椭球面系列---射线与椭球面的交点

射线与椭球体的交点问题的求解是一个非常常见和经典的问题，本文给出具体的计算原理和矩阵表达的过程，便于编程计算。

见下图，已知射线(点为${\text{p}}_0$，单位方向为$\text{d}$)，那么与椭球面的交点$\text{p}$) 的笛卡尔坐标。

在继续计算前，记住之前我们的假设：椭球面和直线等坐标都是在椭球为中心的笛卡尔坐标系下。

有关椭圆的基础性质，请参考：椭球面系列—基本性质！！

首先，射线上任意一点$\text{p}$与${\text{p}}_0$的距离为$t$，则$\text{p}$可表示为：
$$\begin{array}{c}\text{p}={\text{p}}_0+t\text{d}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

$\text{p}$在椭球面上，则需满足椭球面方程：
$${\text{p}}^T\text{C}\text{p}=1$$

则有：
$$({\text{p}}_0+t\text{d}{)}^T\text{C}({\text{p}}_0+t\text{d})=1$$
化简可得:
$$({\text{d}}^T\text{C}\text{d})t^2+2({\text{p}}_0^T\text{C}\text{d})t+{\text{p}}_0^T\text{C}{\text{p}}_0?1=0?$$
上式为典型的关于$t$的一元二次方程：
$$a{t}^2+bt+c=0$$
其中:
$$?\begin{array}{l}a={\text{d}}^T\text{C}\text{d}\\ b=2{\text{p}}_0^T\text{C}\text{d}\\ c={\text{p}}_0^T\text{C}{\text{p}}_0?1\end{array}$$
最终得到距离$t$的解（最多2个解）：
$$t=\frac{?b\pm \sqrt{b^2?4ac}}{2a}$$

显然：

1. $b^2?4ac>0$时，表示射线与椭球面有两个交点。

2. $b^2?4ac=0$时，表示射线与椭球面相切。

3. $b^2?4ac<0$时，表示射线与椭球面不相交。

当$t$求得后，带入式(1)即可得到$\text{p}$点的坐标。