通信入门系列——微积分中极限、连续、导数、微分、积分

本节目录

一、极限
1、数列极限
2、函数极限
二、连续
三、导数
四、微分
五、积分

本节内容
一、极限
1、数列极限
数列极限：设{xn}为一个实数列，A为一个定数。若对任意给定的ε>0，总存在正整数N,使得当n>N时，有|xn-A|<ε,则称数列{xn}收敛于A，定数A称为数列{xn}的极限，记作:

也就是说，当n趋近于无穷大时，数列{xn}的极限等于或趋于A。若数列{xn}没有极限，则称{xn}不收敛。
通俗点讲，极限的定义在数学中占据极其重要的地位，是微积分的基础概念之一。
极限定义的意义在于将一种模糊的感觉严格地表达出来，使得分析数学有了严谨的逻辑体系。在极限定义中，把无限接近表述成，任意给一个大于零的ε，但是数列和极限的差别还可以比ε小。也就是无论ε如何小，总存在差别还能做到更小，这样表达的意思就是无限接近。
2、函数极限
函数极限：设f(x)为一个实函数，在x0的某一空心邻域内有定义，A为一个定数。若对于任意小的ε>0，总存在一个δ>0，使得|x-x0|<δ时有|f(x)-A|<ε,则称x→x0时f(x)的极限为A，记作：

邻域的概念，一般来讲就是一个开区间。x0的δ邻域，就是开区间(x0-δ,x0+δ),记作N(x0,δ);空心邻域的概念，把x0从邻域中抠出去所剩余的部分，也就是(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)。
函数极限定义，将空心邻域引入的意义，函数f(x)在x0附近有定义，没有要求必须在x0处有定义。也就是说，即使在x0处没有定义，在这一点函数的极限也是可以存在的。
二、连续
连续：如果函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，并且满足：

则称y=f(x)在点x处连续。
左极限：设f(x)为一个实函数，在x0的某一空心邻域左侧有定义，A为一个定数。若对于任意小的ε>0，总存在一个δ>0，使得x0-δ<x<x0时有|f(x)-A|<ε,则称x→x0时f(x)的左极限为A，记作：

右极限：设f(x)为一个实函数，在x0的某一空心邻域右侧有定义，A为一个定数。若对于任意小的ε>0，总存在一个δ>0，使得x0<x<x0+ δ时有|f(x)-A|<ε,则称x→x0时f(x)的右极限为A，记作：

下图中，不出现间断便是所谓的连续，两个间断点x1,x2外，除所有地方都是连续的。从x轴的左边逼近x1，可以达到f(x)的左极限；从x轴的右边逼近x1,可以得到f(x)的右极限。在x1处的左极限与函数值f(x1)相同，也就是左连续。但是右极限不等于函数值，则右边不连续。而在x2处的左极限和右极限均不与函数值f(x2)相同,x2处左右均不连续。

三、导数
在直线方程y=kx+b中，k称为斜率，表示因变量随自变量变化的快慢。
两个点P0(x0,y0)和P(x,y)，则斜率k=(y-y0)/(x-x0)=?y/?x

经过P0和P做一条直线，也就是曲线的割线，其斜率为[f(x0+?x)-f(x0)]/?x
当P点逐渐靠近P0点的时候，两点之间的距离越来越小，曲线也越来越接近割线。P与P0重合，割线就变成了曲线的切线，斜率为曲线在P0点的斜率，表达式为：

上述中的斜率也就是所谓的导数。
导数：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，f’(x0)称为函数y=f(x)在点x0处的导数。f’(x)称为y=f(x)的导函数。
四、微分
微分：设y=f(x)在x0的某一邻域内有定义，并假设x0+?x也在此区间内。如果函数的增量?y=f(x0+?x)-f(x0)可表示为?y=A?x+o(?x),其中A是不依赖于?x的常数，o(?x)是比?x高阶的无穷小，称函数f(x)在点x0是可微的，且A?x称作函数在点x0相应于自变量增量?x的微分，记作dy。

通常把自变量x的增量?x称为自变量的微分，记作dx=?x。
一元可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分，即dy=f’(x)dx。
五、积分
积分：设函数f(x)在闭区间[a,b]有定义，在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<…<xn=b。{x(i-1),xi}为一个子区间，i=1,…,n,其长度为?xi=xi-x(i-1),λ是子区间长度的最大值，即λ=max?xi,ξi是子区间当中的一点，ξi∈[x(i-1),xi]。如果极限

存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可积，记作：

如何在实际中理解积分的定义？
以一个曲线面积案例来分析，一个函数f(x)在闭区间[a,b]上有f(x)>0。该曲线在区间[a,b]的面积计算，将区间[a,b]划分为n段，每一段都近似为一个矩形来求面积。比如[x(i-1),xi],宽度为?xi=xi-x(i-1),高度可以取该区间中任何一点的函数值f(ξi)。将n个矩形面积累加起来，就可以得到曲线下面积的近似值。

对于有正有负的曲线，x轴上方积分结果为正，x轴下方积分结果为负，总的结果是x轴上方的面积减去下方的面积。