NOIP2004提高组T4：虫食算

题目链接

[NOIP2004 提高组] 虫食算

题目描述

所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的数字。来看一个简单的例子：

$$\begin{array}{r}\text{43\#9865\#045}\\ +\text{8468\#6633}\\ \underline{}\\ \text{44445509678}\end{array}$$

其中 # 号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是 $5$ 和 $3$，第二行的数字是 $5$。

现在，我们对问题做两个限制：

首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是 $n$ 进制加法，算式中三个数都有 $n$ 位，允许有前导的 $0$。

其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是 $n$ 进制的，我们就取英文字母表的前 $n$ 个大写字母来表示这个算式中的 $0$ 到 $n?1$ 这 $n$ 个不同的数字：但是这 $n$ 个字母并不一定顺序地代表 $0$ 到 $n?1$。输入数据保证 $n$ 个字母分别至少出现一次。

$$\begin{array}{r}\text{BADC}\\ +\text{CBDA}\\ \underline{}\\ \text{DCCC}\end{array}$$

上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让 $\text{ABCD}$ 分别代表 $0123$，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的 $n$ 进制加法算式，求出 $n$ 个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

输入格式

输入的第一行是一个整数 $n$，代表进制数。

第二到第四行，每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这 $3$ 个字符串左右两端都没有空格，从左到右依次代表从高位到低位，并且恰好有 $n$ 位。

输出格式

输出一行 $n$ 个用空格隔开的整数，分别代表 $A,B,\dots$ 代表的数字。

样例 #1

样例输入 #1

5
ABCED
BDACE
EBBAA

样例输出 #1

1 0 3 4 2

提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n\le 10$；
• 对于 $50\%$ 的数据，保证 $n\le 15$；
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 26$。

算法思想

根据题目描述，可以分析出下面一些有用的信息

• 要求的是一个$n$进制的加法算式，其中三个数都有 $n$ 位，允许有前导的 $0$
• 取英文字母表的前 $n$ 个大写字母来表示这个算式中的 $0$ 到 $n?1$。相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示
• 输入数据保证 $n$ 个字母分别至少出现一次，输入数据保证有且仅有一组解。

题目中给出的数据范围比较小，$1\le n\le 26$，可以暴力搜索每个英文字母代表的数字。由于不同的数字用不同的字母表示，因此要搜索的状态空间为$26!\approx 4\times 10^{26}$，显然要进行剪枝。

合法性剪枝

加法算式是按照从右向左的顺序进行计算的，要验证计算是否合法，即判断$(a+b+t)\%n$是否等于$c$，其中$t$表示进位，如下图所示。

• 如果当前列右边（绿色格子中）的所有数都已经确定了，那么进位$t$也就确定了，如果$(a+b+t)\%n\ne c$，则该方案不合法。
• 如果当前列右边（绿色格子中）存在不确定的数，那么进位$t$有$2$种可能。
  • $t=0$时，$(a+b+0)\%n==c$
  • $t=1$时，$(a+b+1)\%n==c$
  • 当上述两种情况都不成立时，则该方案不合法。
• 如果当前列是最高位（第$0$列，从左到右输入），并且该列的和$(a+b+t)\ge n$，即最高位有进位，则该方案也不合法。因为题目要求三个数都有 $n$ 位。

以上就是需要进行合法性剪枝的情况。

优化搜索顺序

从上面的分析可以发现，当右侧的所有数确定了，进位$t$也就确定了，此时能更快判断出是否需要剪枝。为了提高剪枝效率，应该优先确定右边的数字，按照从右向左的顺序进行搜索。

除此之外，还可以从大到小枚举字母代表的数字，提前剪去最高位有进位的搜索分枝。

时间复杂度

最坏情况下需要搜索的状态空间为 $n!$，但由于剪枝的存在，实际搜索到的空间很小。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 30;
int n, q[N], ans[N];
bool st[N], used[N];
char s[3][N];
bool check()
{
    int t = 0; //进位初始化为0
    //从右向左检查算式每一列是否合法
    for(int i = n - 1; i >= 0; i --)
    {
        int a = ans[s[0][i] - 'A'], b = ans[s[1][i] - 'A'], c = ans[s[2][i] - 'A'];
        if(a != -1 && b != -1 && c != -1) //abc都已确认
        {
            if(t != -1) //进位已经确定
            {
                if((a + b + t) % n != c) return false; 
                if(!i && (a + b + t) >= n) return false; //最高位有进位
                t = (a + b + t) / n; //计算进位
            }
            else //进位不确定
            {
                if((a + b + 0) % n != c && (a + b + 1) % n != c) return false;
                if(!i && (a + b) >= n) return false; //最高位有进位
            }
        }
        else //abc只要有一位不确定，进位就不确定
        {
            t = -1;
        }
    }
    return true;
}
//搜索队列中的第t个字符所代表的数字
bool dfs(int t) 
{
    if(t == n) return true;
    //优化搜索顺序，从大到小枚举字母代表的数字
    for(int i = n - 1; i >= 0; i --)
    {
        if(!used[i])//如果数字i没有使用过
        {
            used[i] = true;
            ans[q[t]] = i; //搜索队列中第t个字母代表数字i
            if(check() && dfs(t + 1)) return true;//合法性剪枝
            used[i] = false; //恢复现场
            ans[q[t]] = -1;
        }
    }
    return false; //注意，当前方案不成功则返回false
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < 3; i ++) cin >> s[i];
    //优化搜索顺序，从右向左将字母存储到搜索队列中
    for(int i = n - 1, k = 0; i >= 0; i --)
        for(int j = 0; j < 3; j ++)
        {
            int x = s[j][i] - 'A'; 
            if(!st[x]) //如果x没有出现过
            {
                q[k ++] = x; //将x放入搜索队列中
                st[x] = true;
            }
        }
    memset(ans, -1, sizeof ans); //-1表示字母代表的数字还未确定
    dfs(0);
    //从A开始输出每个字符代表的数字
    for(int i = 0; i < n; i ++) cout << ans[i] << " ";
    return 0;
}