【数据结构】什么是树?

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📌树的定义

树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集.n=0时称为空树.

在任意一颗非空树中:

1. 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
2. 当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集,其中每一个集合本身又是一颗树,并且称为根的子树(SubTree),如下图:

有关树的定义我们还需强调两点:

1. n>0时根节点是唯一的,不可能存在多个根节点.
2. m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的.下图的两个结构就不符合树的定义,因为它们都有相交的子树:

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📌树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6.
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I、K、L、...等节点为叶节点.
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G、J等节点为分支节点.
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点.
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点.
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点.
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6.
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4.
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点.
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先.
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙.
• 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林.

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📌线性结构与树结构的对比

线性结构

• 第一个数据元素:无前驱
• 最后一个数据元素:无后继
• 中间元素:一个前驱一个后继

树结构

• 根节点:无双亲且唯一
• 叶节点:无孩子,可以存在多个
• 中间节点:一个双亲多个孩子

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📌树的抽象数据类型

这里我们给出了一些树的基本常用操作:

ADT 树(tree)
Data
    树是由一个根结点和若干棵子树构成。树中结点具有相同数据类型及层次关系。
Operation
    InitTree(*T):构造空树T。
    DestroyTree(*T):销毁树T。
    CreateTree(*T,definition):按definition中给出树的定义来构造树。
    ClearTree(*T):若树T存在,则将树T清为空树。
    TreeEmpty(*T):若树T为空树,返回true,否则返回false。
    TreeDepth(*T):返回树T的深度。
    Root(T):返回T的根结点。
    Value(T,cur_e):cur_e是树T中一个结点,返回此结点的值。
    Assign(T,cur_e,value):给树T的结点cur_e赋值为value。
    Parent(T,cur_e):若cur_e是树T中的非根结点,则返回它的双亲,否则返回空。
    LeftChild(T,cur_e):若cur_e是树T的非叶结点,则返回它的最左孩子,否则返回空。
    RightSibling(T,cur_e):若cur_e有右兄弟,则返回它的右兄弟,否则返回空。
    InsertChild(*T,*p,i,c):其中p指向树T的某个结点,i为所指结点p的度加上1,
               非空树c与T不相交,操作结果为插入c为树T中p指结点的第i棵子树。
    DeleteChild(*T,*p,i): 其中p指向树T的某个结点, i为所指结点p的度,操作
                结果为删除T中p所指结点的第i棵子树。
endADT

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📌树的存储结构

对于树的存储结构,我们这里介绍三种不同的表示法:双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

🎏双亲表示法

在链表中,我们设置的结点结构是由一个数据域和一个指针域构成的,如下图:

而到了树结构中,由于树中包含了诸多重要的要素,我们的结点构成就非常的灵活了,以双亲表示法为例,我们在每个结点中,附设一个指示器指示其双亲结点在数组的位置.也就是说,每个节点除了知道自己是谁外,还知道它的双亲在哪里.它的结点结构如下图所示:

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🎏孩子表示法

孩子表示法的思路是:

把每个结点放到一个顺序存储结构的数组里,再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系.

具体办法是:

把每个结点的孩子结点排列起来,以单链表作存储结构,则n个结点有n个孩子链表,如果是叶子结点则此单链表为空.然后n个头指针又组成一个线性表,采用顺序存储结构,放进一个一维数组中,如下图所示:

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🎏孩子兄弟表示法

任意一棵树,它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的,它的右兄弟如果存在也是唯一的.因此,我们设置两个指针,分别指向该结点的第一个孩子和此节点的右兄弟.

结点示意图:

该方法实现的树如下图所示:

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结语

希望这篇树的介绍能对大家有所帮助,欢迎大佬们留言或私信与我交流.

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