3.1 向量空间

发布时间:2024年01月18日

一、向量空间

我们从最重要的向量空间开始,表示为 R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , ? \pmb R^1,\pmb R^2,\pmb R^3,\pmb R^4,\cdots R1R2R3R4?。每个空间 R n \pmb R^n Rn 包含一整个向量的集合。 R 5 \pmb R^5 R5 包含全部有 5 5 5 个分量的列向量,称为 5 5 5 维空间。

定义 空间 ? R n ? 包含全部有 ? n ? 个分量的列向量 ? v \pmb{定义}\kern 10pt空间\,\pmb R^n\,包含全部有\,n\,个分量的列向量\,\boldsymbol v 定义空间Rn包含全部有n个分量的列向量v

向量 v \boldsymbol v v 的分量都是实数,所以用字母 R \pmb R R 表示。如果向量有 n n n 个复数分量,则它会落在空间 C n \pmb C^n Cn 中。
向量空间 R 2 \pmb R^2 R2 就是通常的 x y xy xy 平面,每个 R 2 \pmb R^2 R2 中的向量都有两个分量。空间需要我们考虑全部的向量,这里表示的是整个 x y xy xy 平面。每个向量给出平面内一点 x x x y y y 的坐标: v = ( x , y ) \boldsymbol v=(x,y) v=(x,y)
相似的, R 3 \pmb R^3 R3 中的向量对应三维空间中的点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)。一维空间 R 1 \pmb R^1 R1 是一条直线(就像 x x x 轴一样)。我们将向量表示为括号中的列,或用逗号和括号写在一行: [ 4 π ] 在 ? R 2 ? , ( 1 , 1 , 0 , 1 , 1 ) ? 在 ? R 5 ? , [ 1 + i 1 ? i ] 在 ? C 2 \begin{bmatrix}4\\π\end{bmatrix}在\,\pmb R^2\,,(1,1,0,1,1)\,在\,\pmb R^5\,,\begin{bmatrix}1+i\\1-i\end{bmatrix}在\,\pmb C^2 [4π?]R2(1,1,0,1,1)R5[1+i1?i?]C2线性代数最伟大的地方就是可以很容易处理 n n n 维空间,而不必画出向量。仅仅需要 n n n 个数字。
v \boldsymbol v v 7 7 7 是将每个分量乘 7 7 7,此处的 7 7 7 是标量。在 R 5 \pmb R^5 R5 中做向量的加法,就是将它们对应的分量分别相加。这是在向量空间中的两个最重要的向量运算,它们产生了线性组合 在 ? R 5 ? 中可以对任意向量相加,也可以对任意向量 ? v ? 乘上标量 ? c 。 在\,\pmb R^5\,中可以对任意向量相加,也可以对任意向量\,\boldsymbol v\,乘上标量\,c。 R5中可以对任意向量相加,也可以对任意向量v乘上标量c“在向量空间中” 意味着结果仍然在该空间中。如果 v \boldsymbol v v R 4 \pmb R^4 R4 中的向量,其分别分别是 1 , 0 , 0 , 1 1,0,0,1 1,0,0,1,则 2 v 2\boldsymbol v 2v 也是 R 4 \pmb R^4 R4 中的向量,其分量为 2 , 0 , 0 , 2 2,0,0,2 2,0,0,2(此处 2 2 2 是标量)。一整个系列的性质都可以在 R n \pmb R^n Rn 中验证。所有的向量空间都必须满足 8 8 8 个规则:

