所谓一维谐振子，用经典的眼光来看就是可以沿着一个方向振动的弹簧，其哈密顿算符可表示为
H ^ = ? ? 2 2 m d 2 d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text d^2}{\text dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2 H^=?2m?2?dx2d2?+21?mω2x2
其本征态的能级可表示为
E n = ( n + 1 2 ) ? ω E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega En?=(n+21?)?ω
当 n = 0 n=0 n=0时，仍有 1 2 ? ω \frac{1}{2}\hbar\omega 21??ω，体现了量子力学与经典力学的差别。
sympy.physics.qho_1d提供了一维谐振子的相关函数，
E_n(n, omega) 一维谐振子能量coherent_state(n, alpha) 谐振子相干态
<
n
∣
α
>
\big<n|\alpha\big>
?n∣α?psi_n(n, x, m, omega) 返回波函数
ψ
n
\psi_n
ψn?，其中m为质量；x为坐标；omega为角频率from sympy import print_latex
from sympy.physics.qho_1d import E_n
from sympy.abc import m, x, omega
print_latex(E_n(x, omega))
? ω ( x + 1 2 ) \hbar \omega \left(x + \frac{1}{2}\right) ?ω(x+21?)
from sympy.physics.qho_1d import psi_n
print_latex(psi_n(0, x, m, omega))
m ω 4 e ? m ω x 2 2 ? ? 4 π 4 \frac{\sqrt[4]{m \omega} e^{- \frac{m \omega x^{2}}{2 \hbar}}}{\sqrt[4]{\hbar} \sqrt[4]{\pi}} 4??4π?4mω?e?2?mωx2??
此即一维谐振子的本征波函数。
sympy.physics.sho提供了三维谐振子的相关函数
E_nl(n, l, hw) 谐振子能量
E
n
l
E_{nl}
Enl?R_nl(n, l, nu, r) 谐振子波函数
R
n
l
R_{nl}
Rnl?其中n, l分别表示主量子数和轨道量子数，
from sympy.physics.sho import R_nl
from sympy.abc import r, nu, l
print_latex(R_nl(0, 0, 1, r))
2 ? 2 3 4 e ? r 2 π 4 \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{4}} e^{- r^{2}}}{\sqrt[4]{\pi}} 4π?2?243?e?r2?