array}{rl}Y& =\overline{A}?\overline{B}(C+\overline{C})+(A+\overline{A})BC\\ & =\Sigma m(0,1,3,7)\end{array}$$