  1. x + y = y + x ?? \boldsymbol x+\boldsymbol y=\boldsymbol y+\boldsymbol x\,\, x+y=y+x 交换律
  2. x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ?? \boldsymbol x+(\boldsymbol y+\boldsymbol z)=(\boldsymbol x+\boldsymbol y)+\boldsymbol z\,\, x+(y+z)=(x+y)+z 加法结合律
  3. 对于所有的向量 x \boldsymbol x x,存在唯一的零向量使得 x + 0 = x \boldsymbol x+\boldsymbol 0=\boldsymbol x x+0=x
  4. 对于每个 x \boldsymbol x x 存在唯一的向量 ? x -\boldsymbol x ?x 使得 x + ( ? x ) = 0 \boldsymbol x+(-\boldsymbol x)=\boldsymbol 0 x+(?x)=0
  5. 1 乘 x \boldsymbol x x 等于 x \boldsymbol x x
  6. ( c 1 c 2 ) x = c 1 ( c 2 x ) (c_1c_2)\boldsymbol x=c_1(c_2\boldsymbol x) (c1?c2?)x=c1?(c2?x)
  7. c ( x + y ) = c x + c y ?? c(\boldsymbol x+\boldsymbol y)=c\boldsymbol x+c\boldsymbol y\,\, c(x+y)=cx+cy 分配律
  8. ( c 1 + c 2 ) x = c 1 x + c 2 x (c_1+c_2)\boldsymbol x=c_1\boldsymbol x+c_2\boldsymbol x (c1?+c2?)x=c1?x+c2?x

每个向量空间都要满足上述 8 8 8 个规则,它们是向量而不是列向量,除 R n \pmb R^n Rn 外,还存在其它的向量空间。
一个实数向量空间是一系列向量的集合,遵循实数向量的加法和数乘,加法和数乘得到的向量必须还在该空间内,同样也需要满足这八个规则。下面是三个 R n \pmb R^n Rn 之外的向量空间:

M 所有 ? 2 × 2 ? 的实数矩阵 组成的向量空间 F 所有 实函数 ? f ( x ) ? 所组成的向量空间 Z 只包含一个 零向量 的向量空间 \begin{matrix}\pmb{\textrm{M}}&所有\,\pmb{2\times2\,的实数矩阵}组成的向量空间\\\pmb{\textrm F}&所有\pmb{实函数}\,f(x)\,所组成的向量空间\kern13pt\\\pmb{\textrm Z}&只包含一个\pmb{零向量}的向量空间\kern 37pt\end{matrix} MFZ?所有2×2的实数矩阵组成的向量空间所有实函数f(x)所组成的向量空间只包含一个零向量的向量空间?

M \pmb{\textrm M} M 中的向量实际上是矩阵, F \pmb{\textrm F} F 中的向量是函数, Z \pmb{\textrm Z} Z 中的加法仅有一个 0 + 0 = 0 \boldsymbol 0+\boldsymbol 0=\boldsymbol 0 0+0=0。上面每个例子都可以相加:矩阵加矩阵,函数加函数,零向量加零向量。我们也可以用 4 4 4 乘矩阵, 4 4 4 乘函数或用 4 4 4 乘零向量,得到的结果仍然在 M \pmb{\textrm M} M F \pmb{\textrm F} F Z \pmb{\textrm Z} Z 中,很容易验证这 8 8 8 个规则。
函数空间 F \pmb{\textrm F} F 是无限维的,小一点的空间是 P \pmb{\textrm P} P P n \pmb{\textrm P_n} Pn?,它包含所有的 n n n 次多项式: a 0 + a 1 x + ? + a n x n a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n a0?+a1?x+?+an?xn
空间 Z \pmb{\textrm Z} Z 是一个零维空间(通过合理的维度定义)。 Z \pmb{\textrm Z} Z 是最小可能的向量空间,我们暂且称为 R 0 \pmb R^0 R0,它表示没有分量的向量,它仅有一个向量——零向量。每个向量空间都有自己的零向量——零矩阵,零函数, R 3 \pmb R^3 R3 中的零向量 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)

