【用积分求抛物线与直线围成的面积】

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一、Problem Discription

二、Sample Input and Sample Output

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三、数学分析与推导计算

1. 根据抛物线顶点坐标$P_1(x_1,y_1)$以及另一个点的坐标$P_2(x_2,y_2)$，求出抛物线方程

顶点坐标为(b, c)的顶点式抛物线方程式如下
$$y=a(x?b{)}^2+c$$
此处顶点坐标为$P_1(x_1,y_1)$，可得$b=x_1$, $c=y_1$.
因此
$$y=a(x?x_1{)}^2+y_1$$
再代入$P_2(x_2,y_2)$，得到
$$a=\frac{(y_2?y_1)}{(x_2?x_1{)}^2}$$

2. 根据直线上两点坐标$P_2(x_2,y_2)$、$P_3(x_3,y_3)$，求出直线方程（直线的斜率和截距方程）

$$k=\frac{y_3?y_2}{x_3?x_2}$$
因此
$$y=kx+d$$
再代入$P_2(x_2,y_2)$，得到
$$d=y_2?k{x}_2$$

3. 根据求出的直线方程和抛物线方程，以及直线和抛物线交点坐标，用积分求阴影部分的面积

以$(a(x?b{)}^2+c?(kx+d))dx$为被积表达式，在闭区间$[x_2,x_3]$上作定积分，便可得所求阴影部分的面积。
$$A={\int }_{x_2}^{x_3}(a(x?b{)}^2+c?(kx+d))dx$$
$$A=[\frac{1}{3}a{x}^3?\frac{1}{2}(2ab+k)x^2+(a{b}^2+c?d)x{]}_{x_2}^{x_3}$$

四、编码计算求解

代码如下（参考）

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

double a, b, c, k, d;
// y=a(x-b)^2+c
// y=kx+d
double integral(double x) {
    return a*x*x*x/3.0 - (2*a*b+k)*x*x/2.0 + (a*b*b+c-d)*x;
}
int main() {
	double x1, y1, x2, y2, x3, y3;
    int t;
    cin >> t;
    for(int i=0; i<t; i++){
        cin >> x1 >> y1;
        cin >> x2 >> y2;
        cin >> x3 >> y3;
        b = x1;
        c = y1;
        a = (y2-y1)/((x2-x1)*(x2-x1));
        k = (y3-y2)/(x3-x2);
        d = y2-k*x2;
        double ans = integral(x3) - integral(x2);
        //printf("%.2lf\n", ans);
        cout << fixed << setprecision(2) << ans << endl;
    }
    return 0;
}

测试如下

2
5.00 5.00
0.00 0.00
10.00 0.00
33.33
10.00 10.00
1.00 1.00
14.00 8.222222
40.69