MCM备赛笔记——蒙特卡罗方法

Key Concept

蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method），也称为统计模拟方法，是一种基于概率和统计的数值计算方法。该方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决可能非常复杂的数学或物理问题。蒙特卡罗方法广泛应用于金融、物理、工程、运筹学等领域。

建模思路

1. 定义问题的概率模型：

   • 确定问题的数学或物理模型，并将其转化为可以通过概率方法解决的形式。

2. 生成随机数：

   • 根据问题的概率分布生成随机数或伪随机数序列。

3. 进行模拟实验：

   • 利用随机数进行大量模拟实验或计算，得到问题的近似解。

4. 收集结果并分析：

   • 收集和记录每次模拟实验的结果，对这些数据进行统计分析。

5. 结果的估计和验证：

   • 通过模拟实验结果的分析得到问题的统计特性，如均值、方差等，并据此估计问题的解。
   • 可以通过多次模拟实验来提高结果的准确度。

6. 误差估计：

   • 评估模拟结果的误差范围，通常误差与模拟次数的平方根成反比。

示例

1.模拟求解圆周率

用随机投掷的点数来模拟计算圆周率

#使用蒙特卡罗方法近似求解圆周率
import random
import math
import time
#这里我们设置圆的半径为1，那么圆的面积就是pi
#而正方形的面积就是4
#那么圆的面积和正方形的面积的比值就是pi/4
#我们可以随机产生一些点，然后判断这些点是否在圆内
#如果在圆内，那么就计数，计数的值和总数的比值就是S（圆）/S（正方形）=pi*r^2/4r^2=pi/4 =》 pi = 4*S（圆）/S（正方形） =》 pi = 4*hits/DARTS

DARTS = 100000000#抛洒点的总数
hits = 0.0

start = time.perf_counter()#计时开始
for i in range(1, DARTS+1):
    x, y = random.random(), random.random()#随机产生一个0~1的浮点数
    dist = math.sqrt(x**2 + y**2)#计算点到圆心的距离
    #判断点是否在圆内
    if dist <= 1.0:
        hits += 1
pi = 4 * (hits/DARTS)
print("Pi的值是:{}".format(pi))

2.模拟三门问题

蒙提霍尔问题（英文：Monty Hall problem），亦称为蒙特霍问题、山羊问题或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，参赛者会看见三扇门，其中一扇门的里面有一辆汽车，选中里面是汽车的那扇门，就可以赢得该辆汽车，另外两扇门里面则都是一只山羊。当参赛者选定了一扇门，主持人会开启另一扇是山羊的门；并问：“要不要换一扇门？”依照玛丽莲·沃斯·莎凡特的见解，参赛者应该换，换门的话，赢得汽车的概率是2/3。这问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：因为该问题的答案虽在逻辑上并无矛盾，但十分违反直觉。

蒙提霍尔问题得名于主持人蒙蒂·霍尔，他主持美国的电视游戏节目《Let's Make a Deal》时，会有这样的游戏，他也确实会先开启另一扇是山羊的门，来吸引观众眼球；但他不会允许参赛者换门。蒙提霍尔问题首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的Calcul des probabilités一书中。在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。另一种形式则是三囚问题（Three prisoners problem），原理是一模一样的，1959年出现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中，其后被改编成各种语言的版本。

某校某系概率论期中考试题

#用蒙特卡洛方法求解三门问题

import random

def hall(simulation,change_door):
    win_count=0

    for i in range(simulation):
        prize_door=random.randint(0,2)
        choice_door=random.randint(0,2)
        host=[i for i in range(3) if i!=choice_door and i!=prize_door][0]

        if change_door:
            choice_door=[i for i in range(3) if i!=choice_door and i!=host][0]
        
        if choice_door==prize_door:
            win_count+=1

    return win_count/simulation

simulation=1000000
change_rate=hall(simulation,True)
no_change_rate=hall(simulation,False)

这里看出一定要换门..........

这个问题实在是反人类直觉，贝叶斯公式也能推导这个问题的