在这里插入图片描述

二、子空间

有时,我们需要将矩阵与函数看成是向量,但是大多数情况下,我们处理的是正常的列向量,它们是具有 n n n 个分量的向量——但是可能不是有 n n n 个分量的全部向量。它们是在 R n \pmb R^n Rn 中重要的向量空间,是 R n \pmb R^n Rn子空间
从三维空间 R 3 \pmb R^3 R3 开始,选择一个通过原点 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 的平面,这个平面自身就是一个向量空间。如果我们在这个平面内将两个向量相加,它们的和也在该平面中;如果该平面的向量乘上一个标量,例如 2 2 2 ? 5 -5 ?5,得到的新向量也在该平面中。三维空间中的平面不是 R 2 \pmb R^2 R2,三维空间中的向量有 3 3 3 个分量,它们属于 R 3 \pmb R^3 R3,这个平面是 R 3 \pmb R^3 R3 中的向量空间。
通过 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 的平面是整个向量空间 R 3 \pmb R^3 R3 中的子空间,这个是线性代数中最重要的基础概念之一:

定义 \kern 5pt 向量空间的子空间是满足两个条件的一系列向量的集合(包含 0 \boldsymbol 0 0):如果 v \boldsymbol v v w \boldsymbol w w 是子空间中的向量且 c c c 是任意标量,则 ( 1 ) ? v + w ? 在子空间中 ( 2 ) ? c v ? 在子空间中 (1)\,\boldsymbol v+\boldsymbol w\,在子空间中\kern 10pt(2)\,c\boldsymbol v\,在子空间中 (1)v+w在子空间中(2)cv在子空间中

换句话说,在这个向量集合中的加法 v + w \boldsymbol v+\boldsymbol w v+w 和数乘 c v c\boldsymbol v cv(和 d w d\boldsymbol w dw)是封闭的。这些运算的结果仍然在子空间中,我们也可以做减法,因为 ? w -\boldsymbol w ?w 也在子空间中,和是 v ? w \boldsymbol v-\boldsymbol w v?w。简单的说,所有的线性组合仍然在子空间中
这些运算都遵循主空间的规则,也自动满足八个条件。所以我们只需要检验子空间中的线性组合条件即可。
关于子空间有两个结论:第一,每个子空间都包含零向量 R 3 \pmb R^3 R3 中的平面必须经过 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0),因为这直接遵循上述的条件(2),若 c = 0 c=0 c=0 0 v 0\boldsymbol v 0v 也必须在子空间中。
不包含原点的平面不是子空间,因为不满足数乘的条件。
第二,通过原点的直线也是子空间。我们将该直线的向量乘上一个数(例如 5 5 5),或者将该直线上的两个向量相加,结果仍然在该直线上,但是直线必须经过 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)
另一个子空间就是全部的 R 3 \pmb R^3 R3。整个空间就是一个子空间(它自己的)。下面列出 R 3 \pmb R^3 R3 里所有可能的子空间:

  1. ( L ) (\pmb {\textrm L})\kern 6pt (L)任意经过 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 的直线
  2. ( R 3 ) (\pmb {\textrm R^3})\kern 2pt (R3)整个空间
  3. ( P ) (\pmb {\textrm P})\kern 6pt (P)任意经过 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 的平面
  4. ( Z ) (\pmb {\textrm Z})\kern 6pt (Z)单个向量 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)

如果我们仅保留一条直线或一个平面的一部分,则无法满足子空间的条件。下面是 R 2 \pmb {\textrm R^2} R2 中不是子空间的例子。

例1】仅保留分量大于或等于零的向量 ( x , y ) (x,y) (x,y)(这是平面的四分之一)。它包含向量 ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3) 但是不包含向量 ( ? 2 , ? 3 ) (-2,-3) (?2,?3)。当取 c = ? 1 c=-1 c=?1 时,就不满足条件(2),因此这个四分之一的平面不是子空间。

例2】在上例中再加上分量都为负数的向量。现在有两个四分之一平面。满足条件(2),可以任意选取 c c c。但是选 v = ( 2 , 3 ) \boldsymbol v=(2,3) v=(2,3) w = ( ? 3 , ? 2 ) \boldsymbol w=(-3,-2) w=(?3,?2) 时,它们的和 v + w = ( ? 1 , 1 ) \boldsymbol v+\boldsymbol w=(-1,1) v+w=(?1,1) 不在这两个四分之一平面内,所以不满足条件(1),这个也不算子空间。
规则(1)和(2)与向量的加法 v + w \boldsymbol v+\boldsymbol w v+w 和 标量 c c c d d d 的数乘有关,我们可以将这两个规则合成一个就得到 —— 子空间的规则:

