AcWing P89：a^b（快速幂）

问题描述

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

输入格式

三个整数 a, b, c 在同一行用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示 a^b mod p 的值。

数据范围

输入样例

3 2 7

输出样例

2

解题思路

解法：位运算，快速幂。

根据数学知识，每个正整数可以唯一表示为若干个指数不重复的 2 的次幂的和。对于给定的次方数 b 如果在二进制表示下有 k 位，第 i（0 ≤ i ＜ k）位的数字是 ci（0 或 1），可得：

代入 a 的 b 次方表达式，可得：

对于每一个乘积项，可得：

b 的二进制表示位数即 k 的值为：

所以可以遍历 b 在二进制表示下的所有数位：通过 b>>1 的移位运算进行 k 次递推，求出每个乘积项；通过 b&1 运算得出最低位的 ci 值；当 ci = 1?时，把乘积项累积到答案中。

算法的时间复杂度是。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int power(int a,int b,int p){
	int ans=1%p;
	for(;b!=0;b>>=1){
		if(b&1==1) ans=(long long)ans*a%p;
		a=(long long)a*a%p;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int a,b,p,ans;
	cin>>a>>b>>p;
	ans=power(a,b,p);
	cout<<ans;
}