代码随想录算法训练营第30天 | 332.重新安排行程 51. N皇后 37. 解数独 总结

目录

332.重新安排行程?

💡解题思路

💻实现代码

51. N皇后?

💡解题思路

💻实现代码

37. 解数独?

💡解题思路

# 回溯三部曲

#判断棋盘是否合法

💻实现代码

总结

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332.重新安排行程?

题目链接： 332.重新安排行程

给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。

提示：

• 如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 ["JFK", "LGA"] 与 ["JFK", "LGB"] 相比就更小，排序更靠前
• 所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
• 假定所有机票至少存在一种合理的行程。
• 所有的机票必须都用一次 且 只能用一次。

示例 1：

• 输入：[["MUC", "LHR"], ["JFK", "MUC"], ["SFO", "SJC"], ["LHR", "SFO"]]
• 输出：["JFK", "MUC", "LHR", "SFO", "SJC"]

示例 2：

• 输入：[["JFK","SFO"],["JFK","ATL"],["SFO","ATL"],["ATL","JFK"],["ATL","SFO"]]
• 输出：["JFK","ATL","JFK","SFO","ATL","SFO"]
• 解释：另一种有效的行程是?["JFK","SFO","ATL","JFK","ATL","SFO"]。但是它自然排序更大更靠后。

💡解题思路

本题以输入：[["JFK", "KUL"], ["JFK", "NRT"], ["NRT", "JFK"]为例，抽象为树形结构如下：

💻实现代码

Collections.sort()是Java中的一个方法，用于对集合中的元素进行排序。这个方法接受两个参数：第一个是要排序的集合，第二个是一个比较器（Comparator）。

在这个例子中，比较器是一个Lambda表达式，它接受两个参数a和b，这两个参数都是tickets集合中的元素。这个比较器的作用是比较a和b的第二个元素（即a.get(1)和b.get(1)），并返回它们的比较结果。

compareTo()是Java中的一个方法，用于比较两个字符串的大小。如果a.get(1)小于b.get(1)，则返回负数；如果a.get(1)等于b.get(1)，则返回0；如果a.get(1)大于b.get(1)，则返回正数。

所以，这段代码的意思是：对tickets集合中的元素按照它们的第二个元素进行升序排序。

Collections.sort(tickets, (a,b)->a.get(1).compareTo(b.get(1)));

class Solution {
    private LinkedList<String> res;
    private LinkedList<String> path = new LinkedList<>();

    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
        Collections.sort(tickets, (a, b) -> a.get(1).compareTo(b.get(1)));
        path.add("JFK");
        boolean[] used = new boolean[tickets.size()];
        backTracking((ArrayList) tickets, used);
        return res;
    }

    public boolean backTracking(ArrayList<List<String>> tickets, boolean[] used) {
        if (path.size() == tickets.size() + 1) {
            res = new LinkedList(path);
            return true;
        }

        for (int i = 0; i < tickets.size(); i++) {
            if (!used[i] && tickets.get(i).get(0).equals(path.getLast())) {
                path.add(tickets.get(i).get(1));
                used[i] = true;

                if (backTracking(tickets, used)) {
                    return true;
                }

                used[i] = false;
                path.removeLast();
            }
        }
        return false;
    }
}

class Solution {
    private Deque<String> res;
    private Map<String, Map<String, Integer>> map;

    private boolean backTracking(int ticketNum){
        if(res.size() == ticketNum + 1){
            return true;
        }
        String last = res.getLast();
        if(map.containsKey(last)){//防止出现null
            for(Map.Entry<String, Integer> target : map.get(last).entrySet()){
                int count = target.getValue();
                if(count > 0){
                    res.add(target.getKey());
                    target.setValue(count - 1);
                    if(backTracking(ticketNum)) return true;
                    res.removeLast();
                    target.setValue(count);
                }
            }
        }
        return false;
    }

    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
        map = new HashMap<String, Map<String, Integer>>();
        res = new LinkedList<>();
        for(List<String> t : tickets){
            Map<String, Integer> temp;
            if(map.containsKey(t.get(0))){
                temp = map.get(t.get(0));
                temp.put(t.get(1), temp.getOrDefault(t.get(1), 0) + 1);
            }else{
                temp = new TreeMap<>();//升序Map
                temp.put(t.get(1), 1);
            }
            map.put(t.get(0), temp);

        }
        res.add("JFK");
        backTracking(tickets.size());
        return new ArrayList<>(res);
    }
}

