【动态规划】09路径问题_最小路径和_C++(medium)

发布时间:2023年12月21日

题目链接:leetcode最小路径和


目录

题目解析:

算法原理

1.状态表示

2.状态转移方程

3.初始化

4.填表顺序

5.返回值

编写代码


题目解析:

题目让我们求从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小

由题可得:

每次只能向下或者向右移动一步


算法原理:

1.状态表示

先创建一个dp表

首先先思考dp表里面的值所表示的含义(是什么?)

dp[i][j]表示到达[i][j]路径上的数字总和为最小

这种状态表示怎么来的?

1.经验+题目要求

用之前或者之后的状态,推导出dp[i][j]的值;

根据最近的最近的一步,来划分问题

经验:以i位置为结尾

题目让我们求到达右下角路径上的数字总和为最小,那么这里我们可以dp[i][j]来表示。

所以这里我们用i*j表示右下角位置;

2.状态转移方程

dp[i]等于什么?

因为我们每次只能向下或者向右移动一步

所以到达[i][j]位置有两种情况:

第一种:从[i-1][j]到达i位置

我们这里只要知道到达[i-1][j]路径上的数字总和的最小值,再加上[i]位置的数值(grid[i][j])

就可以得到[i][j]位置路径上的数字总和的最小值(dp[i][j]);

而“到达[i-1][j]路径上的数字总和的最小值”正好是我们的状态表示:dp[i-1][j]

所以这一种情况的状态转移方程为:

dp[i]=dp[i-1][j]+grid[i][j]

第二种:从[i-1][j]到达i位置

我们这里只要知道到达[i][j-1]路径上的数字总和的最小值,再加上[i]位置的数值(grid[i][j])

就可以得到[i][j]位置路径上的数字总和的最小值(dp[i][j]);

而“到达[i][j-1]路径上的数字总和的最小值”正好是我们的状态表示:dp[i][j-1]

所以这一种情况的状态转移方程为:

dp[i]=dp[i][j-1]+grid[i][j]

总结这两种情况:

因为题目让我们求的是到达右下角路径上的数字总和为最小

所以这里我们要取这两种情况的最小值

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])+grid[i][j]

3.初始化

(保证填表的时候不越界)

由我们的状态转移方程得:

在0行0列的时候越界,所以我们这里可以在m*n的外围多加1行1列,如图:

还有一个问题是:

我们要拿新增用来初始化的行和列要初始化为几呢?

这里我们需要注意的一点就是在dp[1][1]的时候,路径上的数字总和的最小值就是他本身grid

所以我们只要在dp表里的dp[0][1]、dp[1][0]中任选一个

初始化为cost[0][0]就可以了

其他的地方直接初始化为无穷大值INT_MAX

4.填表顺序

(为了填写当前状态的时候,所需要的状态已经计算过了)

这里所需要的状态是:到达该位置的上面和左边位置的方式

所以填表顺序:

从上到下填写每一行

从左到右填写每一列

5.返回值

(根据题目要求和状态表示)

综上分析:

返回值为:dp[m][n];


编写代码:

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回结果

        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[0][1]=0;
        for(int i=1;i<m+1;i++)
            for(int j=1;j<n+1;j++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+grid[i-1][j-1];
        return dp[m][n];

    }
};

文章来源:https://blog.csdn.net/lsj1345714539566/article/details/135080701
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