数据库系统（六）数据库范式 | 函数依赖，一二三范式，BCNF，属性集闭包和正则覆盖

1 好的关系设计的特征

好的设计

? 要避免冗余

? 要避免更新、删除或者插入异常

那么为了在设计中进行好的设计

就应该合理的分解表格

但是有些时候分解会造成一些不好的影响——会产生有损分解或者无损分解

所什么是无损分解，什么是有损分解？

判断方式一

对于关系R，分解为R1和R2

讲两个分解后的表R1，R2做自然连接，如连接后和原来表R相等，则是无损分解。

如果自然连接后产生了原理表R没有的元组，则为有损分解

判断方式二

对于关系R，分解为R1和R2

如果R1和R2的交集是R1或者R2其中之一的超键则为无损分解，否则为有损分解

2 函数依赖关系

函数依赖 Functional Dependencies，就是初中高中学习的判断一个对应关系是否为函数

很简单，就是一个x对应唯一一个y

需要先着重理解两个概念

平凡函数依赖 Trivial Functional Dependencies

如果x->y，即y是x的函数，同时y又是x的子集，那么就说x到y是平凡函数依赖

平凡的含义就是显而易见的，为什么叫显而易见呢？子集我们可以理解为信息的一部分，信息相对原来变少了，那么因为知道更多的信息肯定可以推出更少的信息的，所以这个x-》y的函数依赖关系是显而存在的

举这样一个例子

（学生ID，姓名）->（姓名）

其中x是（学生ID，姓名），y是（姓名）

那么如果知道了学生ID，姓名，肯定可以得到唯一的姓名

非平凡函数依赖

而如果y不是x的子集，那么就不那么明显了，所以是非平凡函数依赖

再理解两个概念，部分函数依赖和完全函数依赖

理解部分函数依赖和完全函数依赖

部分函数依赖（Partial Functional Dependency）（候选码）： 部分函数依赖是指在关系中，

比如x->y的函数依赖，y只依赖x的一部分，那么则是部分函数依赖，x还可以再拆分

举个例子，假设有一个包含以下属性的关系表：

• 学生ID（StudentID）
• 课程号（CourseID）
• 学生姓名（StudentName）

（学生ID，课程号）是可以推出学生姓名的

而只有学生ID也可以推出决定学生姓名，所以可以继续拆分，为部分函数依赖，换句话说x的子集也能推出决定右边

完全函数依赖（Full Functional Dependency）（超码）：完全函数依赖是指在关系中，

比如x->y的函数依赖，y依赖x的全部，那么则是全部函数依赖，x不可以再拆分

换句话说x的子集不能推出决定右边

包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性（Prime attribute）
不包含在任何候选码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）

总结来看：我们更期望非平凡函数依赖和完全函数依赖

函数依赖的闭包 Closure of Functional Dependencies

函数依赖闭包表示为$F^{+}$

函数依赖的闭包是一个属性集合，它包含了一个给定的属性集合关于另一个属性集合的所有可能依赖，所有的可能的函数关系

如何求函数依赖的闭包

利用

Armstrong’s Axioms 阿姆斯特朗公理

阿姆斯特公理有三条

1. 自反率（Reflexivity Axiom）： 如果X是一个属性集合，那么X的任何子集都可以推出X，表示为X → X。这意味着一个属性集合的所有子集都具有相同的函数依赖。
2. 扩展律（Augmentation Axiom）： 如果X → Y，并且Z是一个属性集合，那么XZ → YZ。这个公理表示如果一个属性集合X决定另一个属性集合Y，那么在X的基础上添加属性Z也会决定Y。
3. 传递律（Transitivity Axiom）： 如果X → Y和Y → Z，那么X → Z。这个公理表示如果一个属性集合X决定另一个属性集合Y，同时Y又决定另一个属性集合Z，那么X也会决定Z。

另外的

1. Union Rule（并集规则）： Union Rule 允许我们将两个函数依赖合并成一个更大的函数依赖。规则表述如下：

   如果 X → Y1 和 X → Y2，那么 X → (Y1 ∪ Y2)。

   这意味着如果属性集合 X 决定属性集合 Y1，同时 X 也决定属性集合 Y2，那么 X 也决定属性集合 (Y1 ∪ Y2)，也就是 Y1 和 Y2 的并集。

2. Splitting Rule（拆分规则）： Splitting Rule 允许我们拆分函数依赖，将一个函数依赖分成两个更小的函数依赖。规则表述如下：

   如果 X → (Y1 ∪ Y2)，那么 X → Y1 和 X → Y2。

   这意味着如果属性集合 X 决定属性集合 (Y1 ∪ Y2)，那么 X 也分别决定属性集合 Y1 和属性集合 Y2。这可以用于将一个大的函数依赖分解成多个小的函数依赖。

3. Pseudotransitivity Rule（伪传递规则）： Pseudotransitivity Rule 允许我们在两个已知的函数依赖关系之间推导出一个新的函数依赖。规则表述如下：

   如果 X → Y1 和 Y1Z → Y2，那么 XZ → Y2。

   这意味着如果属性集合 X 决定属性集合 Y1，同时 Y1Z 决定属性集合 Y2，那么属性集合 XZ 也决定属性集合 Y2。这个规则有点类似于传递性，但不完全相同，因此称为伪传递规则。

通过上面的，我们可以求得一个函数依赖关系的闭包，我从网上找到了一道题，但感觉求这个意义不大

3 Normal Forms 规范形式

3.1 一二三范式

3.1.1 基本概念

规范形式（Normalization Forms，通常缩写为NF）是数据库设计中的一组标准，用于确保数据库表的结构满足一定的标准，以提高数据的一致性、避免数据冗余，并提高数据库性能。最常见的规范形式包括第一范式（1NF）、第二范式（2NF）和第三范式（3NF）。

