MIMO Broadcasting for Simultaneous Wireless Information and Power Transfer

IV.Co-located Receivers

在本节中，我们讨论了EH和ID接收器位于同一位置的情况，从而拥有与发射器相同的信道，即 $G=H$，因此$N_{\mathrm{EH}}=N_{\mathrm{ID}}?N$。我们首先研究了这种情况下问题(P3)的最优解，从中我们获得了R-E区域可实现的速率-功率对的外界。然后，我们提出了两种实际的接收机模型，即TS和PS模型，并且推导出了他们的最优传输策略来最大化rate-power pairs。最后将结果与R-E区域外边界进行比较。

A. Performance Outer Bound

Corollary 4.1：In the case of co-located EH and ID receivers with $\mathbf{G}=\mathbf{H}$, the optimal solution to Problem (P3) has the form of ${\mathbf{S}}^{?}={\mathbf{V}}_H\Sigma {\mathbf{V}}_H^H$，where $\Sigma =\mathrm{d}iag({\hat{p}}_1,\dots ,{\hat{p}}_{T_2})$ with the diagonal elements obtained from the following modified WF power allocation:

$${\hat{p}}_i={\left(\frac{1}{{\mu }^{?}?{\lambda }^{?}{h}_i}?\frac{1}{h_i}\right)}^{+},i=1,\dots ,T_2\text{\hspace{1em}(9)}$$

如(9)所示。有趣的是，当${\lambda }^{?}=0$时，(9)中的功率分配减少到(3)中具有恒定水位的传统WF解，即问题(P3)中的收获功率约束与最优功率分配无关。然而，当 ${\lambda }^{?}>0$，因此收获的功率约束是活跃的，对应于我们感兴趣的Pareto-optimal regime时，观察到(9)中的功率分配随着 $h_i$ 的增加有一个不减少的水位。请注意，这种修改后的WF策略在[2]中也被用于频率选择性AWGN信道的功率分配。

然而，与分离的EH和ID接收器的情况不同，在同一位置的接收器的情况下，除了两个边界速率-功率对 $(R_{\max },0)$ 和 $(0,Q_{\max })$，其他的边界对 ${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}(P)$ 可能是无法实现的。

请注意，这些边界点是可实现的，当且仅当(iff)以下前提成立：所有天线接收信号的功率都被完全收集，同时传输速率达到MIMO信道容量(对于给定的发射协方差)的携带信息是可解码的。然而，现有的EH电路还不能直接解码RF频段信号中携带的信息，即使对于SISO信道情况也是如此;

因此，在EH和ID接收器同址的MIMO情况下，如何实现剩余的${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}(P)$边界率功率对仍然是一个有趣的开放问题。因此，在共定位接收器的情况下，由推论4.1给出的${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}(P)$的边界通常仅作为具有实际接收器设计的可实现的速率-功率对的 outer bound，这将在以下小节中进行研究。

B. Time Switching

首先，如图3(a)所示，我们考虑时间交换(TS)方案，该方案将每个传输块分为两个正交时隙，一个用于传输功率，另一个用于传输数据。位于同一位置的EH和ID接收器在两个时隙之间周期性地在收集能量和解码信息之间切换其操作。假设发射机和接收机之间已经完美地建立了时间同步，因此接收机可以与发射机同步其功能切换。采用正交传输时，EH接收机和ID接收机的发射信号可以分开设计，但受发射总功率的限制。设$\alpha$，$0\le \alpha \le 1$表示分配给EH时隙的传输时间百分比。然后我们考虑发射机处的以下两类功率约束:

• 固定功率约束 tr$({\mathbf{S}}_1)\le P$ 并且 tr$({\mathbf{S}}_1)\le P$
• 灵活的功率约束 $(1?\alpha )\mathrm{tr}({\mathbf{S}}_1)+\alpha \mathrm{tr}({\mathbf{S}}_2)\le P$

$$\begin{array}{r}{\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{T}{\mathrm{S}}_1}(P)?{?}_{0\le \alpha \le 1}\{(R,Q):R\le (1?\alpha )\log \left|\mathbf{I}+\mathbf{H}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{H}}^H\right|\\ Q\le \alpha \mathrm{tr}\left(\mathbf{H}{\mathbf{S}}_2{\mathbf{H}}^H\right),\mathrm{tr}\left({\mathbf{S}}_1\right)\le P,\mathrm{tr}\left({\mathbf{S}}_2\right)\le P\}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

$$\begin{array}{r}{\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{{\mathrm{TS}}_2}(P)?{?}_{0\le \alpha \le 1}\{(R,Q):R\le (1?\alpha )\log \left|\mathbf{I}+\mathbf{H}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{H}}^H\right|,\\ Q\le \alpha \mathrm{tr}\left(\mathbf{H}{\mathbf{S}}_2{\mathbf{H}}^H\right),(1?\alpha )\mathrm{tr}\left({\mathbf{S}}_1\right)+\alpha \mathrm{tr}\left({\mathbf{S}}_2\right)\le P\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{{\mathrm{TS}}_1}(P)?{\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{{\mathrm{TS}}_2}(P)$，因为满足固定功率约束的任意一对 ${\mathbf{S}}_1?0$ 和 ${\mathbf{S}}_2?0$ 都满足灵活功率约束，反之则不满足。实际上，${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{{\mathrm{TS}}_1}(P)$的边界仅仅是通过 $\alpha$ 从0到1的扫描连接两个点 $(R_{\max },0)$ 和 $(0,Q_{\max })$ (参见图7)的直线。

