LCA算法-Tarjan算法

发布时间:2023年12月18日

前言

LCA(lowest common ancestor)问题,是初学基础数据结构——二叉树时的经典例题,对于单次求最近公共祖先我们可以在O(n)的时间复杂度内完成,但是对于多次求任意两点的最近公共祖先,显然就不是那么容易了,对于LCA问题,我们一般有两种解法——倍增算法和Tarjan算法,本文来介绍Tarjan算法求解LCA问题。

相信大多数算法学习者对于Robet Tarjan这个大佬都不会陌生,我们熟悉的强连通分量双连通分量问题的高效算法他都有建树,甚至还参与开发了斐波那契堆、伸展树 orz。

对于倍增法LCA见:LCA算法-倍增算法


Tarjan-LCA算法

Tarjan算法也是一种离线算法,它巧妙利用了并查集和回溯法实现了在O(n + m)内解决LCA问题(n为节点数目,m为查询次数)。

算法原理

我们已经知道了所有的查询,只是需要一种方法高效地处理出所有查询罢了,我们不妨设函数Tarjan(x)能够处理以x为根的子树内的所有查询。

那么对于子树x内的查询而言可以分为三种:

  1. 查询的两个节点都在x的同一棵子树内,
  2. 查询的两个节点在x的两个不同子树内,
  3. 查询的两个节点一个是根x,一个在x的一棵子树内。

那么我们可以先解决子树内的查询1、2,再解决查询3

但是对于查询3我们无法直接根据查询信息获得,我们只能知道所有的query(x , i)(注意i不一定在子树x内)

比如如下情况:

外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传

我们发现只有query(x,7)是符合3的,显然query(x,7) = x

那么query(x,3)和query(x,4)呢?

我们前面提过了,我们的tarjan(root)方法是先解决root所有子树的查询,再来处理查询3,也就是说当我们进行tarjan(x),并且遍历所有的query(x,i)时,在上图中此时query(x,3)是已经解决了的,也就是说tarjan(x)是tarjan(y)的分支,在图中我们可以观察出query(x,3) = y,而且已知已经进行过tarjan(3)了,于是我们在tarjan(3)回溯的时候记录节点3的祖先为y并给3打上访问标记,那么我们在处理query(x,3)的时候就直接可以以3的祖先为query(x,3)的答案

因为如果对于query(x,i),其中tarjan(i)已经进行过了,说明x,i此时都在tarjan(y)的递归分支中,y是它们的公共祖先,而由于我们回溯后对祖先进行了处理,所以此时i的祖先就是x和i的最近公共祖先。

可以结合图来理解

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算法实现

  • 预处理

    • query[x]存储了所有的query(x,i),p[x]为并查集数组,,标记数组vis[i],表示访问过节点i
    • 预处理存储所有的访问,
    • 初始化p[i] = i
    • 调用tarjan(root)
  • tarjan(u)

    • vis[u] = 1
    • 访问u的相连节点v未访问过的就tarjan(v),处理v子树内的询问,回溯时p[v] = u;
    • 遍历所有query[u]
    • 对于query(u,i),如果i已经访问过,那么query(u,i) = findp(i)
代码详解
#define N 500050
typedef pair<int, int> PII;
vector<vector<int>> g(N);//存图
vector<PII> query[N];//存储查询
int p[N], ans[N];//并查集数组和查询结果数组
bitset<N> vis;//标记数组
int findp(int u)//状压查询
{
    return u == p[u] ? u : p[u] = findp(p[u]);
}
void tarjan(int u)
{
    vis[u] = 1;
    for (auto v : g[u])
    {
        if (!vis[v])
        {
            tarjan(v);
            p[v] = u;//回溯处理
        }
    }
    for (auto &q : query[u])
    {
        auto [v, i] = q;
        if (vis[v])
            ans[i] = findp(v);
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    int n, m, s, a, b;
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> a >> b;
        g[a].emplace_back(b);
        g[b].emplace_back(a);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> a >> b;
        if (a == b)//特殊情况直接给答案节省时间
            ans[i] = a;
        else
        {//查询预处理
            query[a].emplace_back(b, i);
            query[b].emplace_back(a, i);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = i;
    tarjan(s);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cout << ans[i] << '\n';
    return 0;
}

OJ链接

P3379 【模板】最近公共祖先(LCA) - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

[P4211 LNOI2014] LCA - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

文章来源:https://blog.csdn.net/EQUINOX1/article/details/134952269
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