1. 第一范式（1NF）：
   • 第一范式要求数据库表中的每个列都包含不可分割的、原子的数据，也就是每个单元格只包含一个值。此外，表中的每个行都应具有唯一的标识，通常通过一个主键来实现。1NF消除了重复的列和组合列。
2. 第二范式（2NF）：
   • 第二范式要求在1NF的基础上，确保非主键属性完全依赖于主键。这意味着非主键属性不会部分依赖主键，也就是没有部分函数依赖。如果存在部分函数依赖，需要将表进行拆分，以确保每个非主键属性都依赖于整个主键。通常，2NF适用于具有复合主键的表。
3. 第三范式（3NF）：
   • 第三范式要求在2NF的基础上，消除传递依赖。传递依赖指的是非主键属性依赖于主键以外的非主键属性。如果一个非主键属性依赖于另一个非主键属性，而这个属性又依赖于主键，就存在传递依赖。为了满足3NF，需要将数据库表进行拆分，以确保每个非主键属性只依赖于主键。

实际上3NF达到的效果就是 尽可能保证 非主键属性完全依赖于主建且只依赖于主键

规范形式的目标是减少数据冗余、提高数据一致性，并简化数据库结构，以便更容易维护和查询数据。虽然1NF、2NF和3NF是最常见的规范形式，但还有更高级别的规范形式，如巴斯－科德范式（BCNF）和第四范式（4NF），它们进一步强化了数据库设计的要求。

总结

第一范式：简单说 列不能再分

第二范式：简单说 建立在第一范式基础上，消除部分依赖

第三范式：简单说 建立在第二范式基础上，消除传递依赖。

BCNF是对3NF的改进，消除了对主键子集的依赖

3.1.2 判断是否满足3NF

3.2 BCNF

3.2.1 基本概念

Boyce-Codd Normal Form（巴斯-科德范式（BCNF））是Third Normal Form 的一种扩展，因此有时候也被称为3.5范式。

• Boyce-Codd Normal Form（巴斯-科德范式）
• 在3NF基础上，任何非主属性不能对主键子集依赖（在3NF基础上消除对主码子集的依赖）
• 巴斯-科德范式（BCNF）是第三范式（3NF）的一个子集，即满足巴斯-科德范式（BCNF）必须满足第三范式（3NF）。通常情况下，巴斯-科德范式被认为没有新的设计规范加入，只是对第二范式与第三范式中设计规范要求更强，因而被认为是修正第三范式，也就是说，它事实上是对第三范式的修正，使数据库冗余度更小。这也是BCNF不被称为第四范式的原因。某些书上，根据范式要求的递增性将其称之为第四范式是不规范，也是更让人不容易理解的地方。

3.2.2 判断是否满足BCNF

判断每一个是否是超码，有一个不是就不是

a is a superkey for R

因为Sno→Sdept中Sno不是超码
Sdept→Mname中Sdept不是超码

3.2.3 分解得到BCNF

怎么分解得到呢？

对于x->y

分解为x并y和R-（y-x）

4 属性集闭包和正则覆盖

4.1 属性集闭包求法

ps：可以理解为X+表示所有X可以决定的属性

求取属性集闭包的步骤：

设要求的闭包属性集是Y，把Y初始化为X.
检查函数依赖集F中的每个函数依赖A->B,如果属性集A中的所有属性都在Y中，而B中有属性不在Y中，则将其加入到Y中。
重复第二步，直到没有属性可以添加到Y中为止。最后得出的Y就是X+。
*例子：*设有关系模式R（M,N,X,Y,Z）其依赖集F={M->H,H->Z,Y->Z,N->Y,Z->M}。求M+,MH+
第一步：设要求的闭包属性集是Y，把Y初始化为X.
令X={M},我们先看M->H,由于函数依赖M->H左边的所有属性都在X中，而右边H不在X中，所以可以把H添加到X 中，此时X={M，H}

然后按照顺序我们再看H->Z，我们不难发现函数依赖H->Z左边的所有属性都在X中,右边的属性Z又不在X中，仍旧添加，这时X={M，H，Z}

下一个

Y->Z，可以发现Y属性不在X中，条件不满足
N->Y，可以发现N属性不在X中，条件不满足
Z->M,Z属性在X中条件满足，但右边M也在X中条件不满足。

属性判断完 ，那么属性M的闭包：M+=MHZ。

4.2 属性集闭包应用

4.2.1 测试某个属性集是否为超键

他的闭包如果包含所有属性，则为超集

4.2.2 测试一个属性是否无关属性

右边多余

如果前面的属性集闭包可以包括后面的，即可以删除无关的

左边多余

还可以计算函数依赖闭包，测试函数依赖是否成立

范式判断的三个步骤以及各个范式标准(1NF,2NF,3NF,BCNF,4NF)_如何判断1nf2nf3nf和bcnf-CSDN博客

4.3正则覆盖Canonical Cover

一.使用合并律将所有左部相同的函数依赖合并成一个

设有一函数依赖集F，其中有{A→B，A→E，……}，则将这两个函数依赖合并为{A→BE，……}

二.在合并后的函数依赖集中寻找一个无关属性，将它删除

重复一二，直到每个元素都不是无关元素，无法再删，故解得正则覆盖

例题可以参考

正则覆盖的求法与判断属性是否冗余-CSDN博客