用sympy计算Pauli矩阵

Pauli矩阵

Pauli矩阵是3个$2\times 2$的矩阵，这三哥矩阵的行列式均为-1，一般以$\sigma$表示如下

$${\sigma }_x=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]{\sigma }_y=\left[\begin{array}{cc}0& ?i\\ i& 0\end{array}\right]{\sigma }_z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& ?1\end{array}\right]$$

在量子力学中，这三个矩阵分别表示自旋在三个坐标轴中的投影分量，${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$也可写为${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$。

Pauli矩阵满足如下关系

• 对易计算 $[{\sigma }_a,{\sigma }_b]=2i{?}_{abc}{\sigma }_c$
• 反对易 { σ a , σ b } = 2 δ a b I \{\sigma_a, \sigma_b\}=2\delta_{ab}I {σa?,σb?}=2δab?I
• 内积关系 ${\sigma }_a{\sigma }_b=i{\sum }_c{?}_{abc}{\sigma }_c+{\delta }_{ab}I$

sympy实现

matrices中封装了msigma类，即Pauli矩阵的矩阵表示，示例如下

from sympy import print_latex
from sympy.physics.matrices import msigma
print_latex(msigma(1))

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

此外，sympy中还封装了Pauli类，调用如下

from sympy.physics.paulialgebra import Pauli
from sympy import print_latex
p1 = Pauli(1)
print_latex(p1)

${\sigma }_1$

quantum中提供了对易计算，测试如下

from sympy.physics.quantum import Commutator
p2 = Pauli(2)
comm = Commutator(p1, p2)   # [sigma1,sigma2]
print_latex(comm.doit())                 # 2*I*sigma3

即

$$[{\sigma }_1,{\sigma }_2]=2i{\sigma }_3$$

内积的计算结果如下

p1*p1   # 1
print_latex(p1*p2)

$$i{\sigma }_3$$