【从原理到应用，只需3分钟】期望值最大化 EM 算法：睹始知终

期望值最大化算法 EM：睹始知终

• • 算法思想
  • 算法推导
  • 算法流程
  • • E步骤：期望
    • M步骤：最大化
    • 陷入局部最优的原因
  • 算法应用
  • • 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）
    • • 问题描述
      • 输入输出
      • Python代码实现

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算法思想

期望值最大化方法，是宇宙演变、物种进化背后的动力。

如果一个公司在制定年终奖标准时，把每个员工一半的奖金和公司价值观挂钩，人们就会背诵创始人每个语录 — 整个公司都会自动迭代寻找最优解，每个人说话都是公司价值观。

如果一个国家足球不行，把每个孩子的高考分数和足球水平挂钩，人们就会大力投资足球设施，大爷大妈也会把广场让出去给孙子踢足球，谁跟我孙子抢我真的会发疯 — 整个国家都会自动迭代寻找最优解，每个人说话都是公司价值观。

这个思想在算法中就是期望最大化 EM 算法，只要给出一个收益函数， 计算机就会自动的寻找收益最大的那个点。

• 在每一时刻，算出能够最大化收益（期望值）的方向，沿着这个方向走一小步
• 然后再从新的起点重复这个过程，不论从何处起始，最后一定能够达到收益最大的那个终点

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EM 算法本质是迭代策略，用于含有隐变量的统计模型中，交替计算期望步骤和最大化步骤，来寻找参数的最优估计。

比如看故事书，但故事中有一些缺失的部分（这些就是隐变量）。

你的目标是填补这些缺失部分，使得整个故事变得连贯和合理。

EM 算法就像一个两步循环过程，帮助你逐渐完善这个故事：

• 期望步骤 (E 步骤)： 在这一步，你根据目前所知的信息，对故事中缺失的部分做出最佳猜测。就好比你根据故事的上下文来推测这些缺失部分可能的内容。

• 最大化步骤 (M 步骤)： 接下来，你根据这些猜测来重新讲述整个故事，并调整故事中其他已知部分的细节，使得整体故事更加合理。这个过程就像根据新的假设来优化故事的连贯性。（M步骤可以使用 MLE 或 MAP）。

这个循环反复进行：你根据当前的故事版本来改善你对缺失部分的猜测，然后再用这些新猜测来优化整个故事。

随着每次迭代，故事变得越来越连贯，直到最终达到一个点，你觉得再怎么调整也无法使故事更好了。

这时，你就找到了最合适的版本来填补缺失部分，你找到了模型参数的最优估计。

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再如 市场营销策略：

• 公司在设计营销策略时，通常会试图理解消费者的隐藏需求和偏好（隐藏变量），并据此调整其产品或服务（参数）。

• 通过市场反馈，公司不断调整其策略以最大化销售或品牌影响力，这类似于EM算法的期望步骤和最大化步骤的迭代过程。

算法推导

EM 算法论文：https://web.mit.edu/6.435/www/Dempster77.pdf

概率图模型再复杂都可以简化成俩个变量：观测变量x、隐变量z

比如你正在看一部电影：

• 电影中你能直接看到的场景和角色对话等就像是“观测变量”，这些是你直接获得的信息，不需要猜测或推理。
• 然而，电影也有许多你看不到的部分，比如角色的内心想法、未展示的背景故事，或者导演留下的悬念。这些就像是“隐变量”，你无法直接观察它们，但它们对整个故事的剧情发展（趋势就是人心所向）至关重要。

$\begin{array}{rl}& p(\mathbf{x}|\theta )\begin{array}{r}=\prod _{i=1}^{n}p(x_i|\theta )\end{array}\\ & L(\theta )=\log p(\mathbf{x}|\theta )\\ & =\sum _{i=1}^n\log p(x_i|\theta )\\ & =\sum _{i=1}^n\log \sum _{z}p(x_i,z_i|\theta )\end{array}$

那我们逐步拆解公式原意：

1. 联合概率分布：

   • 第一行公式表示，观测数据集 x 在给定参数 θ 的条件下的联合概率分布
   • 比如你有 3 张卡片，每张卡片上都有一个秘密数字，这个数字可以是 1、2、3 中的任何一个，我们现在要猜每张卡片上的数字是什么。每张卡片上数字的猜测都是独立的，不会影响其他卡片上的猜测。
   • 在数学中，这就是我们说的“联合概率分布”，即我们想知道，所有卡片上每一种可能的数字组合出现的整体概率是多少。
   • 如所有卡片上都是1的概率是多少（111）、如所有卡片上是123的概率是多少（123）、（222）、（321）、…、（333） 所有可能的数字组合及其相应的概率。

2. 对数似然函数：

   • 第二行公式，为了不忘记我们的猜测，我们决定把每次猜的结果写在一个日记本上。因为数字可能很大，所以我们用一种特别的数学“捷径”来记日记，这种捷径就是对数。这样，即使我们猜的数字很大，日记本上的数字也不会太长，更容易计算。
   • 在数学中，写在日记本上的这种方法叫做“对数似然函数”，一个帮助我们处理大数字的数学工具。