/*  该方法是对第二个方法的改进，主要变化在于将某点的所有终点变更为链表的形式，优点在于
        1.添加终点时直接在对应位置添加节点，避免了TreeMap增元素时的频繁调整
        2.同时每次对终点进行增加删除查找时直接通过下标操作，避免hashMap反复计算hash*/
class Solution {
    //key为起点，value是有序的终点的列表
    Map<String, LinkedList<String>> ticketMap = new HashMap<>();
    LinkedList<String> result = new LinkedList<>();
    int total;

    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
        total = tickets.size() + 1;
        //遍历tickets，存入ticketMap中
        for (List<String> ticket : tickets) {
            addNew(ticket.get(0), ticket.get(1));
        }
        deal("JFK");
        return result;
    }

    boolean deal(String currentLocation) {
        result.add(currentLocation);
        //机票全部用完，找到最小字符路径
        if (result.size() == total) {
            return true;
        }
        //当前位置的终点列表
        LinkedList<String> targetLocations = ticketMap.get(currentLocation);
        //没有从当前位置出发的机票了，说明这条路走不通
        if (targetLocations != null && !targetLocations.isEmpty()) {
            //终点列表中遍历到的终点
            String targetLocation;
            //遍历从当前位置出发的机票
            for (int i = 0; i < targetLocations.size(); i++) {
                targetLocation = targetLocations.get(i);
                //删除终点列表中当前的终点
                targetLocations.remove(i);
                //递归
                if (deal(targetLocation)) {
                    return true;
                }
                //路线走不通，将机票重新加回去
                targetLocations.add(i, targetLocation);
                result.removeLast();
            }
        }
        return false;
    }

    /**
     * 在map中按照字典顺序添加新元素
     *
     * @param start 起点
     * @param end   终点
     */
    void addNew(String start, String end) {
        LinkedList<String> startAllEnd = ticketMap.getOrDefault(start, new LinkedList<>());
        if (!startAllEnd.isEmpty()) {
            for (int i = 0; i < startAllEnd.size(); i++) {
                if (end.compareTo(startAllEnd.get(i)) < 0) {
                    startAllEnd.add(i, end);
                    return;
                }
            }
            startAllEnd.add(startAllEnd.size(), end);
        } else {
            startAllEnd.add(end);
            ticketMap.put(start, startAllEnd);
        }
    }
}

51. N皇后?

题目链接：51. N皇后

n?皇后问题 研究的是如何将 n?个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的?n?皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的?n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

• 输入：n = 4
• 输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
• 解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

• 输入：n = 1
• 输出：[["Q"]]

💡解题思路

皇后们的约束条件：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面我用一个 3 * 3 的棋盘，将搜索过程抽象为一棵树，如图：

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这棵树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

• 递归函数参数

我依然是定义全局变量二维数组result来记录最终结果。

参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。

代码如下：

vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {

• 递归终止条件

在如下树形结构中：

可以看出，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。

代码如下：

if (row == n) {
    result.push_back(chessboard);
    return;
}

• 单层搜索的逻辑

递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。

每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。

代码如下：

for (int col = 0; col < n; col++) {
    if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
        chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
        backtracking(n, row + 1, chessboard);
        chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
    }
}

• 验证棋盘是否合法

按照如下标准去重：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线 （45度和135度角）

代码如下：

bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {
    // 检查列
    for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][col] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 45度角是否有皇后
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    // 检查 135度角是否有皇后
    for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

💻实现代码

String.copyValueOf(c) 是Java中的一个方法，用于将字符数组转换为字符串。它接受一个字符数组作为参数，并返回一个新的字符串对象，该对象包含与输入数组相同的字符序列。

class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        char[][] chessboard = new char[n][n];
        for (char[] c : chessboard) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backTrack(n, 0, chessboard);
        return res;
    }


    public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
        if (row == n) {
            res.add(Array2List(chessboard));
            return;
        }

        for (int col = 0;col < n; ++col) {
            if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
                chessboard[row][col] = 'Q';
                backTrack(n, row+1, chessboard);
                chessboard[row][col] = '.';
            }
        }

    }


    public List Array2List(char[][] chessboard) {
        List<String> list = new ArrayList<>();

        for (char[] c : chessboard) {
            list.add(String.copyValueOf(c));
        }
        return list;
    }


    public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
        // 检查列
        for (int i=0; i<row; ++i) { // 相当于剪枝
            if (chessboard[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查45度对角线
        for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查135度对角线
        for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