C. Power Splitting

图6(a)中接收机的工作解释如下：从天线接收到的信号首先在RF波段被 $n_A(t)$ 表示的高斯噪声破坏，假设该噪声均值为零，等效基带功率为 ${\sigma }_A^2$。然后将RF波段信号送入功率分配器，该分配器被认为是完美的，没有任何噪声。经过功率分配器后，分配给EH接收机的信号功率用 $\rho$ 表示，分配给ID接收机的信号功率用 $1?\rho$ 表示。信号分裂到ID接收器，然后经过一系列标准操作(参见，例如，[19])，从射频频段转换到基带。在此过程中，信号还会被另一种噪声 $n_P(t)$ 破坏，该噪声与 $n_A(t)$ 无关，假设为高斯噪声，均值为0和方差 ${\sigma }_P^2$。为了与单ID接收机的情况保持一致，我们可以合理地假设天线噪声 $n_A(t)$ 和处理噪声 $n_P(t)$ 在图6(a)和图6(b)中具有相同的分布。进一步假设${\sigma }_A^2+{\sigma }_P^2=1$与第二节中介绍的系统模型一致。

• ${\sigma }_A^2?{\sigma }_P^2$， ${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{PS},\mathrm{I}}?{?}_{0<\rho <1}\{(R,Q):{\sigma }_A^2?{\sigma }_P^2$，$R\le \log (1+(1?\rho )Ph),Q\le \rho Ph\}$
• $0<{\sigma }_A^2<1$，这是最实际的情况，信噪比 $\tau =(1?\rho )Ph/((1?\rho ){\sigma }_A^2+{\sigma }_P^2)=(1?\rho )Ph/(1?\rho {\sigma }_A^2)$，${\mathcal{C}}_{\mathrm{B}?\mathrm{E}}^{\mathrm{PS},\mathrm{II}}(P)?{?}_{0<\rho <1}\{(R,Q):R\le \log (1+\tau ),Q\le \rho Ph\}$。当 ${\sigma }_A^2$ 从0增大到1时 ${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{PS},\mathrm{II}}(P)$ 严格增大。
• ${\sigma }_A^2?{\sigma }_P^2$，${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{PS},\mathrm{II}}(P)?\{(R,Q):R\le \log (1+Ph),Q\le Ph\}$，这与R-E区域的外边界 ${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}(P)$(前面定义的盒子)相同。

在下文中，我们将进一步研究PS方案在MIMO信道的更一般情况下可实现的R-E区域。为了更实际的目的，我们将在本节的其余部分考虑PS方案的“最差”情况性能(即上述情形I)。假设无噪声天线（这会导致SISO AWGN信道情况下的最小R-E区域）。

$$\begin{array}{l}{\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{PS}}(P)?{?}_{0\le {\rho }_i\le 1,?i}\{(R,Q):Q\le \mathrm{tr}\left({\mathbf{\Lambda }}_{\rho }\mathbf{H}\mathbf{S}{\mathbf{H}}^H\right),\\ R\le \log \left|\mathbf{I}+{\overline{\mathbf{\Lambda }}}_{\rho }^{1/2}\mathbf{H}\mathbf{S}{\mathbf{H}}^H{\overline{\mathbf{\Lambda }}}_{\rho }^{1/2}\right|,\mathrm{tr}(\mathbf{S})\le P,\mathbf{S}?0\}\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

通过求解类似于问题(P3) （$\mathbf{H}$和$\mathbf{G}$分别被 ${\mathbf{H}}^{\prime }$ 和 ${\mathbf{G}}^{\prime }$ 代替）的问题，我们可以得到 R R ? E P S ( P , { ρ i } ) {\cal R}_{{\rm R}-{\rm E}}^{{\rm PS}}(P, \{\rho_{i}\}) RR?EPS?(P,{ρi?}) 的边界。最后，利用所有可能的${\rho }_i’s$ 对不同的 R R ? E P S ( P , { ρ i } ) {\cal R}_{{\rm R}-{\rm E}}^{{\rm PS}}(P, \{\rho_{i}\}) RR?EPS?(P,{ρi?}) 进行并运算，得到了${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{PS}}(P)$的边界。

D. Performance Comparison

下面的命题总结了TS和UPS方案的性能比较。

Proposition 4.3：For any $P>0,{\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{T}{\mathrm{S}}_1}(P)?{\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{UPS}}(P)?C_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{T}{\mathrm{S}}_2}(P)$ while ${\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{\mathrm{UPS}}(P)={\mathcal{C}}_{\mathrm{R}?\mathrm{E}}^{{\mathrm{TS}}_2}(P)$ if and only if (iff) $P\le (1/h_2?1/h_1)$

由上述命题可知，固定功率约束下的TS方案在可实现的速率-能量对方面比UPS方案表现更差。但在灵活功率约束下(无峰值功率约束)，UPS方案总体性能不如TS方案，而在满足$P\le (1/h_2?1/h_1)$条件下，两者性能相同。这可能发生在，例如，P足够小（在我们的模型中不太可能，因为高信噪比是感兴趣的），或者 $h_2=0$(即，$\mathbf{H}$ 是MISO或SIMO)。

最后，值得指出的是，在实际的具有EH/ID接收器的SWIPT系统中，在高信噪比条件下，接收器通常在图7和8所示的可实现速率-能量区域的“高能”状态下工作，这对应于施加非常大的时间开关系数 $\alpha$ 或功率分裂系数 $\rho$，即 $\alpha \to 1$ 和 $\rho \to 1$。