随机变量相互独立

发布时间：2023年12月17日

二维随机变量

首先以二维随机变量为例来说明随机变量相互独立的概念

设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，F_{X}(x)和F_{Y}(y)分别是边缘分布函数，如果对于所有x,y都有：

P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)\; \; \; \; \; (1)

上式用分布函数表示为F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)\: \; \; \; \; \; \; \; (2)

那么就称随机变量X和Y是相互独立的。

对于连续型随机变量，设f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度，f_{X}(x)和f_{Y}(y)分别是边缘概率密度，随机变量X和Y相互独立意味着：

f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\; \; \; \; \; \; (3)

对于离散型随机变量，随机变量X和Y相互独立意味着：

P(X=x_{i},Y=y_{j})=P(X=x_{i})P(Y=y_{j})\; \; \; \; \; \; (4)

n维随机变量

对于n维随机变量(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})，分布函数是F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})，边缘分布函数是F_{X_{i}}(x_{i})（其中i=1,2,\cdots ,n），则X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}相互独立意味着：

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})F_{X_{2}}(x_{2})\cdots F_{X_{n}}(x_{n})\; \; \; \; \; \; \; \; (5)

两个多维随机变量

设随机变量(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{m})的分布函数是F_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m})，随机变量(Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n})的分布函数是F_{2}(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})，随机变量(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{m},Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n})的分布函数是F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})。

则随机变量(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{m})和(Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n})相互独立意味着：

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})=F_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m})F_{2}(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})\; \; \; \; \; (6)

文章来源:https://blog.csdn.net/panghuangang/article/details/135042534
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