3. 对数似然的求和：

   • 第三行公式，现在我们决定把日记本上所有的数字加起来，因为我们用了对数，所以加起来很容易。这就像是玩一个加法游戏，把所有的小数字加起来，得到一个总分。

4. 边缘概率：

   • 第四行公式，第1张是1、第2张是2，第 3 张卡片藏在盒子里（只有第 3 张未知），我们只知道盒子里可能藏着什么数字（1、2、3）。那先专注于部分已知信息，而忽略未知部分的具体细节，猜对所有看得见的卡片的概率是多少。
   • 就是计算 第1张是1、第2张是2 的概率，忽略第三张卡片可能的值。
   • 这就是数学中的“边缘概率” —— 它允许我们在部分信息未知的情况下，仍对已知部分进行概率计算。

在概率分布上，就是先猜一个 z 的分布（记为 q），使用 E、M 步骤，去逼近真实分布 $L(\theta )$：

最后让猜的分布像爬楼梯一样，找到真实分布 $L(\theta )$ 的最高点（最优解）。

用数学公式描述这个过程：

$\begin{array}{rl}L(\theta )& \begin{array}{rl}=& \sum _{i=1}^n\log \sum _{z}p(x_i,z_i|\theta )\end{array}\\ & \begin{array}{rl}=& \sum _{i=1}^n\log \sum _z^{\infty }{q}_i(z)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z)}\end{array}\\ & \ge \sum _{i=1}^n\sum _z{q}_i(z)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z)}\end{array}$

1. 第一行：$L(\theta )={\sum }_{i=1}^n\log {\sum }_{z}p(x_i,z_i|\theta )$

   • 比如你正在玩一个寻宝游戏，你有一张地图（$\theta$），地图上标记了很多可能藏宝的地方（这里的藏宝地方就是 $x_i$ 和 $z_i$）。
   • $x_i$ 是你可以看到的地方，而 $z_i$ 是地图上标记的，但实际上可能藏宝也可能没藏宝的秘密地方。这一行的意思是，你在尝试弄清楚，根据地图，每个地方藏宝的可能性有多大。

2. 第二行：$={\sum }_{i=1}^n\log {\sum }_z^{\infty }{q}_i(z)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z)}$

   • 这一步就像你在用一种特别的放大镜 $q_i(z)$ 来看地图（$\theta$）。
   • 这个放大镜可以告诉你，每个秘密地方真的藏宝的机会有多大。
   • 你用这个放大镜和地图一起，来计算每个地方可能藏宝的几率。

3. 第三行：$\ge {\sum }_{i=1}^n{\sum }_z{q}_i(z)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z)}$

   • 最后，这一步就像你在记录你的发现。
   • 对于地图上的每一个地方，你都写下了：根据我的放大镜和地图，我认为这里藏宝的机会有多大。”
   • 这样，你就得到了一个完整的藏宝地图，上面标记了所有可能藏宝的地方和它们的可能性。

然后根据 Jeasen 不等式，得到公式的下界。

最终的公式是：$J(z,q)$。

• 不断的改变 z，就能不断搜索 $\theta$ 最大值（概率分布图中的最高点）

于是，EM 算法可分为 E 步骤、M 步骤。

算法流程

E步骤：期望

E 步骤：猜的分布 q 不变，最大化 z。

在图中，q 沿着 x 轴上升，碰到真实分布z 就停止，开始 M 步骤。

M步骤：最大化

M 步骤：猜的分布 q 寻优，z 不变。

在图中，q 沿着 y 轴水平移动，碰不到真实分布z 就停止，开始 E 步骤。

陷入局部最优的原因

EM 算法可能会陷入局部最优。

1. 非凸目标函数：EM算法通常用于优化非凸（non-convex）的目标函数。在非凸函数中，可能存在多个局部最优解，这意味着算法可能会在达到一个局部最优点后停止，而这个点不一定是全局最优的。

2. 初始值依赖性：EM算法的结果往往依赖于初始参数的选择。如果初始参数选得不好，算法可能会被引导到一个局部最优解而不是全局最优解。

3. 迭代方式：EM算法通过交替执行其两个步骤（E步和M步）来逐渐改进参数估计。这种迭代方式可能会导致算法“陷入”某个局部区域的最优解，特别是在目标函数有多个峰值的情况下。

4. 模型复杂性和数据的局限性：在一些复杂模型或者数据不足的情况下，EM算法可能无法准确估计出全局最优参数，从而陷入局部最优。

解决这些问题的一种方法是通过多次运行算法，每次使用不同的初始参数，然后从中选择最好的结果。

此外，还可以使用全局优化技术，如模拟退火或遗传算法，来辅助找到更接近全局最优的解。

算法应用

高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）

问题描述

假设我们有一组观测数据点，我们认为这些数据点是由两个不同的高斯分布生成的，但我们不知道每个数据点来自哪个高斯分布。

我们的目标是估计这两个高斯分布的参数（均值和方差）以及每个分布对应的混合系数。

输入输出

• 输入：一组观测数据点。
• 输出：两个高斯分布的参数（均值和方差）和混合系数。

Python代码实现

import numpy as np
from sklearn.mixture import GaussianMixture

# 模拟数据生成
np.random.seed(0)
data = np.concatenate([np.random.normal(0, 1, 300), np.random.normal(5, 1.5, 700)]).reshape(-1, 1)

# 应用EM算法
gmm = GaussianMixture(n_components=2, random_state=0)
gmm.fit(data)

# 输出结果
print(f'均值: {gmm.means_.ravel()}')
print(f'方差: {gmm.covariances_.ravel()}')
print(f'混合系数: {gmm.weights_.ravel()}')

这段代码首先生成了一些模拟数据，数据是由两个不同的高斯分布合成的。

然后使用sklearn库中的GaussianMixture模型来应用EM算法。最后，打印出两个高斯分布的均值、方差以及混合系数。