《数字图像处理》第七章 小波域多分辨率处理 学习笔记

0. 前言

本章难度大(看不太懂)，没有什么详细记录，大家还得自行查阅其他相关博客视频等。

小波变换基于小型波(傅里叶变换以正弦函数为基函数).

FT的结果完全丢失了时间信息, 而小波变换的意义就在于判断什么时间(间隔)出现什么样的频谱成分.

辅助材料: THE WAVELET TUTORIAL (unr.edu)

辅助视频: Wavelets: a mathematical microscope (youtube.com)

第三版教材中图片下载地址： book images downloads

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前情回顾：
数字图像处理第三章 灰度变换和空间滤波 学习笔记
数字图像处理第四章 频率域滤波 学习笔记
数字图像处理第五章 图像复原和重建（内容较简单，就没有详细记录笔记）
数字图像处理第六章 彩色图像处理 学习笔记

后续剧情：
数字图像处理 第九章 形态学图像处理 学习笔记
数字图像处理 第十章 图像分割 学习笔记
数字图像处理 第11章 标识和描述 学习笔记

1. 背景

1.1 图像金字塔

• 步骤1: 计算第j-1级近似. 第j级通过滤波并以2为因子进行下采样.

• 步骤2: 通过对步骤1结果进行上采样, 得到第j级预测值.

• 步骤3: 汁算步骤 2 的预测图像和步骤 1 的输入之间的差. 把得到的结果放在预测残差金字塔的第j级。

void test04(string path) {
    Mat img = imread(path);
    if (img.empty()) {
        cout << "Error: unable to load the image\n";
        return;
    }

    //构建图像金字塔
    vector<Mat> pyramid;
    pyramid.push_back(img.clone());
    for(int i = 0; i < 4; i++) {
        Mat blurred;
        GaussianBlur(pyramid.back(), blurred, Size(5, 5), 0, 0);
        Mat downsampled;
        pyrDown(blurred, downsampled);
        pyramid.push_back(downsampled);
    }

    //构建残差金字塔
    vector<Mat> residualPyramid;
    for (int i = 1; i < pyramid.size(); i++) {
        Mat upsampled;
        pyrUp(pyramid[i], upsampled, Size(pyramid[i - 1].cols, pyramid[i - 1].rows));
        residualPyramid.push_back(pyramid[i - 1] - upsampled);
    }

    for (int i = 0; i < pyramid.size() - 1; i++) {
        imshow("level_" + to_string(i), pyramid[i]);
        imshow("residual" + to_string(i), residualPyramid[i]);
    }
    waitKey(0);
}

1.2 子带编码

2. 多分辨率展开

多分辨率分析(MRA)中, 尺度函数被建立成一个函数或一幅图像的一系列近似值, 每个近似与其最近邻近似在分辨率方面都用因子2来区分.

2.1 级数展开

2.2 尺度函数

2.3 小波函数

小波函数是小波变换的基础，以下是整个小波函数家族

小波函数的满足条件:

1. $$积分为0,{\int }_{?\infty }^{+\infty }\psi (t)dt=0$$

2. $$能量有限,{\int }_{?\infty }^{+\infty }|\psi (t){|}^{2}dt<\infty$$

将小波函数进行平移缩放

$${\psi }_{a,b}=\psi (\frac{t?b}{a})$$

其中, b表示平移因子, a表示缩放因子

某一小波函数对于信号y(t)具有的贡献:

$$T(a,b)={\int }_{?\infty }^{+\infty }y(t)?{\psi }_{a,b}(t)dt$$