// 方法2：使用boolean数组表示已经占用的直(斜)线
class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();
    boolean[] usedCol, usedDiag45, usedDiag135;    // boolean数组中的每个元素代表一条直(斜)线
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        usedCol = new boolean[n];                  // 列方向的直线条数为 n
        usedDiag45 = new boolean[2 * n - 1];       // 45°方向的斜线条数为 2 * n - 1
        usedDiag135 = new boolean[2 * n - 1];      // 135°方向的斜线条数为 2 * n - 1
		//用于收集结果, 元素的index表示棋盘的row，元素的value代表棋盘的column
        int[] board = new int[n];
        backTracking(board, n, 0);
        return res;
    }
    private void backTracking(int[] board, int n, int row) {
        if (row == n) {
            //收集结果
            List<String> temp = new ArrayList<>();
            for (int i : board) {
                char[] str = new char[n];
                Arrays.fill(str, '.');
                str[i] = 'Q';
                temp.add(new String(str));
            }
            res.add(temp);
            return;
        }

        for (int col = 0; col < n; col++) {
            if (usedCol[col] | usedDiag45[row + col] | usedDiag135[row - col + n - 1]) {
                continue;
            }
            board[row] = col;
			// 标记该列出现过
            usedCol[col] = true;
			// 同一45°斜线上元素的row + col为定值, 且各不相同
            usedDiag45[row + col] = true;
			// 同一135°斜线上元素row - col为定值, 且各不相同
			// row - col 值有正有负, 加 n - 1 是为了对齐零点
            usedDiag135[row - col + n - 1] = true;
            // 递归
            backTracking(board, n, row + 1);
            usedCol[col] = false;
            usedDiag45[row + col] = false;
            usedDiag135[row - col + n - 1] = false;
        }
    }
}

37. 解数独?

题目链接：37. 解数独

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

一个数独的解法需遵循如下规则： 数字 1-9 在每一行只能出现一次。 数字 1-9 在每一列只能出现一次。 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。 空白格用 '.' 表示。

一个数独。

答案被标成红色。

提示：

• 给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 '.' 。
• 你可以假设给定的数独只有唯一解。
• 给定数独永远是 9x9 形式的。

💡解题思路

本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：

# 回溯三部曲

• 递归函数以及参数

递归函数的返回值需要是bool类型，为什么呢？

因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。

代码如下：

bool backtracking(vector<vector<char>>& board)

• 递归终止条件

本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。

不用终止条件会不会死循环？

递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！

那么有没有永远填不满的情况呢？

这个问题我在递归单层搜索逻辑里再来讲！

• 递归单层搜索逻辑

在树形图中可以看出我们需要的是一个二维的递归（也就是两个for循环嵌套着递归）

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

代码如下：（详细看注释）

bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {
    for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行
        for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列
            if (board[i][j] != '.') continue;
            for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适
                if (isValid(i, j, k, board)) {
                    board[i][j] = k;                // 放置k
                    if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回
                    board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k
                }
            }
            return false;                           // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
        }
    }
    return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}

注意这里return false的地方，这里放return false 是有讲究的。

因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！

那么会直接返回， 这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！

#判断棋盘是否合法

判断棋盘是否合法有如下三个维度：

• 同行是否重复
• 同列是否重复
• 9宫格里是否重复

代码如下：

bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {
    for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复
        if (board[row][i] == val) {
            return false;
        }
    }
    for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复
        if (board[j][col] == val) {
            return false;
        }
    }
    int startRow = (row / 3) * 3;
    int startCol = (col / 3) * 3;
    for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复
        for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {
            if (board[i][j] == val ) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

💻实现代码

class Solution {
    public void solveSudoku(char[][] board) {
        solveSudokuHelper(board);
    }

    private boolean solveSudokuHelper(char[][] board){
        //「一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，
        // 一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！」
        for (int i = 0; i < 9; i++){ // 遍历行
            for (int j = 0; j < 9; j++){ // 遍历列
                if (board[i][j] != '.'){ // 跳过原始数字
                    continue;
                }
                for (char k = '1'; k <= '9'; k++){ // (i, j) 这个位置放k是否合适
                    if (isValidSudoku(i, j, k, board)){
                        board[i][j] = k;
                        if (solveSudokuHelper(board)){ // 如果找到合适一组立刻返回
                            return true;
                        }
                        board[i][j] = '.';
                    }
                }
                // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false
                return false;
                // 因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！
                // 那么会直接返回， 「这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！」
            }
        }
        // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
        return true;
    }

    /**
     * 判断棋盘是否合法有如下三个维度:
     *     同行是否重复
     *     同列是否重复
     *     9宫格里是否重复
     */
    private boolean isValidSudoku(int row, int col, char val, char[][] board){
        // 同行是否重复
        for (int i = 0; i < 9; i++){
            if (board[row][i] == val){
                return false;
            }
        }
        // 同列是否重复
        for (int j = 0; j < 9; j++){
            if (board[j][col] == val){
                return false;
            }
        }
        // 9宫格里是否重复
        int startRow = (row / 3) * 3;
        int startCol = (col / 3) * 3;
        for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++){
            for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++){
                if (board[i][j] == val){
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
}

总结

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