一个包含 ? v ? 和 ? w ? 的子空间,必须包含所有的线性组合 ? c v + d w 一个包含\,\boldsymbol v\, 和 \,\boldsymbol w\,的子空间,必须包含所有的线性组合\,c\boldsymbol v+d\boldsymbol w 一个包含vw的子空间,必须包含所有的线性组合cv+dw

例3 2 × 2 2\times2 2×2 矩阵的向量空间 M \pmb{\textrm M} M 中有下列两个子空间: ( U ) ? 所有上三角矩阵 [ a b 0 d ] ( D ) ? 所有的对角矩阵 [ a 0 0 d ] (\pmb{\textrm U})\,所有上三角矩阵\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}\kern 12pt(\pmb{\textrm D})\,所有的对角矩阵\begin{bmatrix}a&0\\0&d\end{bmatrix} (U)所有上三角矩阵[a0?bd?](D)所有的对角矩阵[a0?0d?]将任意两个上三角矩阵 U \pmb{\textrm U} U 相加,结果仍然是 U \pmb{\textrm U} U;任意两个对称矩阵 D \pmb{\textrm D} D 相加,结果仍是 D \pmb{\textrm D} D。这里 D \pmb{\textrm D} D 也是 U \pmb{\textrm U} U 的子空间。零矩阵也是子空间,此时 a , b , d a,b,d abd 都为 0 0 0 Z \pmb{\textrm Z} Z 永远是子空间。
单位矩阵的倍数也是一个子空间。 2 I + 3 I 2I+3I 2I+3I 在子空间中, 3 3 3 4 I 4I 4I 也在子空间中。矩阵 c I cI cI M \pmb{\textrm M} M 中与 U \pmb{\textrm U} U D \pmb{\textrm D} D 中形成 “矩阵线” (line of matrix)。
单位矩阵 I I I 自身并不是一个子空间,只有零矩阵自己才是子空间。

三、A 的列空间

最重要的子空间与矩阵 A A A 直接相关。当我们求解 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 时,若 A A A 不可逆,则对于某些 b \boldsymbol b b,系统有解,而对于另一些 b \boldsymbol b b,系统无解。我们要描述有解的右侧向量 b \boldsymbol b b,它可以写成 A A A 乘某个向量 x \boldsymbol x x,这些 b \boldsymbol b b 则形成 A A A列空间
A x A\boldsymbol x Ax A A A 列的线性组合,如果要得到所有的 b \boldsymbol b b,那么就需要使用所有可能的 x \boldsymbol x x A A A 所有列的线性组合,就得到 A A A 的列空间。这是由列向量组成的向量空间。
C ( A ) \pmb C(A) C(A) 不仅包含有 A A A n n n 个列,还有它所有列的组合 A x A\boldsymbol x Ax

定义 \kern 10pt 列空间包含列的所有线性组合,它们的组合就是所有可能的向量 A x A\boldsymbol x Ax,构成列空间 C ( A ) \pmb C(A) C(A)

列空间至关重要,因为求解 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 就是将 b \boldsymbol b b 表示成列的组合,右侧正确的 b \boldsymbol b b 必须在左侧 A A A 的列空间中,否则无解。

系统 ? A x = b ? 有解,当且仅当 ? b ? 在 ? A ? 的列空间中 系统\,A\boldsymbol x=\boldsymbol b\,有解,当且仅当\,\boldsymbol b\,在\,A\,的列空间中 系统Ax=b有解,当且仅当bA的列空间中

b \boldsymbol b b A A A 的列空间中,它是 A A A 列的线性组合,这个组合的系数就是 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 的解 x \boldsymbol x x
假设 A A A m × n m\times n m×n 的矩阵,它的列向量有 m m m 个分量,所以列属于 R m \pmb{\textrm R}^m Rm A A A 的列空间是 R m \pmb{\textrm R}^m Rm 的子空间。所有列的集合 A x A\boldsymbol x Ax 满足子空间的条件(1)和(2):我们将两个线性组合相加,或者乘上标量,得到的结果仍是列的线性组合。子空间可以通过所有的线性组合验证。

