c++时间复杂度详解

1.基本概念

? ?在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

2.具体操作

? ? ?我们首先来看一段程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		//~~~~~~~~~~
	}
	return 0;
} 

? 这段代码的时间复杂度是多少呢？上面也说了，就是他循环的次数。而程序中的for循环 的运行次数是n次。所以这段程序的时间复杂度为O（n）??

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=3;i<n;i++){
		//~~~~~~~~~~
	}
	return 0;
} 

那这段代码的时间复杂度是多少呢？难不成是O（n-3）?可能很多人都会有这样的疑问。其实在运算时间复杂度的过程中，会把程序里面的影响时间复杂度的数（不是变量！！！）全变成0。所以程序就变成了：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){//3变为0
		//~~~~~~~~~~
	}
	return 0;
} ?
?

所以结果还是O（n）。

?还有下面几段程序:

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a;
    cin>>a;
    cout<<a;
    return 0;
}

O(1) ，因为程序只运行了一遍

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
	    for(int j=0;j<n;j++){
	    	//~~~~~~~~~~~
		}
	} 
	return 0;
}

O（n^2），因为程序执行了n的平方次。

其他的都一样，不过要注意的是，时间复杂度一般都只用字母来表示，如果你发现你的时间复杂度有数字（除平方外），比如什么O（3+n），O（n-4）什么的。肯定是你没有把数字去掉。

3.进阶方法

? ?看完了基础的，我们来康康进阶的。

? ??

?

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n,a[100];
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
	    for(int j=0;j<n;j++){
	    	//~~~~~~~~
		}
	} 
	return 0;
}

这个程序的时间复杂度是不是O（n^2+n）呢？其实不是。因为在计算时间复杂度的时候，我们往往只计算程序中最重要的部分。所以时间复杂度应为O(n^2)。

int binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) {  
    while (left <= right) {  
        int mid = left + (right - left) / 2;  
  
        if (arr[mid] == target) {  
            return mid;  
        }  
        else if (arr[mid] < target) {  
            left = mid + 1;  
        }  
        else {  
            right = mid - 1;  
        }  
    }  
  
    return -1;  // 如果未找到目标值，则返回-1  
}  

这段代码的时间复杂度是多少呢？熟悉二分算法的人都知道，二分算法最慢的要运行2分之一n次。但我们不知道它属于那种情况，怎么办呢？原来，在计算时间复杂度的时候，普遍使用最不理想的运算次数。所以时间复杂度就是O（logn）

log是什么？log可以理解成没法去掉数字得出的小于n的循环次数就用logn来表示。

下面再看最后一段代码：

int factorial(int n) {  
    if (n == 0) {  
        return 1;  
    }  
    else {  
        return n * factorial(n - 1);  
    }  
}  

该来的总是来了，这个程序是递归，怎么算时间复杂度呢？其实很简单，只需要看这个函数被递归调用了几次就可以了。我们发现这个递归是这样的：

所以这个程序会运行n次，也就是O（n）了~~~