Python群论：置换和置换群

简介

所谓置换，简单地说就是交换两个元素的位置。例如，给定一组元素$a_0,a_1,a_2$，那么通过置换之后，这组元素可以变成$a_0,a_2,a_1$，即$a_1$和$a_2$的位置发生了变化，此即置换。

置换也可以有另一种理解方式，即集合内元素的一一映射，那么这个置换过程可表述为

$$\begin{gathered} a_0\to a_0 \\ {a}_1\to a_2 \\ {a}_2\to a_1 \end{gathered}$$

从下表的角度出发，将$[0,1,2]$变成了$[0,2,1]$，从而$[0,2,1]$即可作为一种表述置换的方法。sympy中的置换类Permutation，采用的就是这种方法，示例如下

from sympy.combinatorics import Permutation

p = Permutation([0, 2, 1])
[i^p for i in range(p.size)]
# [0, 2, 1]

Permutation重载了运算符^，表示作用在某个元素上，上面的代码的含义就是，将置换p分别作用到0,1,2上，得到结果0,2,1。

置换还有另外一种创建方式，就是列举出不同元素的一一映射，以$p$为例，其并未更改0的位置，而只是对$1,2$进行了置换操作，从而其创建方式如下

p1 = Permutation(1,2)
p1 == p # True

置换的复合

置换作为一种操作，显然可以重复作用在某个元素上，如果把关注点放在置换这种运算上，那么相当于多次置换可以复合成一个新的置换。Permutation重载了运算符*即可实现此功能

q = Permutation([2, 1, 0])
[i^p^q for i in range(3)]
# [2, 0, 1]
p*q
# Permutation(0, 2, 1)，注意0,2,1没有方括号

如上述代码所示，p*q复合的结果是$0,2,1$，其置换逻辑是$0\to 2,2\to 1$，剩下的$1\to 0$则省略掉了，这与上面的计算结果是相符的。

一般来说，置换操作是不可交换的，即p*q和q*p并不相等

q*p
# Permutation(0, 1, 2)

置换操作在创建时，也可以将这种符合方式考虑进去

Permutation(1,2)(0,2)
# Permutation(0, 2, 1)

置换群

群是一种定义了二元运算的简单的代数系统，当这个二元运算是置换时，就是置换群。考虑到群中二元运算的封闭性，所以当对所有元素进行这种置换之后，群中的元素只有位置发生了变化，而不会出现增减。故而也可将这种置换理解为集合$\Omega$到其自身的映射。

在Sympy中，提供了PermutationGroup类，用于构造一个置换群。下面以p和q作为生成元，来构造一个置换群，可得到群的阶数为6。

from sympy.combinatorics import PermutationGroup
G = PermutationGroup(p, q)
G.order()
# 6

置换群的一个很常见的应用，就是描述几何图形的对称性，在sympy的组合学工具中，也提供了多面体类。多面体类可为置换群添加顶点，然后通过rotate来进行置换。

from sympy.combinatorics import Polyhedron
P = Polyhedron(list('ABC'), pgroup=G)
P.corners
# (A, B, C)
P.rotate(0)
# P.corners
(A, C, B)