【动态规划】C++算法312 戳气球

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本文涉及的基础知识点

动态规划

LeetCode312 戳气球

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
示例 1：
输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167
示例 2：
输入：nums = [1,5]
输出：10
参数范围：

n == nums.length
1 <= n <= 300
0 <= nums[i] <= 100

动态规划

nums前后各加一个1，设增加两个1后，nums的长度为m_c。则问题转化为nums[0,m_c-1] ，消除掉nums(0,m_c-1),不消除nums[0]和nums[m_c-1]的最大得分。我们用函数f(0,m_c-1)表示。我们枚举最后消除的元素k，则f(i,j)=f(i,k)+nums[i]*nums[k]*nums[j]+f(k,j)。
k的取值范围(i,j)

共有mn种状态，故空间复杂度是O(nm)，每种状态的转移时间复杂度是O(1)，故时间复杂度是O(nm)。m和n是t和s的长度。

动态规划的状态表示	dp[i][j]等于f(i,j)
动态规划的转移方程	f(i,j)=f(i,k)+nums[i]*nums[k]*nums[j]+f(k,j)
动态规划的初始状态	全部0
动态规划的填表顺序	len = j-i+1。len < 3 ，dp[i][j]=0，无需处理。第一层循环len从3到m_c，第二层循环i从小到大。由短到长处理子字符串,确保动态规划的无后效性
动态规划的返回值	dp[0].back()

空间复杂度: 子数组的起点和终点，各n种可能。故空间复杂度:O(nn)。
时间复杂度: 状态nn种，每种状态的转移时间复杂度O(n)，故总时间复杂度O(n³)。

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int maxCoins(vector<int>& nums) {
		nums.insert(nums.begin(), 1);
		nums.emplace_back(1);
		m_c = nums.size();
		vector<vector<int>> dp(m_c, vector<int>(m_c));
		for (int len = 3; len <= m_c; len++)
		{
			int j;
			for (int i = 0; (j = i+len-1) < m_c; i++)
			{			
				for (int k = i + 1; k < j; k++)
				{
					dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + nums[i] * nums[k] * nums[j] + dp[k][j]);
				}
			}
		}
		return dp[0].back();
	}
	int m_c;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}
}


int main()
{
	vector<int> nums;
	{
		Solution sln;
		nums = { 3, 1, 5, 8 };
		auto res = sln.maxCoins(nums);
		Assert(167, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,5 };
		auto res = sln.maxCoins(nums);
		Assert(10, res);
	}
	
}

2023年一月版

class Solution {
public:
int maxCoins(vector& nums) {
int iMax = 0;
m_c = nums.size();
vector<vector> dp;
dp.assign(m_c+1, vector(m_c));
for (int len = 1; len <= m_c; len++)
{
for (int c = 0; c + len - 1 < m_c; c++)
{
//计算dp[len][c]
//m是最后的气球，这样保证可以拆分两个子项
for (int m = c; m <= c + len - 1; m++)
{
int iSource = GetSource(nums, m,c-1,c+len);
if (m > c)
{
iSource += dp[m - c][c];
}
if (m < c + len - 1)
{
iSource += dp[c + len - 1 - m][m + 1];
}
dp[len][c] = max(dp[len][c], iSource);
}
}
}
return dp[m_c][0];
}
int GetSource(const vector& nums,int c,int iLeft,int iRight)
{
int iScource = nums[c];
if (iLeft >= 0)
{
iScource *= nums[iLeft];
}
if (iRight < m_c)
{
iScource *= nums[iRight];
}
return iScource;
}
int m_c;
};

2023年6月版

class Solution {
public:
int maxCoins(vector& nums) {
nums.insert(nums.begin(), 1);
nums.emplace_back(1);
m_c = nums.size();
//dp[len][iBegin]表示iBegin开始长度为len的区间，消除得剩余首尾2个元素获得的积分
vector<vector> dp(m_c + 1, vector(m_c, 0));
for (int len = 3; len <= m_c; len++)
{
for (int begin = 0; begin + len - 1 < m_c; begin++)
{
const int end = begin + len - 1;
for (int mid = begin + 1; mid < end; mid++)
{
const int leftLen = mid - begin + 1;
const int rightLen = len - leftLen + 1;
const int iNew = dp[leftLen][begin] + nums[begin] * nums[mid] * nums[end] + dp[rightLen][mid];
dp[len][begin] = max(dp[len][begin], iNew);
}
}
}
return dp.back()[0];
}
int m_c;
};

扩展阅读

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。