概率论中的 50 个具有挑战性的问题 [第 6 部分]：Chuck-a-Luck

图片由作者使用 DALL-E 3 提供。

????????Chuck-a-Luck 是一种赌博游戏，经常在嘉年华会和赌场玩。玩家可以投注数字 1、2、3、4、5、6 中的任何一个。掷三个骰子。如果玩家的号码出现在骰子的一、二、三上，他将分别获得他原始赌注的一倍、两倍或三倍加上他自己的钱;否则，他将失去股份。

????????问题：玩家每单位赌注的预期损失是多少？

（实际上，玩家可以在几个数字上分配赌注，但每个这样的赌注都可以被视为一个单独的赌注。

二、问题分析：

????????合乎逻辑的方法是在六个数字中的每一个上放置一个单位赌注，导致玩家总共下注 6 个单位。有三种不同的可能情况：（1）三个骰子上的所有数字都不同，（2）骰子上的两个数字完全相同，（3）三个骰子上的所有数字都相同。让我们分别考虑每种情况。

????????情况（1）：三个骰子上的所有数字都不同。
????????在这种情况下，您从三个中奖号码中赢了三个单位，但从三个输号码中损失了三个单位。因此，损失为 0 （3–3）。有多少种不同的方法可以得到三个不同的数字？它是?6 x 5 x 4 = 120?种方式。掷三个骰子的总可能结果是 6 x 6?x 6 = 216。

因此，在所有数字都不同的情况下，预期损失为 0 * （120/216） = 0。

????????情况（2）：骰子上的两个数字完全相同。
????????在这种情况下，您赢得了三个单位，因为您从相同的数字中获得两个单位，从单个不同的数字中获得一个单位。但是，您从四个 （6-2） 失败数字中的四个单位中输掉。因此，每单位赌注的损失为 1/6 （4/6–3/6）。有多少种不同的方法可以得到两个相同的数字？它是?6 x 5 x 3 = 90?种方式。

因此，在两个数字完全相同的情况下，预期损失为 1/6 * （90/216） = 15/216。

????????情况（3）：三个骰子上的所有数字都相同。
????????在这种情况下，您赢得了三个单位，因为您从相同的数字中获得三个单位。但是，您从五个 （6-1） 个失败数字中的五个单位中输掉了。因此，每单位赌注的损失为 2/6 （5/6–3/6）。有多少种不同的方法可以得到两个相同的数字？它只是?6?种方式。

因此，在所有三个数字都相同的情况下，预期损失为 2/6 * （6/216） = 1/108。

????????要计算玩家每单位赌注的预期损失，只需将所有三种情况的预期损失相加即可。

结合所有三种情况，玩家每单位赌注的预期损失为 0 + 15/216 + 1/108 = 0.079。

三、替代解决方案：

????????另一种方法是假设玩家只在一个数字上放置一个单位赌注。有四种不同的可能情况：（1）玩家的号码没有出现在三个骰子中的任何一个上，（2）玩家的号码出现在一个骰子上，（3）玩家的号码出现在两个骰子上，（4）玩家的号码出现在所有三个骰子上。让我们分别考虑每种情况。

情况（1）：玩家的号码没有出现在三个骰子中的任何一个上。
发生这种情况的概率是 （5/6）3 = 125/216。

情况（2）：玩家的号码出现在一个骰子上。
发生这种情况的概率是 （1/6） * （5/6）2 * 3C1 = 25/72。

情况（3）：玩家的号码出现在两个骰子上。
发生这种情况的概率是 （1/6）2 * （5/6） * 3C2 = 5/72。

情况（4）：玩家的号码出现在所有三个骰子上。
发生这种情况的概率为 （1/6）3 * 3C3 = 1/216。

通过将概率乘以每种情况的损失，我们得到与之前相同的结果（如下图所示）。

每单位股份的预期损失。

Python 代码：

import numpy as np

n_trials = 10000000
choice = np.random.randint(1,7, size = (n_trials,1))
rolls = np.random.randint(1,7, size = (n_trials, 3))
count = np.sum(choice==rolls, axis=1)
mean_loss = (np.sum(count==0) + (-1)*np.sum(count))/n_trials
print(f'Expected loss per unit stake: {mean_loss:.3f}')

# Output:
# Expected loss per unit stake: 0.079

这就是这个运气🎲问题的全部内容。欢迎任何反馈或问题！该代码可在我的?Github?上找到。请继续关注本系列的下一部分！:)