2024-1-24学习任务：二叉树和堆

前言

也是好久没有更新博客了，因为一直在准备期末考试，耽误了，现在开始将持续更新博客，让大家久等了。

也是今天突然想起想以这个题目为主题，一方面是想记录一下每天的学习情况，方便复习，一方面也是想通过对自己所学习的内容进行解释，加深学习记忆，也希望对各位读者有帮助。每天的内容都会不同，是基于我自己的学习情况来写的，你们可能学过，但如果我的文章能让你们能有全新的理解的话，我也会很开心。

第一部分：物理结构和逻辑结构

其实，我们现在所学习的数据结构，如果说通过语言来解释出来的话，例如链表、栈、队列等，这些我们能够通过现实中的例子来进行比喻，在我们的描述中它们有了具体的结构，链表像一条锁链环环相扣，栈像一个瓶子，最后放进去的东西最先拿出来，队列就类似于排队。像这种我们通过现实例子来进行解释，想象出来的结构称为逻辑结构。

但在计算机中，数据存放的不可能和我们想的一样，里面存放的只是一串串冰冷的数据，这些有画面的结构只是我们想象出来的。例如链表，1，2，3，4，5，我们想象的就是认为它是按顺序一环扣一环，但实际上，它们存放的顺序不一定完全按顺序，1的地址也不一定是第一个，它们的位置是任意的，但只要指针的指向是正确的，这些存放位置不影响，像这样的结构我们称为物理结构。

第二部分：二叉树

1.树概念以及结构

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

2.树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

3.树的表示

对于每一个结点，起初是想用数组或顺序表来进行存储，但是每一个结点的孩子个数不一样，这对于内存的申请会非常麻烦（太多不够，太少浪费）。

这里最基础的方法是孩子兄弟表示法。即每一个结点保存自己的最左边的孩子结点，同时保存自己的下一个兄弟结点

关于树的实际运用，最经典的就是linux系统

2.二叉树概念及结构

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

由上图可知

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

（ps：树的度为2的树不一定是二叉树）

2.特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

（ps：完全二叉树：如果又h层，前h-1层一定全满，最后一层不一定）

3.二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= ?(ps： 是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

4.二叉树的顺序存储结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。（前面有介绍过逻辑结构和物理结构）

如果不是完全二叉树的话，用数组来存储，这样不方便拿取数据，效率不高。

第三部分：堆

前面说到的完全二叉树可以使用数组来存取，效率非常高，但现实生活不是全部都有完全二叉树，普通的二叉树也得考虑在内。但是，普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

1.堆的概念及结构

小堆：根节点值最小，即任意一个孩子结点都大于父亲结点。

大堆：根节点值最大，即任意一个孩子结点都小于父亲结点。

核心：堆总是一棵完全二叉树。