MIT_线性代数笔记：第 23 讲 微分方程和 exp(At)

本讲中我们将面对微分方程，将一阶常系数微分方程转化为线性代数问题进行处理。主要思路基于常系数线性方程的解是指数形式，而寻找其指数和系数就是线代主要研究的问题。这里会涉及到矩阵型指数的运算 $e^{At}$。

微分方程 Differential equations

$$\begin{array}{rl}& \frac{d{u}_1}{dt}=?u_1+2u_2\\ & \frac{d{u}_2}{dt}=u_1?2u_2\end{array}$$
初值条件$u_1$ =1 ,$u_0$ =0 $\to$ $\frac{du}{dt}=Au$, $A=\left[\begin{array}{cc}?1& 2\\ 1& ?2\end{array}\right]$,u(0) = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

分析矩阵 A 的目的是要追踪 u 随时间的变化，而首先要做的是找到矩阵的特征值和特征变量。
$A=\left[\begin{array}{cc}?1& 2\\ 1& ?2\end{array}\right]$,很明显矩阵 A 为奇异矩阵，因此存在一个特征值λ1=0，而矩阵的迹为-3，因此还有一个特征值为λ2=-3。
当然我们也可以用一般方法计算$\left|\begin{array}{c}A?\lambda E\end{array}\right|=$ $\left|\begin{array}{cc}?1?\lambda & 2\\ 1& ?2?\lambda \end{array}\right|$ =${\lambda }^2$ +3λ =0

特征值${\lambda }_2$ = ?3 将会逐渐消失，因为答案中将会有一项为$e^{?3t}$,该项会随着时间的推移趋近于0 。答案的另一部分将有一项为$e^{0t}$，该项是一个常数，其值为1，并不随时间而改变。通常含有0 特征值的矩阵会随着时间的推移达到稳态。

一阶线性微分方程的解的形式是 $e^{\lambda t}$。两个特征值中，1 会使结果达到稳态，而-3 所对应的 e-3t会随时间增大而变小 。
方程的通解为 U(t) =$c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{X}_1$ + $c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{X}_2$。

将${\lambda }_1$ = 0，${\lambda }_2$ = ?3代入( A - λI )x =0,分别求得对应的特征向量 x1=$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ ,x2=$\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]$。
U(t) =$c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{X}_1$ + $c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{X}_2$ = $c_1{e}^0\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+$ $c_2{e}^{?3t}\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]$
U(0) =$c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ + $c_2{e}^{?3t}\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$,可解得$c_1$=$c_2$ = 1/3。

因此 U(t) =$\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ + $\frac{1}{3}{e}^{?3t}\left[\begin{array}{c}1\\ ?1\end{array}\right]$ ,前一项为稳定状态，后一项随着时间衰减。
稳定性：

在方程
$\frac{dU}{dt}$ = Au中，矩阵 A 的状态表明不同分量之间相互耦合，而用特征值和特征向量处理进行对角化是为了解耦。令 u=Sv，其中 S 是由矩阵 A 的特征向量组成。则有：

矩阵指数函数 Matrix exponential $e^{At}$

我们可以用幂级数的公式：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+......$$

来定义矩阵型指数运算 $e^{At}$：

$$e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2}+\frac{(At{)}^3}{6}+.....$$

如果 At 的特征值很小，满足收敛条件 $\left|\begin{array}{c}\lambda (At)\end{array}\right|$ <1，则可以用几何级数来定义矩阵型指数：

$$\frac{1}{1?x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n\to (I+At{)}^{?1}=I+At+(At{)}^2+(At{)}^3+.....$$

前文中我们已经写出了矩阵指数函数的公式$e^{At}$ =$S{e}^{\Lambda t}{S}^{?1}$ 。如果矩阵 A 具有 n个线性无关的特征向量，我们可以从幂级数定义的矩阵指数公式来再次验证：

二阶微分方程 Second order differential equations

我们可以将二阶微分方程 $y^{{}^{\prime \prime }}+b{y}^{{}^{\prime }}+ky$ =0 转化为 2 x 2 的一阶问题进行处理，构造方法类似于我们对斐波那契数列的处理方法。

令u =$\left[\begin{array}{c}{y}^{{}^{\prime }}\\ y\end{array}\right]$ ,则有$u^{{}^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}{y}^{{}^{\prime \prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?b& ?k\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}^{{}^{\prime }}\\ y\end{array}\right]$

如果是 k 阶微分方程，那么需要一个 k x k 矩阵，除了第一行和对角线下面一排斜线上的元素之外，这个系数矩阵其它元素均为 0。