下例中 A A A 是一个 3 × 2 3\times2 3×2 的矩阵,它的列空间是 R 3 \pmb{\textrm R}^3 R3 的子空间,如 Figure3.2 所示的一个平面。因为 A A A 只有两列,所以它的列空间 C ( A ) \pmb C(A) C(A) 不可能是整个 R 3 \pmb{\textrm R}^3 R3
例4 A x = [ 1 0 4 3 2 3 ] [ x 1 x 2 ] = x 1 [ 1 4 2 ] + x 2 [ 0 3 3 ] A\boldsymbol x=\begin{bmatrix}1&0\\4&3\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\4\\2\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}0\\3\\3\end{bmatrix} Ax= ?142?033? ?[x1?x2??]=x1? ?142? ?+x2? ?033? ?这两列所有的线性组合形成的列空间在 R 3 \pmb{\textrm R}^3 R3 中形成一个平面。图中画出一个特别的 b \boldsymbol b b(列的线性组合), b = A x \boldsymbol b=A\boldsymbol x b=Ax 落在该平面上。这个平面厚度为零,因此 R 3 \pmb{\textrm R}^3 R3 中大部分的右侧向量 b \boldsymbol b b 都不在这个列空间中。对于这个三个方程两个未知数的方程组,大部分的 b \boldsymbol b b 都是无解的。

在这里插入图片描述
( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 一定在列空间中,列空间一定经过原点。 A x = 0 A\boldsymbol x=\boldsymbol 0 Ax=0 一定有一个解 x = 0 \boldsymbol x= \boldsymbol 0 x=0
只有当 b \boldsymbol b b 在列空间中才会有解。当 b \boldsymbol b b 是第一列本身时,此时解为 x 1 = 1 , x 2 = 0 x_1=1,x_2=0 x1?=1x2?=0;当 b \boldsymbol b b 是第二列本身时,此时 x 1 = 0 , x 2 = 1 x_1=0,x_2=1 x1?=0x2?=1。更深入的理解是——找到所有的组合,得到的整个子空间就是有这两个列产生的。
注: A A A 的列空间表示为 C ( A ) \pmb C(A) C(A),从这些列开始取得它们所有的线性组合,我们可能会得到整个 R m \pmb{\textrm R}^m Rm 或者一个子空间。
重要: 我们不从 R m \pmb{\textrm R}^m Rm 中的列开始,而是从向量空间 V \pmb{\textrm V} V 的任意向量的集合 S \pmb{\textrm S} S 开始,为了得到 V \pmb{\textrm V} V 的子空间 SS \pmb{\textrm {SS}} SS,我们取该集合内向量所有的线性组合: S = V ? 中的向量集合 ( 不一定是子空间 ) SS = S ? 中向量所有的组合 ( 一定是子空间 ) \pmb {\textrm S}=\pmb{\textrm V}\,中的向量集合(不一定是子空间)\kern 3pt\\\pmb{\textrm {SS}}=\pmb{\textrm S}\,中向量所有的组合(一定是子空间) S=V中的向量集合(不一定是子空间)SS=S中向量所有的组合(一定是子空间)

SS = all ??? c 1 v 1 + ? c N v N = S ? 张成的 ? V ? 的子空间 \pmb{\textrm{SS}}=\textrm{all}\,\,\,c_1\boldsymbol v_1+\cdots c_N\boldsymbol v_N=\pmb{\textrm S}\,张成的\,\pmb{\textrm V}\,的子空间 SS=allc1?v1?+?cN?vN?=S张成的V的子空间

