【算法】力扣【动态规划，LCS】1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

文章目录

• 【算法】力扣【动态规划，LCS】1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数
• • 题目描述
  • 解题思路
  • 解题代码
  • 复杂度分析
  • 总结

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【算法】力扣【动态规划，LCS】1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

题目描述

本文探讨的是力扣（LeetCode）上的第1312题：让字符串成为回文串的最少插入次数。这是一道属于动态规划类别下的困难题目，通常以回文串相关的操作来衡量算法的优化和执行效率。

问题的核心是给定一个字符串s，你可以在任意位置插入任意字符，要求通过最小次数的操作将原字符串转变为回文串。回文串定义为正序与倒序读起来都相同的字符串。

例如：

• 示例 1：
  输入：s = “zzazz”
  输出：0
  **解释：**字符串 “zzazz” 已经是回文串了，因此无需任何插入操作。

• 示例 2：
  输入：s = “mbadm”
  输出：2
  **解释：**字符串可以通过插入字符变为 “mbdadbm” 或 “mdbabdm”，使其成为回文串。

• 示例 3：
  输入：s = “leetcode”
  输出：5
  **解释：**经过插入5个字符后，字符串可以变为 “leetcodocteel”，成为回文串。

提示：

• 1 <= s.length <= 500
• s中所有字符都是小写字母。

解题思路

解决这一问题的关键在于理解回文串的结构特性与最长公共子序列（LCS）之间的联系。对于任意一个字符串，其变换成为回文串所需的最少插入次数可以表示为：

$$\text{最少插入次数}=\text{len}(s)?\text{LPS}(s)$$

其中$\text{len}(s)$是字符串$s$的长度，$\text{LPS}(s)$是$s$的最长回文子序列的长度。

因此，我们的目标转化为寻找给定字符串的最长回文子序列。这可以通过对字符串进行逆序，然后寻找原字符串与逆序字符串的最长公共子序列来实现。如果我们记逆序字符串为$s^{\prime }$，则最长公共子序列可表示为：

$$\text{LCS}(s,s^{\prime })$$

对于字符串$s$的每个可能的子问题，我们定义状态$dp[i][j]$表示字符串$s$的前$i$个字符与其逆序字符串的前$j$个字符的最长公共子序列的长度。我们通过动态规划的方法，自底向上地计算这些状态值，状态转移方程为：

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i?1][j?1]+1& \text{if?}s[i]=s^{\prime }[j]\\ \max (dp[i?1][j],dp[i][j?1])& \text{else}\end{array}$$

具体地，我们初始化一个二维数组$dp$，其中$dp[i][j]$代表$s$的前$i$个字符与$s^{\prime }$的前$j$个字符的最长公共子序列的长度。我们将此数组全部初始化为0，然后迭代填表，最终$dp[\text{len}][\text{len}]$（$\text{len}$为$s$的长度）将给出我们所需的最长回文子序列的长度。最后，字符串$s$的长度减去这一值即为答案：

$$\text{最少插入次数}=\text{len}(s)?dp[\text{len}][\text{len}]$$

解题代码

class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        size_t len = s.size();
        int dp[len + 1][len + 1];

        // 初始化dp数组
        for (int i = 0; i <= len; ++i) {
            for (int j = 0; j <= len; ++j) {
                dp[i][j] = 0;
            }
        }

        // 动态规划填表
        for (int i = 1; i <= len; ++i) {
            for (int j = 1; j <= len; ++j) {
                // 逆序字符串与原字符串比较
                if (s[i - 1] == s[len - j]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        // 最终结果为原字符串长度减去最长回文子序列的长度
        return len - dp[len][len];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中$n$是字符串s的长度。我们需要填充一个$n\times n$的二维数组。
• 空间复杂度：$O(n^2)$，用于存储动态规划表的空间。

总结

本文介绍了如何通过动态规划的方式来解决将字符串转变为回文串的最少插入次数问题。关键在于理解并找出最长回文子序列，其长度与原字符串长度之差即为所求。这种算法不仅展示了动态规划解决问题的强大之处，同时也提供了对回文串性质的深入理解。在实际应用中，这类算法也常用于文本处理和生物信息学等领域。