二叉树【Java】

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一、树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

结点的度： 一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度： 一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点： 度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点： 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点： 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度： 树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

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以下概念了解即可：
非终端结点或分支结点： 度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点： 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点： 双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先： 从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙： 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二、二叉树

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1.或者为空
2.或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

上图是一棵二叉树其中用蓝色框起来的是根结点的左子树，用绿色框起来的是根结点的右子树
从上图也可以看出：
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2两种特殊的二叉树

1.满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵
二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2.完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n
个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
2^i-1(i>0)个结点
2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
3.对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结
点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)
二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历：
前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点
层序遍历： 设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

以下是四种遍历方式的具体实现：
对一棵空树我们不需要遍历
前序遍历：

public void preOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    System.out.print(root.val+" ");
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

中序遍历：

public void inOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.print(root.val+" ");
    inOrder(root.right);
}    

后序遍历：

public void postOrder(TreeNode root) {
   if(root == null) {
       return;
   }
   postOrder(root.left);
   postOrder(root.right);
   System.out.print(root.val+" ");
}   

层序遍历：

void levelOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList();
    queue.offer(root);
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode cur = queue.poll();
        System.out.print(cur.val+" ");
        if(cur.left != null) {
            queue.offer(cur.left);
        }
        if(cur.right != null) {
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}    

测试：

以上的测试结果就是对下图的遍历

三、二叉树的基本操作

3.1获取树中节点的个数

在获取树中节点的个数中，我们可以使用遍历的方式做，也可以使用子问题的方式做
遍历的方式：

public static int nodeSize;
void size(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    nodeSize++;
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}    

子问题的方式：
树中的节点个数=左子树的节点个数+右子树的节点个数+根节点

int size2(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    int tmp = size2(root.left) + size2(root.right)+1;
    return tmp;
}    

3.2获取叶子节点的个数

叶子节点个数=左子树的叶子节点个数+右子树的节点个数

int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    if(root.left == null&&root.right == null) {
        return 1;
    }
    return getLeafNodeCount(root.left) +
                getLeafNodeCount(root.right);
}    

3.3获取第K层节点的个数

第K层的节点个数=左子树的第K-1层节点个数+右子树的第K-1层节点个数

int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    if(k == 1) {
        return 1;
    }
    return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +
                getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}    

3.4获取二叉树的高度

二叉树的高度=左子树的高度和右子树的高度的最大值+1

int getHeight(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    int leftHeight = getHeight(root.left);
    int rightHeight = getHeight(root.right);
    return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;
}    

3.5检测值为value的元素是否存在

这里我们先判断根节点是不是我们要找的值，再从左子树和右子树当中去找

TreeNode find(TreeNode root, char val) {
    if(root == null) {
        return null;
    }
    if(root.val == val) {
        return root;
    }
    TreeNode leftval = find(root.left,val);
    if(leftval != null) {
        return leftval;
    }
    TreeNode rightval = find(root.right,val);
    if(rightval != null) {
        return rightval;
    }
    return null;
}