TA百人计划学习笔记 1.2.1数学 向量

发布时间:2024年01月12日
  • 源视频 【技术美术百人计划】图形 1.2.1 向量基础_哔哩哔哩_bilibili
  • ppt 1210向量_苗梓(2)
  • 1.撒是向量
    • 定义
      • 有大小和方向的有向线段
      • 没有位置,只有大小和方向
      • 箭头是向量的结束点,尾巴是向量的起始点
      • 描述的位移能被认为是与轴平行的位移序列
      • 表示:三维(ax,ay,az) 二维(ax,ay)
    • 向量与标量
      • 向量:有大小和方向的有向线段
      • 标量:只有大小,没有方向的量
    • 向量与点
      • 向量和点数学形式上相等,但几何意义完全不同
        • 点:有位置,没有实际大小或方向
        • 向量:无位置,有实际大小和方向
        • 联系:任何一个点都可以看作是从原点出发的向量
    • 零向量
      • 唯一大小为零的向量
      • 唯一一个没有方向的量
      • 不是一个点,没有定义某个位置
      • 表示没有位移,类比零标量表示没有数量一样
  • 2.如何计算
    • 标量与向量
      • 定义
        • 不可加
        • 不可减
        • 可乘:将向量的每个分量与标量相乘即可
        • 可除:将向量的每个分量与标量的倒数相乘
        • 几何解释:以标量的大小缩放向量的长度,负值则方向相反
          • 例子
            • -2 *(2,-5)=(-4,10)
            • (6,-2,-4)/ 2 = (3,-1,-2)
      • 向量的模长(大小)
        • 计算公式
        • 几何解释:当我们将所示向量作为斜边构建一个直角三角形,所示向量的大小(模长)即可通过勾股定理推出
      • 标准化向量
        • 标准化向量(单位向量)
          • 大小为1的向量
            • (适用范围:仅需要知道方向而不关心其大小,例如法线)
          • 运算法则:向量除以模长(大小)
    • 向量与向量
      • 向量加减
        • 计算公式(ax,ay)+(bx,by) = (ax+bx,ay+by)
        • 加法:对应位置相加 例:(1,-4)+(7,3)=(8,1)
        • 减法:对应位置相减 例:(-3,6)-(-4,3)=(1,3)
        • 几何解释:
          • 假设有向量(ax,ay)和(bx,by)
          • a向量加b向量=从a向量起点到b向量的结束形成的新的向量
      • 2点间距离
        • 计算公式
        • 应用范围:计算一个向量到另一个向量的距离(a 到 b 的位移向量为 b-a)
        • 几何解释
      • 向量的点积
        • 乘法之点积(又称点乘,内积)
          • 向量点乘就是分量乘积的和
          • 计算公式:(ax,ay)·(bx,by) = ax*bx + ay*by
          • 注意
            • 结果是一个标量
            • 满足乘法交换律
        • 几何意义
          • 几何解释:
            • 点乘描述了两个向量方向的“相似”程度,点乘结果越大,夹角角度越小,两个向量越接近(反馈到渲染上就是面的明暗效果)
          • 计算公式: a · b = |a||b|cosΘ
            • ?
        • 向量的投影
          • 一个向量在另个向量上的投影长度
          • 几何解释:假设有两个向量 V 和 N,将V分解为两个向量, V平行 和 V垂直 ,V平行 平行于 N,V垂直垂直于N,并满足 V = V平行 + V垂直 ,则称平行分量 V平行 为在 N 上的投影
        • 运用
      • 向量的叉积
        • 定义
          • 乘法之叉积(又称叉乘,叉积) 仅运用于3D向量
          • 分量交叉相乘再相减
          • 注意
            • 不满足交换律,a x b ≠ b x a
            • 满足逆交换律:a x b = -(b x a)
        • 计算公式
        • 几何解释:叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
        • 大小与方向判断
          • 大小
            • 计算公式
          • 方向
            • 左右手坐标系
文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_57856130/article/details/135457041
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