sympy张量初步：乘法和缩并

Array

一般来说，一维数组可对应向量；二维数组对应矩阵，高维数组则对应张量。故而与高维数组相关的大部分函数，都封装在sympy.tensor中。但另一方面，数组本身是一个非常通用的数据类型，故而可以直接从sympy中导入

import sympy
from sympy import Array
a1 = Array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
a1.shape    # (3,2)
a1.rank()   # 2阶张量
print(sympy.latex(a1))

$$a_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$

由于$a_1$是二阶张量，故而可以转换为矩阵

a1.tomatrix()
'''
Matrix([
[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
'''

Array类型的元素也可以是符号，示例如下

from sympy.abc import x, y, z
a2 = Array([[[x, y], [z, x*z]], [[1, x*y], [1/x, x/y]]])
a2.shape    # (2,2,2)
a2.rank()   # 3阶张量
print(sympy.latex(a2))

$$a_2=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& xz\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}1& xy\\ \frac{1}{x}& \frac{x}{y}\end{array}\right]\end{array}\right]$$

因为这个数组的阶数为3，所以无法调用tomatrix转换为矩阵。

乘法和缩并

回顾向量之间的运算，如果两个向量分别是行向量和列向量，且元素个数相同，那么二者相乘则有两种结局，示例如下

$$\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ca& cb\\ da& db\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=ac+bd$$

若将向量看作张量，那么前者是张量乘法，后者则是在乘法之后进行了缩并操作。在sympy中，tensorproduct即为张量乘法，tensorcontraction则为缩并

from sympy import tensorproduct, tensorcontraction
from sympy.abc import a,b,c,d
A = Array([a,b])
B = Array([c,d])
p = tensorproduct(A, B)
print(sympy.latex(p))
t = tensorcontraction(p, (0,1))
sympy.latex(t)    # ac + bd

其中，tensorcontraction的第二个参数$(0,1)$表示被缩并的轴。