S \pmb{\textrm S} S 是列的集合, SS \pmb{\textrm {SS}} SS 就是列空间。如果 S \pmb{\textrm S} S 中仅有一个非零向量 v \boldsymbol v v,则子空间 SS \pmb{\textrm {SS}} SS 就是穿过 v \boldsymbol v v 的一条直线。 SS \pmb{\textrm {SS}} SS 永远是包含 S \pmb{\textrm S} S 的最小的子空间,这是创建子空间的基础方法。列张成(span)列空间。
子空间 ? SS ? 由 ? S ? 张成,它包含 ? S ? 中向量的所有线性组合 \pmb{子空间\,\pmb{\textrm {SS}}\,由\,\pmb{\textrm S}\,张成,它包含\,\pmb{\textrm S}\,中向量的所有线性组合} 子空间SSS张成,它包含S中向量的所有线性组合例5】描述下列矩阵的列空间,它们都是 R 2 \pmb{\textrm R}^2 R2 的子空间: I = [ 1 0 0 1 ] A = [ 1 2 2 4 ] B = [ 1 2 3 0 0 4 ] I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\kern 10ptA=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}\kern 10ptB=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&4\end{bmatrix} I=[10?01?]A=[12?24?]B=[10?20?34?]解: I I I 的列空间是整个空间 R 2 \pmb{\textrm R}^2 R2,每一个向量都是 I I I 列的线性组合,用向量空间的语言来说, C ( I ) \pmb{C}(I) C(I) R 2 \pmb{\textrm R}^2 R2
A A A 的列空间只是一条直线,第二列 ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4) 是第一列 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 的倍数。这两个向量虽然不一样,但是我们从整个空间上个来看, ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4) 以及其它的向量 ( c , 2 c ) (c,2c) (c,2c) 都在这一条直线上。只有当 b \boldsymbol b b 在这条直线上时, A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 才有解。
C ( B ) \pmb{C}(B) C(B) R 2 \pmb{\textrm R}^2 R2,对于每个 b \boldsymbol b b 都有解。向量 b = ( 5 , 4 ) \boldsymbol b=(5,4) b=(5,4) 是列 2 2 2 加上列 3 3 3,所以 x \boldsymbol x x 可以为 ( 0 , 1 , 1 ) (0,1,1) (0,1,1);同样的 ( 5 , 4 ) (5,4) (5,4) 也可以是 2 ( column ?? 1 ) + ( column ?? 3 ) 2(\textrm{column}\,\,1)+(\textrm{column}\,\,3) 2(column1)+(column3),所以另一个解 x \boldsymbol x x ( 2 , 0 , 1 ) (2,0,1) (2,0,1)。这个矩阵的列空间与 I I I 的列空间相同——任意 b \boldsymbol b b 都可以。但是 x \boldsymbol x x 有额外的分量,有更多的解——有更多的组合可以得到 b \boldsymbol b b

四、主要内容总结

  1. R n \pmb{\textrm R}^n Rn 包含所有有 n n n 个实数分量的列向量。
  2. M \pmb{\textrm M} M 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵), F \pmb{\textrm F} F(函数)和 Z \pmb{\textrm Z} Z(单独的零向量)都是向量空间。
  3. 包含 v \boldsymbol v v w \boldsymbol w w 的子空间也必须包含它们所有的线性组合 c v + d w c\boldsymbol v+d\boldsymbol w cv+dw
  4. A A A 列的线性组合形成列空间 C ( A ) \pmb C(A) C(A),列空间是由列张成的。
  5. 当且仅当 b \boldsymbol b b A A A 的列空间中, A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 有解: C ( A ) = 列的所有组合 = 所有向量 ? A x \pmb C(A)=列的所有组合=所有向量\,A\boldsymbol x C(A)=列的所有组合=所有向量Ax

