[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-3(3) 刚体的位形 Configuration of Rigid Body

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
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食用方法
如何表达刚体在空间中的位置与姿态
姿态参数如何表达？不同表达方式直接的转换关系？
旋转矩阵？转换矩阵？有什么意义和性质？转置代表什么？
如何表示连续变换？——与RPY有关
齐次坐标的意义——简化公式？
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义

3.8 点、线、面、向量在坐标系下的表达

对于固定坐标系下同一点/向量，在不同坐标系 { A } , { B } \left\{ A \right\} ,\left\{ B \right\} {A},{B}下进行表达，存在如下转换关系：
$${\vec{R}}_{\mathrm{Vector}}^A=\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{\mathrm{Vector}}^B$$
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^A=\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^B+{\vec{R}}_{\mathrm{B}}^A$$
对于固定坐标系下同一线/面，在不同坐标系 { A } , { B } \left\{ A \right\} ,\left\{ B \right\} {A},{B}下进行表达，存在如下转换关系：
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^A+\lambda {\vec{R}}_{\mathrm{Vector}}^A=\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^B+{\vec{R}}_{\mathrm{B}}^A+\lambda \left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{\mathrm{Vector}}^B=\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^B+\lambda {\vec{R}}_{\mathrm{Vector}}^B\right)+{\vec{R}}_{\mathrm{B}}^A$$
$${\vec{R}}_{\mathrm{P}}^A+{\lambda }_1{\vec{R}}_{{\mathrm{Vector}}_1}^A+{\lambda }_2{\vec{R}}_{{\mathrm{Vector}}_2}^A=\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^B+{\vec{R}}_{\mathrm{B}}^A+{\lambda }_1\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{Vector}}_1}^B+{\lambda }_2\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]{\vec{R}}_{{\mathrm{Vector}}_2}^B=\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]\left({\vec{R}}_{\mathrm{P}}^B+{\lambda }_1{\vec{R}}_{{\mathrm{Vector}}_1}^B+{\lambda }_2{\vec{R}}_{{\mathrm{Vector}}_2}^B\right)+{\vec{R}}_{\mathrm{B}}^A$$

3.8.1 线的特征

• 线的单位方向$\vec{l}$
  已知平面上存在点$P_1\left(x_1,y_1,z_1\right),P_2\left(x_2,y_2,z_2\right)$，则其单位方向向量$\vec{l}$为：
  $$\vec{l}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}\right|}=\frac{\left(x_2?x_1\right)\vec{i}+\left(y_2?y_1\right)\vec{j}+\left(z_2?z_1\right)\vec{k}}{\sqrt{{\left(x_2?x_1\right)}^2+{\left(y_2?y_1\right)}^2+{\left(z_2?z_1\right)}^2}}$$
• 线的姿态参数$\left(\theta ,?\right)$（见1.2.3）
  已知平面上存在点$P_1\left(x_1,y_1,z_1\right),P_2\left(x_2,y_2,z_2\right)$，则其球坐标系姿态角$\left(\theta ,?\right)$, 为：
  $$\begin{gathered} {\vec{R}}_{P_1{P}_2}^F=\left(x_2?x_1\right)\vec{i}+\left(y_2?y_1\right)\vec{j}+\left(z_2?z_1\right)\vec{k}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}\right|\left(\cos ?\sin \theta \vec{i}+\sin ?\sin \theta \vec{j}+\cos ?\vec{k}\right) \\ ??\begin{array}{l}?=\mathrm{arc}\cos \left(\frac{z_2?z_1}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}\right|}\right)\\ \theta =\mathrm{arc}\sin \frac{\left(\sqrt{{\left(x_2?x_1\right)}^2+{\left(y_2?y_1\right)}^2}\right)?\frac{\pi }{2}\left(\frac{y_2?y_1}{|y_2?y_1|}?1\right)}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}\right|}\end{array} \end{gathered}$$

3.8.2 面的特征

• 法矢量$\vec{n}$
  已知平面上存在点$P_1\left(x_1,y_1,z_1\right),P_2\left(x_2,y_2,z_2\right),P_3\left(x_3,y_3,z_3\right)$, 则其法矢量$\vec{n}$为：
  $$\begin{gathered} \vec{n}=\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}\times \stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_3}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ x_2?x_1& y_2?y_1& z_2?z_1\\ x_3?x_1& y_3?y_1& z_3?z_1\end{array}\right|=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k};\vec{n}\left(a,b,c\right) \\ ?\begin{array}{l}a=\left(y_2?y_1\right)\left(z_3?z_1\right)?\left(y_3?y_1\right)\left(z_2?z_1\right)\\ b=\left(z_2?z_1\right)\left(x_3?x_1\right)?\left(z_3?z_1\right)\left(x_2?x_1\right)\\ c=\left(x_2?x_1\right)\left(y_3?y_1\right)?\left(x_3?x_1\right)\left(y_2?y_1\right)\end{array} \end{gathered}$$

• 平面的姿态参数
  已知平面上存在点$P_1\left(x_1,y_1,z_1\right),P_2\left(x_2,y_2,z_2\right),P_3\left(x_3,y_3,z_3\right)$, 令${\vec{i}}^M=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{P_1{P}_2}\right|}=\frac{\left(x_2?x_1\right)\vec{i}+\left(y_2?y_1\right)\vec{j}+\left(z_2?z_1\right)\vec{k}}{\sqrt{{\left(x_2?x_1\right)}^2+{\left(y_2?y_1\right)}^2+{\left(z_2?z_1\right)}^2}}$, ${\vec{k}}^M=\frac{a{\vec{i}}^F+b{\vec{j}}^F+c{\vec{k}}^F}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},?\begin{array}{l}a=\left(y_2?y_1\right)\left(z_3?z_1\right)?\left(y_3?y_1\right)\left(z_2?z_1\right)\\ b=\left(z_2?z_1\right)\left(x_3?x_1\right)?\left(z_3?z_1\right)\left(x_2?x_1\right)\\ c=\left(x_2?x_1\right)\left(y_3?y_1\right)?\left(x_3?x_1\right)\left(y_2?y_1\right)\end{array}$, 根据笛卡尔坐标系的基矢量转换关系：${\vec{j}}^M={\vec{k}}^M\times {\vec{i}}^M$
  可得：
  $$\left[\begin{array}{c}{\vec{i}}^M\\ {\vec{j}}^M\\ {\vec{k}}^M\end{array}\right]=\left[Q_{\mathrm{F}}^M\right]\left[\begin{array}{c}{\vec{i}}^F\\ {\vec{j}}^F\\ {\vec{k}}^F\end{array}\right];\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]={\left[Q_{\mathrm{F}}^M\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}\right]$$
  将该矩阵内的元素带入上述小节中对应的转换关系，即可得到对应表达下的姿态参数。

3.9 简单的示例与计算