Python生成对角矩阵和对角块矩阵

矩阵可视化

为了展现不同矩阵之间的差别，在具体介绍scipy中的不同矩阵之前，先构造一个用于绘制矩阵的函数

import matplotlib.pyplot as plt
from itertools import product
def drawMat(x, ax=None):
    M, N = x.shape
    if not ax:
        ax = plt.subplot()
    arrM, arrN = np.arange(M), np.arange(N)
    plt.yticks(arrM+0.5, arrM)
    plt.xticks(arrN+0.5, arrN)
    ax.pcolormesh(x)
    ax.invert_yaxis()
    for i,j in product(range(M),range(N)):
        if x[i,j]!=0:
            ax.text(j+0.2, i+0.55, f"{x[i,j]:.2}")

对角矩阵

scipy中的函数

在scipy.linalg中，通过tri(N, M=None, k=0, dtype=None)可生成$N\times M$对角矩阵，若M=None，则$M$默认为$N$。k表示矩阵中用1填充的次对角线个数。

print(tri(3,5,2,dtype=int))
'''
[[1 1 1 0 0]
 [1 1 1 1 0]
 [1 1 1 1 1]]
'''

在numpy中也提供了多种对角矩阵生成函数，包括diag, diagflat, tri, tril, triu等，

numpy.diagflat

diagflat用于生成对角矩阵，diag在diagflat基础上，添加了提取对角元素的功能，例如

>>> np.diagflat([1,2,3])
array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])
>>> np.diag([1,2,3])
array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])
>>> np.diag(np.ones([3,3])) #提取对角元素
array([1., 1., 1.])

numpy.tri

tri(M,N,k)用于生成M行N列的三角阵，其元素为0或者1，k用于调节0和1的分界线相对于对角线的位置，例如

fig = plt.figure()
mats = {
    351:np.tri(3,5,1),
    352:np.tri(3,5,2),
    353:np.tri(3,5,3)
}
for i,key in enumerate(mats, 1):
    ax = fig.add_subplot(1,3,i)
    drawMat(mats[key], ax)

plt.show()

tril, triu可用于提取出矩阵的左下和右上的三角阵，其输入参数除了待提取矩阵之外，另一个参数与tri中的k相同。

fig = plt.figure()
x = np.arange(12).reshape(4,3)
mats = [np.tril(x,-1),np.triu(x,-1)]
for i,mat in enumerate(mats, 1):
    print(i, mat)
    ax = fig.add_subplot(1,2,i)
    drawMat(mat.astype(float), ax)

plt.show()

对角块矩阵

对于scipy.linalg.block_diag(A,B,C)而言，会生成如下形式矩阵

$$\begin{array}{ccc}A& 0& 0\\ 0& B& 0\\ 0& 0& C\end{array}$$

from scipy.linalg import *
import numpy as np
A = np.ones([2,2])
B = np.round(np.random.rand(3,3),2)
C = np.diag([1,2,3])
bd = block_diag(A,B,C)
drawMat(bd)
plt.show()

绘图结果如下

其中

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}0.8& 0.38& 0.41\\ 0.84& 0.45& 0.24\\ 0.32& 0.22& 0.25\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$