五、例题

例6】给出三个不同的向量 b 1 \boldsymbol b_1 b1? b 2 \boldsymbol b_2 b2? b 3 \boldsymbol b_3 b3?,构建一个矩阵使得 A x = b 1 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_1 Ax=b1? A x = b 2 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_2 Ax=b2? 有解,但是 A x = b 3 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_3 Ax=b3? 无解。如何判断这个可能性?如何构建 A A A
解: b 1 \boldsymbol b_1 b1? b 2 \boldsymbol b_2 b2? A A A 的列空间中,则 A x = b 1 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_1 Ax=b1? A x = b 2 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_2 Ax=b2? 有解。最快的方法是使 b 1 \boldsymbol b_1 b1? b 2 \boldsymbol b_2 b2? 称为 A A A 的两列,则解就是 x = ( 1 , 0 ) \boldsymbol x=(1,0) x=(1,0) x = ( 0 , 1 ) 。 \boldsymbol x=(0,1)。 x=(0,1)
若要 A x = b 3 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_3 Ax=b3? 无解,则不能让列空间更大了,只需要列 b 1 \boldsymbol b_1 b1? b 2 \boldsymbol b_2 b2?,则问题是: A x = [ b 1 b 2 ] [ x 1 x 2 ] 是否有解? b 3 ? 是不是 ? b 1 ? 和 ? b 2 ? 的线性组合? A\boldsymbol x=\begin{bmatrix}\boldsymbol b_1&\boldsymbol b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}是否有解?\kern 10pt\boldsymbol b_3\,是不是\,\boldsymbol b_1\,和\,\boldsymbol b_2\,的线性组合? Ax=[b1??b2??][x1??x2??]是否有解?b3?是不是b1?b2?的线性组合?如果这个问题的答案是否定的,则我们就可以得到想要的矩阵 A A A。如果这个答案是 “是”,那么就不可能得到这样的矩阵 A A A。如果列空间包含 b 1 \boldsymbol b_1 b1? b 2 \boldsymbol b_2 b2?,那么也会包含它们所有的线性组合,因此,若 b 3 \boldsymbol b_3 b3? 不在该列空间中, A x = b 3 A\boldsymbol x=\boldsymbol b_3 Ax=b3? 就无解。

