【计算机算法设计与分析】漂亮打印问题（C++_动态规划）

问题描述

???????给定由n个英文单词组成的一段文章，每个单词的长度 (字符个数)依序为$l_1,l_2,...,l_n$。要在一台打印机上将这段文章“漂亮”地打印出来。打印机每行最多可打印 M个字符。这里所说的“漂亮”的定义如下：在打印机所打印的每一行中，行首和行尾可不留空格；行中每两个单词之间留一个空格；如果在一行中打印从单词i到单词j的字符，则按打印规则，应在一行中恰好打印 ${\Sigma }_{k=i}^j{l}_k+j?i$个字符（包括字间空格字符），且不允许将单词打破；多余的空格数为$M?{\Sigma }_{k=i}^j{l}_k?j+i$；除文章的最后一行外，希望每行多余的空格数尽可能少。因此，以各行(最后一行除外)的多余空格数的立方和达到最小作为“漂亮”的标准。试用动态规划算法设计一个“漂亮打印”方案，并分析算法的计算复杂性。

算法原理

本题使用动态规划算法求解，需要维护三个数组，分别是：

• extra[i][j]：表示如果第i到第j个单词放到同一行，那么这行有多少个剩余空格；
• lc[i][j]：从第i到第j个单词放到同一行，那么这行空格数的立方值。维护这个数组会出现以下三种情况：
  • extra[i][j] < 0（本行由于字符数M限制，不能容纳i到j个单词）：lc[i][j] = INF；
  • j == n && extra[i][j] >= 0（文章最后一行，不计入统计范围）：lc[i][j] = 0；
  • 除以上两种情况之外：lc[i][j] = extra[i][j]的立方;
• c[i]：文章从第1到j个单词的空格立方之和；

动态规划状态转移方程如下：
$$lc[i][j]=?\begin{array}{rlr}\inf ,& & extra[i][j]<0\\ 0,& & j==n\&\&extra[i][j]>=0\\ (extras[i][j]{)}^3,& & else\end{array}$$
$$c[j]=\{\begin{array}{rlr}0,& & j=0\\ min(c[i?1]+lc[i][j],c[j]),& & j>0\end{array}$$

综上，我们得到这三个数组，那又该如何得出每行的划分位置呢？

???????在每次更新c[j]时记录position[j] = i，即对于以单词j为结尾的一行来说，本行最佳起始位置为单词i。由于动态规划更新的每一个数值都是当前及之前的最优解，因此全局最优解就是最后一个数值。position数组中很多值都是无意义的，因为动态规划是从前往后算的，但是只有最后的数值才是全局的最优，输出时由果导因，即从后往前看。

算法实现

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 1000
using namespace std;

int wordsLen(int wordsL[], int i, int j) {
	//计算从i到j的单词总长度
	int sum = 0;
	for (int k = i; k <= j; k++) {
		sum += wordsL[k];
	}
	return sum;
}

int main() {
	int n, M, extra[100][100], lc[100][100], c[100], l[100], position[100];
	string words[100];
	c[0] = 0;
	cin >> n >> M;//n个单词，每行最多M个字符
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> words[i];
		l[i] = words[i].size();
		c[i] = INF;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {  //此行从第i个开始放
		for (int j = i; j <= n; j++) {  //放到第j个
			extra[i][j] = M - j + i - wordsLen(l, i, j);  //如果i到j放到一行，那么这行有多少个剩余空格
			if (extra[i][j] < 0)  //这行放不下这么多单词
				lc[i][j] = INF;
			else if (j == n && extra[i][j] >= 0)  //最有一行
				lc[i][j] = 0;
			else  //正常情况
				lc[i][j] = pow(extra[i][j], 3);
			if (c[i - 1] + lc[i][j] < c[j]) {  //从i处分行是否空格更少
				c[j] = c[i - 1] + lc[i][j];  //整篇文章从1到j存放单词的空格立方之和
				//position数组很多值都是无意义的，因为动态规划是从前往后算的，但是只有最后的数值才是全局的最优，输出时由果导因，即从后往前看。
				position[j] = i;  //对于以j为结尾的一行来说，本行最佳起始位置为i
			}
		}
	}
	stack<int> st;
	int i = n;
	while(i>0) {
		st.push(position[i]);
		i = position[i]-1;
	}
	st.pop();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!st.empty()&&i == st.top())
		{
			cout << endl;
			st.pop();
		}
		cout << words[i] << ' ';
	}
	cout << "\n总剩余空格数：" << c[n];
	return 0;
}
/*
10 8
abc de h polq cs opaqe gh t asd th
*/

参考资料

1. 动态规划之整齐打印
2. 动态规划——漂亮打印问题