例7】描述每个向量空间 V \pmb{\textrm V} V 的一个子空间 S \pmb{\textrm S} S,以及 S \pmb{\textrm S} S 的一个子空间 SS \pmb{\textrm {SS}} SS V 1 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 ) ? 和 ? ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ? 所有的线性组合 V 2 = 所有垂直于 ? u = ( 1 , 2 , 1 ) ? 的向量,所以有 ? u ? v = 0 V 3 = 所有 ? 2 × 2 ? 的对称矩阵 ? ( M ? 的子空间 ) V 4 = 方程 ? d 4 y / d x 4 = 0 ? 所有的解 ? ( F ? 的子空间 ) \pmb{\textrm V}_1=(1,1,0,0),(1,1,1,0)\,和\,(1,1,1,1)\,所有的线性组合\\\pmb{\textrm V}_2=所有垂直于\,\boldsymbol u=(1,2,1)\,的向量,所以有\,\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=0\kern 3pt\\\pmb{\textrm V}_3=所有\,2\times2\,的对称矩阵\,(\pmb{\textrm M}\,的子空间)\kern 62pt\\\pmb{\textrm V}_4=方程\,\textrm d^4y/\textrm dx^4=0\,所有的解\,(\pmb{\textrm F}\,的子空间)\kern 43pt V1?=(1,1,0,0)(1,1,1,0)(1,1,1,1)所有的线性组合V2?=所有垂直于u=(1,2,1)的向量,所以有u?v=0V3?=所有2×2的对称矩阵(M的子空间)V4?=方程d4y/dx4=0所有的解(F的子空间)用两种方式描述每个 V \pmb{\textrm V} V:“ ? \cdots ? 的所有线性组合” \kern 10pt “方程 ? \cdots ? 的所有解”
解: V 1 \pmb{\textrm V}_1 V1? 的一个子空间 S \pmb{\textrm S} S 是前两个向量 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) (1,1,0,0) (1,1,0,0) ( 1 , 1 , 1 , 0 ) (1,1,1,0) (1,1,1,0) 所有的线性组合; S \pmb{\textrm S} S 的一个子空间 SS \pmb{\textrm {SS}} SS 是第一个向量所有的倍数 ( c , c , 0 , 0 ) (c,c,0,0) (c,c,0,0)。还有很多其它的可能。
V 2 \pmb{\textrm V}_2 V2? 的一个子空间 S \pmb{\textrm S} S 是穿过 ( 1 , ? 1 , 1 ) (1,-1,1) (1,?1,1) 的直线,这条直线垂直于 u \boldsymbol u u。向量 x = ( 0 , 0 , 0 ) \boldsymbol x=(0,0,0) x=(0,0,0) S \pmb{\textrm S} S 中,并且它所有的倍数 c x c\boldsymbol x cx 可以得到最小的子空间 SS = Z \pmb{\textrm {SS}}=\pmb{\textrm Z} SS=Z
对称矩阵 V 3 \pmb{\textrm V}_3 V3? 的一个子空间是对角矩阵 S \pmb{\textrm S} S,单位矩阵的倍数 c I cI cI 是对角矩阵的一个子空间 SS \pmb{\textrm {SS}} SS
V 4 \pmb{\textrm V}_4 V4? 包含所有的三次多项式 y = a + b x + c x 2 + d x 3 y=a+bx+cx^2+dx^3 y=a+bx+cx2+dx3,都满足 d 4 y / d x 4 = 0 \textrm d^4y/\textrm dx^4=0 d4y/dx4=0。二次多项式是它的一个子空间 S \pmb{\textrm S} S,线性(一次)多项式是 S \pmb{\textrm S} S 的一个子空间 SS \pmb{\textrm {SS}} SS,常数可以是 SSS \pmb{\textrm {SSS}} SSS
上面所有 4 4 4 个向量空间都可以选择 S = V \pmb{\textrm S}=\pmb{\textrm V} S=V(它本身), SS = Z \pmb{\textrm {SS}}=\pmb{\textrm Z} SS=Z(零子空间)。
每个 V \pmb{\textrm V} V 都可以描述为两种形式: V 1 = 3 ? 个向量的所有线性组合 V 1 = 所有的 ? v 1 ? v 2 = 0 ? 的解 ( v = ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) ) V 2 = ( 1 , 0 , ? 1 ) ? 和 ? ( 1 , ? 1 , 1 ) ? 所有的线性组合 V 2 = ? 所有的 ? u ? v = 0 ? 的解 V 3 = [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ] 所有线性组合 V 3 = ? 所有的 ? b = c ? 时 [ a b c d ] 的解 V 4 = 1 , x , x 2 , x 3 ? 所有的线性组合 V 4 = 所有的 ? d 4 y / d x 4 ? 的解 \begin{matrix}\pmb{\textrm V}_1=3\,个向量的所有线性组合\kern 66pt&\pmb{\textrm V}_1=所有的\,v_1-v_2=0\,的解(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,v_4))\\\pmb{\textrm V}_2=(1,0,-1)\,和\,(1,-1,1)\,所有的线性组合\kern 8pt&\pmb{\textrm V}_2=\,所有的\,\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=0\,的解\kern 97pt\\\pmb{\textrm V}_3=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}所有线性组合&\pmb{\textrm V}_3=\,所有的\,b=c\,时\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}的解\kern 66pt\\\pmb{\textrm V}_4=1,x,x^2,x^3\,所有的线性组合\kern 55pt&\pmb{\textrm V}_4=所有的\,\textrm d^4y/\textrm dx^4\,的解\kern 100pt\end{matrix} V1?=3个向量的所有线性组合V2?=(1,0,?1)(1,?1,1)所有的线性组合V3?=[10?00?],[01?10?],[00?01?]所有线性组合V4?=1,x,x2,x3所有的线性组合?V1?=所有的v1??v2?=0的解(v=(v1?,v2?,v3?,v4?))V2?=所有的u?v=0的解V3?=所有的b=c[ac?bd?]的解V4?=所有的d4y/dx4的解?

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